辽宁省朝阳市重点中学2024年高三第四次月考试卷数学试题

辽宁省朝阳市重点中学2023年高三第四次月考试卷数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数，，则（）A． B． C． D．2．已知函数，若函数的所有零点依次记为，且，则（）A． B． C． D．3．已知角的终边经过点P()，则sin()=A． B． C． D．4．复数的共轭复数记作，已知复数对应复平面上的点，复数:满足.则等于（）A． B． C． D．5．已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]6．函数在的图像大致为A． B． C． D．7．已知复数是正实数，则实数的值为()A． B． C． D．8．函数的图象可能是（）A． B． C． D．9．已知，，若，则实数的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或710．2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么()A．国防大学，研究生 B．国防大学，博士C．军事科学院，学士 D．国防科技大学，研究生11．已知为虚数单位，若复数满足，则（）A． B． C． D．12．已知非零向量满足，若夹角的余弦值为，且，则实数的值为（）A． B． C．或 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则展开式中的系数为__14．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.15．将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则函数在区间上的值域为__________．16．已知“在中，”，类比以上正弦定理，“在三棱锥中，侧棱与平面所成的角为、与平面所成的角为，则________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数f(x)=sin(2x-π(I)求f(x)的最小正周期；(II)若α∈(π6,π)且f(18．（12分）已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：①函数的周期为；②是函数的对称轴；③且在区间上单调.（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；（Ⅱ）若，求函数的值域.19．（12分）设数列，的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意，都有，，，（e是自然对数的底数）.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和.20．（12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面.（1）求证:是的中点；（2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且是与的等差中项.（1）证明：为等差数列，并求；（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值.22．（10分）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于M（异于点D），交PC于N（异于点C）.（1）证明：平面，并判断四面体MCDA是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】分析：利用的恒等式，将分子、分母同时乘以，化简整理得详解：，故选B点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意符号的正、负问题.2．C【解析】

令，求出在的对称轴，由三角函数的对称性可得，将式子相加并整理即可求得的值.【详解】令，得，即对称轴为.函数周期，令，可得.则函数在上有8条对称轴.根据正弦函数的性质可知，将以上各式相加得：故选:C.【点睛】本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为的形式.3．A【解析】

由题意可得三角函数的定义可知：，，则：本题选择A选项.4．A【解析】

根据复数的几何意义得出复数，进而得出，由得出可计算出，由此可计算出.【详解】由于复数对应复平面上的点，，则，，，因此，.故选：A.【点睛】本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.5．A【解析】

根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解.【详解】根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数，当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g（x）]＝1，当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g（x）]＝0，当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g（x）]＝﹣1，综合有：sgn[g（x）]＝sgn（x）；故选：A．【点睛】此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.6．B【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果．【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．7．C【解析】

将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.【详解】因为为正实数，所以且，解得.故选：C【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.8．A【解析】

先判断函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为，，该函数为偶函数，排除B、D选项；当时，，排除C选项.故选：A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．C【解析】

根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得.∴解得.故选：C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.10．C【解析】

根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位.【详解】由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的；则丙来自军事科学院；由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士；由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生，故丙为学士.综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士.故选：C.【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题.11．A【解析】分析：题设中复数满足的等式可以化为，利用复数的四则运算可以求出.详解：由题设有，故，故选A.点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.12．D【解析】

根据向量垂直则数量积为零，结合以及夹角的余弦值，即可求得参数值.【详解】依题意，得，即.将代入可得，，解得（舍去）.故选：D.【点睛】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1．【解析】

由题意求定积分得到的值，再根据乘方的意义，排列组合数的计算公式，求出展开式中的系数．【详解】∵已知，则，

它表示4个因式的乘积．

故其中有2个因式取，一个因式取，剩下的一个因式取1，可得的项．

故展开式中的系数．

故答案为：1．【点睛】本题主要考查求定积分，乘方的意义，排列组合数的计算公式，属于中档题．14．【解析】

从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.【详解】由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有种，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有种，所以其概率为.故答案为：【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.15．【解析】

根据图像的平移变换得到函数的解析式，再利用整体思想求函数的值域.【详解】函数的图像向右平移个单位得，，，.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意整体思想的运用.16．【解析】

类比，三角形边长类比三棱锥各面的面积，三角形内角类比三棱锥中侧棱与面所成角．【详解】，故，【点睛】本题考查类比推理．类比正弦定理可得，类比时有结构类比，方法类比等．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(I)π；(II)-【解析】

(I)化简得到fx(II)f(α2)=2sin【详解】(I)f(x)==2sin2x+(II)f(α2)=2sinα∈(π6,π)，故α+故α+π12∈sin(2α+【点睛】本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18．（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案.（Ⅱ）得到，得到函数值域.【详解】（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；由③得，，，；若①②成立，则，，，若①③成立，则，，不合题意，若②③成立，则，，与③中的矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，.（Ⅱ）由题意得，，所以函数的值域为.【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．（1），（2）【解析】

（1）当时,,与作差可得,即可得到数列是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解；对取自然对数,则,即是以1为首项,以2为公比的等比数列,即可求解；（2）由（1）可得,再利用错位相减法求解即可.【详解】解:（1）因为,,①当时,,解得；当时,有,②由①②得,,又,所以,即数列是首项为1,公差为1的等差数列,故,又因为,且,取自然对数得,所以,又因为,所以是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以,即（2）由（1）知,,所以,③,④③减去④得:,所以【点睛】本题考查由与的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和.20．(1)见解析;(2).【解析】试题分析：(1)连交于可得是中点，再根据面可得进而根据中位线定理可得结果；(2)取中点，由（1）知两两垂直.以为原点，所在直线分别为轴,轴，轴建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量，用表示面的一个法向量，由可得结果.试题解析：(1)证明：连交于，连是矩形，是中点.又面，且是面与面的交线，是的中点.(2)取中点，由（1）知两两垂直.以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为.设存在满足要求，且，则由得：，面的一个法向量为，面的一个法向量为，由，得，解得，故存在，使二面角为直角，此时.21．（1）见解析，（2）最小正整数的值为35.【解析】

（1）由等差中项可知，当时，得，整理后可得，从而证明为等差数列，继而可求.（2），则可求出，令，即可求出的取值范围，进而求出最小值.【详解】解析：（1）由题意可得，当时，，∴，，当时，，整理可得，∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴，.（2）由（1）可得，∴，解得，∴最小正整数的值为35.【点睛】本题考查了等差中项，考查了等差数列的定义，考查了与的关系，考查了裂项相消求和.当已知有与的递推关系时，常代入进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常数.22．（1）证明见解析，是，，，，；（2）【解析】

（1）根据是球的直径，则，又平面，得到，再由线面垂直的判定定理得到平面，，进而得到，再利用线面垂直的判定定理得到平面.（2）以A为原点，，，所在直线为x，