椭圆的性质教学设计

第第页2.1.2椭圆的性质【教学目标】

知识与技能：1.理解标准方程所表示的椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．2.掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题．3.学生的数学思维能力得到提高．过程与方法：通过学生亲身的实践体验，利用椭圆的方程讨论椭圆的几何性质，经历由形到数,由数到形的思想跨越，感知用代数的方法探究几何性质的过程，感受“数形结合”思想在数学中的重要地位．情感、态度与价值观：在自然和谐的教学氛围中，通过师生间的、生生间的平等交流，塑造学生团结协作，钻研探究的品质和态度，培养学生研究问题的技能；通过对椭圆几何性质的发现，学生得到美的感受，体验到探求之后的成功与喜悦.【教学重点】掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题,体会数形结合思想方法在数学中的应用。【教学难点】利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法.椭圆离心率概念．【教学方法】采用的教学方法主要是情境激趣法、引导发现法、合作探究法.【教学工具】借助多媒体辅助手段，利用PPT课件，通过图形引导学生形象直观地体验由数到形的过渡，便于学生观察、认知、探求、发现、归纳.【教学过程】教学环节教学程序（师生双边活动）设计意图复习回顾1.椭圆的定义；2.椭圆的标准方程；3.椭圆中a,b,c的关系.温故知新.新课导入前面我们根据椭圆的定义，选取适当的坐标系，得到了椭圆的标准方程．下面将通过对方程标准方程．下面将通过对方程的研究，来认识椭圆的性质．引导启发学生得出结果.动脑思考探索新知1.范围 从方程中可以看到：即－a≤x≤a，－b≤y≤b．这说明椭圆位于四条直线所围成的矩形内（如图所示）．2.对称性从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称．从方程上看，（1）把x换成-x方程不变，椭圆关于y轴对称；（2）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称；（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，椭圆关于原点成中心对称．由此可知，椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称，还关于坐标原点对称．x轴与y轴都叫做椭圆的对称轴，坐标原点叫做椭圆的对称中心（简称中心）．3.顶点令y=0，得x=？说明椭圆与x轴的交点？A1（-a,0）、A2（a,0）令x=0，得y=？说明椭圆与y轴的交点？B1（0,-b）、B2（0,b）*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点.*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.长轴长为2a，短轴长为2b.a和b分别叫做椭圆的半长轴长和半短轴长.知识运用根据前面所学有关知识，画出下列图形：（2）4.离心率离心率：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率，记作e．即.离心率的取值范围：因为a＞c＞0，所以0＜e＜1．(2).离心率对椭圆形状的影响：当e越接近1，c就越接近a，由于b就越小，此时椭圆就越扁；当e越接近0，c就越接近0，由于b就越大，此时椭圆就越接近圆.离心率是反映椭圆扁平程度的一个量.(离心率可以反映焦点离开中心的程度.离心率可以形象地理解为:椭圆在长轴不变的情况下，椭圆的焦点离开中心的程度.e越大，焦点离中心越远，椭圆越扁；e越小，焦点离中心越近，椭圆越接近于圆.)强调离心率是焦距与长轴之比，与坐标系选取无关，结合以上分析，引导学生归纳出离心率的范围及其大小变化对椭圆形状的影响.这节课是学生第一次利用曲线方程研究曲线性质，为了解决这一难点，让学生从观察一个具体椭圆图形入手，符合学生的认知特点，达到了化抽象为形象的目的.引导学生发现解决问题方法.先观察图形，然后由标准方程分析椭圆的范围.学生借助图形会观察出椭圆的对称结构，但落实到利用方程形式去说明此性质对学生来说是个难点，因此教师通过设置问题，引导学生利用点对称去说明图形对称的方法加以证明，并强调用数证明形的必要性，体现了由方程到曲线，由数到形的转化.在揭示椭圆对称性之后，引入这一性质让学生对图形的认识由整体到局部，引导学生寻找顶点.结合实例，总结画椭圆简图的画法.此处学生在理解上是个难点，因此教学中先引导学生去发现椭圆图形的形状差异；再帮助学生理解好离心率的定义，范围及离心率大小对椭圆形状的影响.巩固知识典型例题例3求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用“描点法”画出它的图形． 解将所给的方程化为标准方程，得． 这是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，并且a=5，b=3．因为． 所以椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=6，离心率焦点坐标为顶点坐标为 可以先画出椭圆在第一象限及其边界内的图形，然后再利用椭圆的对称性，画出全部图形． 在第一象限及其边界内椭圆方程可以变形为在区间[0，5]内，选出几个x的值，计算出对应的y值．列表：以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x，y)，用光滑的曲线顺次联结各点得到椭圆在第一象限及其边界内的图形．然后利用椭圆的对称性，画出全部图形（如图所示）． 例4求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点P(－3，0)、Q(0，－2)； （2）长轴长为18，离心率为． 解（1）由于点P、Q在坐标轴上，并且以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的焦点就是椭圆的顶点，故点P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点．于是a=3，b=2． 由于椭圆的长轴在x轴上，故椭圆的焦点在x轴上．因此所求的椭圆标准方程为因为所以a=9，c=3．于是 椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．因此，所求的椭圆方为或．例5已知一个椭圆形的油桶盖，其长轴的两端到一个交点的距离分别为40cm和10cm（如图所示）．求椭圆的标准方程与两个焦点的坐标． 解由已知得，． 于是有解得a=25，c=15． 因此． 故椭圆的标准方程为．焦点坐标为通过组织学生以合作交流的方式探讨问题，培养学生团体协作的能力和积极探索的习惯，同时也培养学生运用类比化归的思想解决实际问题的能力，再次让学生亲身感受了利用方程研究曲线的过程，通过本题使学生体验这节课所学的性质是椭圆自身固有的性质，与坐标系的选取无关。通过例题和练习使学生体验这节课所学的椭圆性质的应用。要注意椭圆的焦点与长轴始终在同一个轴上．求椭圆的标准方程时，如果不能确定焦点的位置，要针对不同的情况，给出两种标准方程．本节内容小结教师向学生提出，通过这节课的学习，你学到什么？体验到什么？掌握了什么？引导学生从知识、思想方法进行总结如下：⑴知识总结：教师设计关于椭圆性质的表格，学生填表，并总结：记忆这些性质的关键是抓住两条线（对称轴），一个框（范围），七个点（一个中心、两个焦点、四个顶点）和用e刻画圆扁。⑵思想方法总结：本节课主要利用了数形结合的思想和类比化归的思想研究性质的，平时学习中要注意数学思想方法的运用.以图表的形式对所学内容进行总结，可使学生对知识有个清晰条理的认识.板书设计课题：2.1.2椭圆性质1.范围2.对称性3.顶点4.离心率《椭圆的简单几何性质》教学设计思路说明这节课安排了复习回顾，导入新课、尝试探求、归纳新知、知识巩固提高、课堂总结和作业等几个教学环节。它是在教师引导下，通过学生积极思考，自主探求，合作探究，从而实现教学目的的要求，完成教学任务的一种教学方法.2、着重培养学生掌握数学的基本思想和提高学生探究问题的能力是设计这堂课的出发点.教学中引导认知主体积极参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去，使课堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思维活动的场所.在整个教学过程