2025-2026学年下学期辽宁名校联盟高三数学2026年4月模拟信息卷(二)（含答案）

辽宁省名校联盟2026年高考模拟卷(信息卷)数学(二)本试卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=1A.1B.-1C.iD.102.已知集合A={x∣2a<x<aA.-1B.-2C.−13.已知双曲线C:x2m−y2mA.3B.3C.134.已知a,b,c为△ABC三个内角A,B,A.5B.7C.22D.5.把7个不同的毛绒玩具全部分给3个小朋友，每人至少1个且至多3个，则不同的分法种数为A.301B.756C.1050D.18066.已知A是函数fx=exxx>0图象上的动点,则点A.eB.2eC.4e7.在正四棱台ABCD−A1B1CA.22B.32C.28.对于函数fx，若fx0=x0，则称x0为该函数的“不动点”；若ffx0=x0，则称x0为该函数的“稳定点”.已知函数hx满足hx+1=1hx+1A.1<k<eB.e<k二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知等差数列an的前n项和SnA.a2=−C.SD.数列1an10.已知函数fx=A.当a=0时,fx在B.当a≤2时,fxC.当a≥2时，fxD.当a<−2时，关于x的方程f11.已知抛物线E:y2=4x与圆F:x−12+y2=25交于M，N两点，直线y=​​t.A.MFB.cos∠C.△ABF周长的取值范围为D.△ABF面积的最大值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知向量a=2,1,a⋅b=3，则b13.已知函数fx=tan2x−π4,若方程fx=13在区间14.甲、乙两人各有5张扑克牌,甲的扑克牌分别为3,5,8,9, J,乙的扑克牌分别为2,6,7,8, K,两人进行五轮比牌,在每轮比牌中,注:在扑克牌中J认为是数字11,K认为是数字13.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)某工厂生产一种标准长度为50 cm的管件,市场质检部门随机抽检了该厂生产的1000件产品,测量长度(单位:cm)49.9749.9849.995050.0150.0250.0350.04频数25851404001601155025视市场质检部门抽检产品长度的频率为该厂产品长度的概率,将管件的测量长度l与标准长度50cm的差的绝对值称为“绝对误差”.(1)设抽检产品的“绝对误差”为X，求X的数学期望；(2)从该厂产品中随机抽取2件，若至少有1件产品的测量长度为50 cm的概率不小于0.8，则认为该厂产品合格，可以上市销售.判断该厂产品能否上市销售，若能，请说明理由；若不能，则该厂每生产1000件产品中至少有多少件是标准长度为50 cm参考数据:5516.(15分)已知数列an满足a1=3,(1)证明:数列bn(2)求数列bn⋅log42bn的前17.(15分)在平面直角坐标系xOy中,已知D1−3,0,D23,0,P为动点,且直线PD1与直线(1)求C的方程；(2)过点4,0的直线l与C相交于A,B两点,若C上存在点M，使得OM=λ18.(17分)在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,三棱锥A−A1BC为正三棱锥,AB=2,B1B⊥BD(1)求证:平面DCA1⊥平面(2)求点P到平面MAC距离的最小值；(3)将四棱锥A1−BCC1B1绕直线BB1逆时针旋转α0<α<π后,得到四棱锥A1′19.(17分)已知函数fx=eax+bx+2(1)求a，b的值；(2)若关于x的方程fx=t存在两个根分别为x1,(3)若fx≥kx−2ln数学(二)一、选择题1.A因为z=1+3i32.C由x−3x−1≥2,解得−1≤x<1,所以B={x∣−13.D由题意得m>0,由双曲线方程可知其渐近线方程为y=±mx,又y=3x是其一条渐近线方程,则m=4.B在△ABC中,由正弦定理得3sinAsinC=sinCcosA+sinC,又sinC≠0,所以3sinA−cosA=1,所以sin(A5.C7个不同的毛绒玩具分为3组,有1,3,3,2,2,3,共2类不同的分组情况.按1,3,3分给3个小朋友有C71C63 A22 A36.B设Ax,exxx>0,由题意得AB2=x−12+exx+e2.设gx=(x− 1)2+exx+e2x>0,则g′x=2x−1+ 2exx+eexx−1x2=x−17.A如图,设上、下底面的中心分别为O1和O,作正四棱台ABCD−A1B1C1D1的截面MNFE由BB1=310,AB=8,A1B1=2,得NF=若球的半径最大时先和侧面相切,如图,设球和侧面ADD1A1,由上得cos∠OFN=13=2cos2∠OFO2−1,解得cos∠OFO2=638.D当x∈1,2时,x−1∈0,1,则hx−1=−x+1x+2,由hx+1=1hx+1,得hx=1hx−1+1=1−x+1x+2+1=x+2,此时gx=ehx+hx−k−2=ex+2+x+ 2−k−2=ex+2+x−k,显然gx在定义域(1，2)内单调递增，因为gx在定义域(1，2)内存在“稳定点”,所以存在x0∈1,2,ggx0=x0成立.二、选择题9.BCD设an的公差为d，由前n项和公式Sn=na1+nn−12d=d2n2+a1− d2n=n2−12n+t,解得t=0,d=2,a1=-11,所以a2=−11+2=−9,故A项错误,B项正确;由上知an=2n−13,由2n−13<0,得n<132,所以数列an的前10.AC当a=0时,fx log214x+1,因为y=4x在R上单调递增,所以y=14x+1在R上单调递减,所以fx在R上单调递减，A项正确；当a=2,x=0时，4∘−2×2∘+1=0与−fx的定义域为R矛盾,B项错误;若fx的值域为R,则gx=14x−a⋅2x+1的值域包含(0,+∞),令2x=t>0,即u=t2−at+1t>0的值域包含0,+∞,当t=a2≤0时,u= t2−at+1在区间0,+∞内单调递增,所以u>1,不符合题意,当t=a2>011.ABC由题意得F为圆心;所以MF=5,故A项正确.联立x−12+y2=25,y2=4x,解得x=4,y=±4,不妨令M4,4,N4,−4,所以cos∠MFx=35,则cos∠MFN=2cos2∠MFx−1=−725,由抛物线的定义可得BF=BQ,则△ABF的周长为AF+BF+AB= 5+BQ+AB=5+AQ=6+xA,所以△ABF周长的取值范围是10,12,故C项正确.三、填空题12.65,3513.−1+52由题意得0<x1<π2<x2< π,因为fx的最小正周期T=π2,所以x1−x2=−π2,所以tan2x114.130由题意得方法总数为A55A55.若甲得3分,乙得1分,此时8只能对应8.若甲得的3分是由甲119538乙2138高考模拟信息卷3对13,5对2是肯定的,11和9对应的方法数有A22种,此时共有A22A55种不同的出牌方法;若甲得的3甲119358乙2138与上同理,此时共有A22 A55种不同的出牌方法.综上,甲得3分,乙得1分,有2四、解答题15.解:(1)由题意得X的分布列为X00.010.020.030.04P0.40.30.20.0750.025(3分)所以E(5分)(2)由(1)得抽取1件产品测量长度为50cm的概率为0.4,设至少有1件产品测量长度是50 cm为事件B则PB=因为0.64不符合不小于0.8的要求,所以该厂产品不可以上市销售.设生产一件产品是标准长度为50 cm的概率为x由题意得PB又0≤x≤1，解得1−55≤x≤1，(11所以0.5528≤又0.5528×1000=552.8≈553,(12分)故该厂每生产1000件产品中至少有553件标准长度为16.(1)证明:由bn=log21+an，得又b1=所以bn是以2为首项,2为公比的等比数列.(6(2)解:由(1)得bn=2n所以bn⋅log4所以Sn=22S①-②得−Sn所以Sn=17.解:(1)设动点Px则kPD因为kPD化简得x2所以C的方程为x29(2)设Ax1,y1,Bx2联立x=my+4,x由Δ=8m2−4m2则y1+且x1+由OM=λOA+OB即x0=因为点Mx0,y0所以72λm2+929+解得λ<−12或故λ的取值范围为−∞,−12∪118.(1)证明:因为三棱锥A−A所以△A1BC为等边三角形,设BC的中点为E,连接A1所以A1又A1E∩AE=E,A1E,AE⊂又AA1⊂平面所以AA1因为B1所以AA又BC,BD⊂平面ABCD,BD∩BC=B,又AB,AC⊂平面所以AA又三棱锥A2A所以∠CAB=∠所以AB⊥AC又AB⊥AA1，且AC,AA1⊂所以AB⊥平面A又DC//AB,所以DC⊥平面又DC⊂平面DC所以平面DCA1⊥平面(2)解:由(1)得A1A，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点，AC,AB,A由AB=2,得A则A0,0则CM=(7分)设平面MAC的法向量为a=则a⋅CA令y1=1,得设P0则AP=则点P到平面MAC的距离d2+t当t=0时,d取得最小值为故点P到平面MAC距离的最小值为2.(11分)(3)解:由题意得A1′2sinC′2则A1′由2得B1M若A1′C′⊥B1M,则A1′C解得cosα=45又0<α<π故存在α,使得直线A1′C′⊥B19.(1)解:由题意得f′x因为fx的图象在1,f1处的切线方程为y=2,所以解得a=1(2)证明:由(1)得fx=ex−1=因为x>0,所以xex−1+2x+2>0,x3>0,当x∈0,1时,f′所以fx有唯一的极小值为f(5分)方程fx=t.存在两个根分别为x1,x2,不妨设要证x1+x2>又2−即证fx又fx即证fx1设gx则g==1==x−设hx则h′设mx则m′当x∈0,1时,m所