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2023年全国甲卷（理科）第16题的解法探究苏航赟江苏省无锡市第三高级中学一、试题呈现【2023年全国甲卷（理科）第16题】在中，，，，平分交于点，则=_______.二、解法探究视角1正、余弦定理BB图1DAC解法1如图1所示，设的内角，，的对边分别为，，，在中，由正弦定理，可得，因为，所以，又因为，所以.在中，，所以，因此为等腰三角形，即.评注解法1在中运用正弦定理算出，接下来就水到渠成了.解法2如图1所示，设的内角，，的对边分别为，，，在中，由余弦定理，可得，解得.又因为，所以，即，解得.评注解法2在中运用余弦定理算出边，接下来再用面积分割法，题目也就迎刃而解了.B图2B图2yxDAC解法3如图2所示，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，因为，，平分，所以点.不妨设点，又因为，所以，解得，所以，可知直线的方程为：，令，解得，即.评注解法3运用了解析几何的思想，通过建立平面直角坐标系，把几何问题代数化，从而算出的长度.引理1已知直线上三个点的极坐标为，，，则.证明设，，三个点的平面直角坐标系坐标为，，，则，又因为，，代入上式得，因为，所以，即.xx图3BDAC解法4如图3所示，以为极点，的延长线为极轴建立极坐标系，因为，，平分，所以点.不妨设点，又因为，所以，解得.设点，因为三点共线，所以由引理1可知，即，解得，即.评注解法4通过建立极坐标系来解题，其中关键的是找出三个点共线的极坐标之间的关系.视角3平面几何AA图4HBDC解法5如图4所示，在中，过点作交于点，则在中，因为，，所以，又在中，，所以，所以为等腰直角三角形，即，所以在中，，又在中，，所以，因此为等腰三角形，即.评注解法5通过画出边上的高，从而发现为等腰直角三角形，这样得到了，接下来就和解法1一样了.图5HBDAC引理2在中，平分交于点，则.图5HBDAC证明如图5所示，在中，过作交于点，因为，又因为，所以.引理3在中，平分交于点，则.CC图6E.OBDA证明如图6所示，作的外接圆，延长交圆于点圆，连接，则，又，所以，所以，即，即，即，又在的外接圆中，，所以.BB图7DAC解法6如图7所示，设的内角，，的对边分别为，，，在中，由余弦定理，可得，解得.又因为平分，由引理2知，又已知，所以，.又由引理3知，所以.评注解法6在求出的基础上运用了三角形角平分线的两个结论，引理2是大家比较熟悉的结论，引理3常用于求三角形角平分线的长.视角4平面向量图8BDAC引理4在中，动点在边上，若（），则.图8BDAC证明：如图8所示，，又因为，所以，整理得：.解法7如图8所示，设的内角，，的对边分别为，，，在中，由余弦定理，可得，解得.又因为平分，由引理2可知，所以，由引理4可得

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