中考数学与二次函数有关的难点突破

2024年中考数学与二次函数有关的难点突破目录TOC\o"1-3"\h\u难点01二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题 3题型01利用二次函数解决单线段的最值问题 3题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题 6题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题 10题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题 14题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题 15题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题 18题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题 20类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题 21类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题 23类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题 27题型08利用二次函数解决定值问题 29难点02二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题 32题型01二次函数平移问题 32题型02二次函数翻折问题 36题型03二次函数对称问题 39题型04二次函数旋转问题 44题型05二次函数折叠问题 46难点03二次函数与几何的动点及最值、存在性问题 50题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题 52题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题 54题型03已知点关于直线对称点问题 56题型04特殊角度存在性问题 58题型05将军饮马模型解决存在性问题 59题型06二次函数中面积存在性问题 61题型07二次函数中等腰三角形存在性问题 63题型08二次函数中直角三角形存在性问题 66题型09二次函数中全等三角形存在性问题 68题型10二次函数中相似三角形存在性问题 70题型11二次函数中平行四边形存在性问题 72题型12二次函数中矩形存在性问题 75题型13二次函数中菱形存在性问题 76题型14二次函数中正方形存在性问题 78

难点01二次函数中的线段、周长与面积的最值问题及定值问题题型01利用二次函数解决单线段的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意：①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确．1．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．(2)如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．(3)动点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2021·西藏·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；(3)图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(−4,0)，B(1,0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，当∠DPB=2∠BCO时，求直线BP的表达式；(3)请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P4．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A−3,0，B1,0，交y轴于点C．点P(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P仅在线段AO上运动，如图1．求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知点A(1,0)是抛物线y=ax2+bx+m（a,b,m为常数，a≠0,m<0(1)当a=1,m=−3时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x轴的另一个交点为M(m,0)，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF=22①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE=EF时，求点F的坐标；②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是226．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．题型02利用二次函数解决两条线段之和的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：2.两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点.其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等.【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小.方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。7．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2015·四川自贡·统考中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x=−1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x=−1上的一个动点，求使ΔBPC为直角三角形的点P的坐标.9．（2021·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=−12(1)求抛物线的解析式；(2)求证：△AOC∽△ACB；(3)点M3,2是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为抛物线对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PM10．如图，已知抛物线y=ax2−32x+c与x轴交于点A(−4,0)，(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使QB+QC最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为点D，连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标．11．（2021·广东东莞·校考一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；(3)已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在；若不存在，请说明理由．12．如图，二次函数y=−14x2+12m−1x+m（m是常数，且m>0）的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，动点P在对称轴l(1)求点A、B、C的坐标（用数字或含m的式子表示）；(2)当PA+PC的最小值等于45时，求m的值及此时点P(3)当m取(2)中的值时，若∠APC=2∠ABC，请直接写出点P的坐标．题型03利用二次函数解决两条线段之差的最值问题【解题思路】抛物线中的线段最值问题有三种形式：3.两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”，解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’13．（2023·江西九江·校考模拟预测）已知二次函数y=ax2＋bx＋c中，x，x…-1013…y…03m0…(1)表格中m=______，在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；(2)若二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点A，顶点为(3)设Q(0，2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=ax14．如图，已经抛物线经过点O(0,0)，A(5,5)，且它的对称轴为x=2．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；(3)在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当PA−PB的值最大时，求P的坐标以及PA−PB的最大值15．（2022上·福建泉州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为E1，4的抛物线y=ax2+bx+c与x轴从左到右依次交于A，B两点，与y轴的交点为(1)求此抛物线的解析式；(2)若直线BP与抛物线对称轴交于点D，当BD−CD取得最大值时，求点P的坐标；(3)若直线BC与抛物线对称轴交于点F，连接PC，PE，PF，记△PCF，△PEF的面积分别为S1，S2，判断16．如图，抛物线y=ax2−2ax−3a与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，已知△ABC(1)求抛物线的解析式．(2)P为抛物线对称轴上的点，当PA−PC取最大值时，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，E为抛物线上的动点，若S△BDE:S17．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），与y轴交于点B，且对称轴为x＝1．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一动点，当|PA﹣PB|取最大值时，求点P的坐标．题型04利用二次函数解决三条线段之和的最值问题18．（2021·湖北恩施·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B，D−4,5两点，且与直线(1)求抛物线的解析式；(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2022·山东烟台·统考二模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y=−x2+bx+c经过A，C4,−5两点，且与直线(1)求抛物线的解析式：(2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；(3)N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，已知抛物线y=14x+h2+k．点A−1,2在抛物线的对称轴上，B0,54是抛物线与y(1)直接写出h，k的值；(2)如图，若点D的坐标为3,m，点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图，连接AD，AC，若∠DAC=60°，求点D的坐标．题型05利用二次函数解决三角形周长的最值问题21．抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A−3,0,B(1)求抛物线的解析式(2)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长(3)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点22．已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，B4,0(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=1223．（2023·四川资阳·统考二模）如图，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=−43(1)求抛物线的解析式；(2)点D为抛物线上位于AB上方的一点，过点D作DE⊥AB于点E，作DF∥y轴交AB于点F，当△DEF的周长最大时，求点D的坐标；(3)G是平面内的一点，在(2)的条件下，将△DEF绕点G顺时针旋转α得到△D'E'F'，当24．（2023·湖北恩施·统考一模）已知直线y=x−1与x轴交于点A，过x轴上A，C两点的抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点B，与直线y=x−1交于D(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点M是抛物线对称轴l上一动点，当△CDM的周长最小时，求△CDM的面积；(4)点P是抛物线上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，DP，若△ADP的面积等于3，求点25．（2023·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点A−1，0(1)求抛物线的函数表达式；(2)在对称轴上找一点Q，使△AQC的周长最小，求点Q的坐标；(3)在(2)的条件下，点P是抛物线上的一点，当△AQC和△AQP面积相等时，请求出所有点P的坐标．题型06利用二次函数解决四边形周长的最值问题26．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A−1,0，B5,0(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值；(3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(4)若点E为抛物线的顶点，点F3,a是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，是否存在点M、N使四边形EFMN的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N27．二次函数y=ax2+bx+3a≠0的图像与y轴交于点C，与x轴交于点(1)求a、b的值；(2)P是二次函数图像在第一象限部分上一点，且∠PAB=∠OCA，求P点坐标；(3)在(2)的条件下，有一条长度为1的线段EF落在OA上（E与点O重合，F与点A重合），将线段EF沿x轴正方向以每秒613个单位向右平移，设移动时间为t秒，当四边形CEFP周长最小时，求t28．如图，直线AB∶y=x-3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c经过点A，B，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与直线AB交于点N，顶点为C(1)求抛物线的解析式；(2)点M在线段BN上运动，过点M作线段EF平行于y轴，分别交抛物线于点F，交x轴于点E，作FG⊥CD于点G；①若设E（t，0），试用含t的式子表示DE的长度；②试求四边形EFGD的周长取得最大值．题型07利用二次函数解决图形面积的最值问题【解题思路】抛物线中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：一般步骤为：①设出要求的点的坐标；②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；③列出关系式求解；④检验是否每个坐标都符合题意．2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；②通过已知点的坐标，求出直线解析式；③求出题意中要求点的坐标；④检验是否每个坐标都符合题意．类型一利用割补、拼接法解决面积最值问题29．如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A1,0，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交(1)求该抛物线的解析式；(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．30．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A−4,0，B0,−4，(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=−x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求PQ∥OB），直接写出相应的点31．（2021·河南驻马店·校联考二模）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=3，抛物线与x轴交于A−2,0、B两点，与(1)求抛物线的解析式；(2)连结BC，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点P，使△PBC的面积最大？最大面积是多少？32．如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c+a<0与x轴分则点A和点B1,0，与y轴交于点C，对称轴为直线x=−1(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．类型二利用用铅垂定理巧求斜三角形面积最值问题33．如图，已知直线y＝43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．34．（2019·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C，且过点D(2,−3)．点P、Q(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线OD下方时，求ΔPOD(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当ΔOBE与ΔABC相似时，求点35．（2018·辽宁阜新·中考真题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．36．（2021·辽宁阜新·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3交x轴于点A(−1,0)，B(3,0)，过点B(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；(3)若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A,B，与y轴交于点C，且直线y=x−6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD(1)求抛物线的函数解析式；(2)当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．38．如图，抛物线y=12x2−2x−6与x轴相交于点A、点B(1)请直接写出点A，B，C的坐标；(2)点Pm,n0<m<6在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出(3)点F是抛物线上的动点，作FE//AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2021·湖北荆门·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)两点，交y轴于点C(0,−3)，点Q(1)求抛物线的解析式；(2)求|QO|+|QA|的最小值；(3)过点Q作PQ//AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别为S1，S2，设S=S1+类型三构建平行线，利用同底等高解决面积最值问题40．（2021·江苏连云港·统考中考真题）如图，抛物线y=mx2+m2+3x−(6m+9)与x轴交于点A、B(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式；(2)P为抛物线上一点，若S△PBC=S(3)Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．41．（2021·天津北辰·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y＝12x2＋bx＋c（b，c为常数）经过点A（﹣4，0）和点B(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，直接写出2MN＋ON的最小值．题型08利用二次函数解决定值问题42．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−32与x轴交于A−1,0，B3,0两点，其顶点为M．直线y=kx−k与抛物线相交于E

(1)求抛物线的函数表达式和点M的坐标；(2)当线段EF被抛物线的对称轴分成长度比为1:4的两部分时，求k的值；(3)连接EM，FM，试探究∠EMF的大小是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．43．（2023·安徽合肥·校考一模）已知抛物线y=x2与直线l:y=kx+8相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为线段AB下方抛物线上一动点，过点M作MG∥y轴交AB于点(1)当AB∥x轴时，①求点A、B的坐标；②求MGGA⋅GB(2)当k=2时，MGGA⋅GB44．（2023·福建莆田·统考二模）已知抛物线y=x+t2+t+2(1)已知三个点1,0，2,0，2,4，其中有一个点可以是拋物线的顶点，请选出该点并求抛物线的解析式；(2)在(1)的条件下，点A在抛物线上且其横坐标为4，过点A作AB⊥x轴于点B．点P为抛物线的顶点，连接PA．点Q为抛物线对称轴左侧上一点，AQ延长线交x轴于点C，QP延长线交AB延长线于点D，连接CD．①若PA平分∠CAB时，求点Q的坐标；②设S△PAC=S1，45．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A−2,0，B4,0(1)求抛物线的解析式；(2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标；(3)如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM+146．如图，在平面直角坐标系xOv中，一次函数y=54x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A(−3,0)，与y轴交于点C，以直线x=1为对称轴的拋物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（参考公式：在平面直角坐标之中，若A(x(1)求m的值及抛物线的函数表达式；(2)是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q点的横坐标；若存在，请说明理由；(3)若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1(x

难点02二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题题型01二次函数平移问题1.二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.1．（2023·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax−3a≠0与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BC上一点，如果∠PAC=45°，求点P的坐标；(3)在第(2)小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF⊥直线AP，垂足为点F，如果tan∠PEF=2．如图1，抛物线y=36x2+433x+23与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点(1)点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；(2)如图2，在(1)的条件下，过点F作FH⊥x轴于点H交AC于点L，将△AHL沿着射线AC平移到点A与点C重合，从而得到△A'H'L'（点A，H，L分别对应点A'，H'，L'），再将△A'H'L'绕点H'逆时针旋转3．（2023·广东潮州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A(−2,0),B(4,0)两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC，点P为直线BC(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PQOQ的值最大时，求点P的坐标和PQ(3)把抛物线y=−12x2+bx+c沿射线AC方向平移5个单位得新抛物线y'，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、4．（2023·湖北襄阳·校联考模拟预测）坐标综合：(1)平面直角坐标系中，抛物线C1：y1=x2+bx+c的对称轴为直线(2)将抛物线C1在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线C2：①如图1，设自变量x在1≤x≤2的范围内取值时，函数y2的最小值始终等于−1．此时，若y2的最大值比最小值大12②如图2，直线l：y=−12x+nn>0与x轴、y轴分别交于A、C两点.过点A、点C分别作两坐标轴的平行线，两平行线在第一象限内交于点B．设抛物线C2与x轴交于E、F两点（点E在左边）．现将图中的△CBA沿直线l折叠，折叠后的BC边与x轴交于点M．当8≤n≤12时，若要使点M始终能够落在线段EF（包括两端点）上，请通过计算加以说明：抛物线C5．（2023·浙江湖州·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2−4x+c的图象与y轴的交点坐标为0,5，图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B(1)求c的值及顶点M的坐标，(2)如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位0<t<3得到对应的矩形A'B'C'D'．已知边C'D'，A'B'分别与函数y=①当t=2时，求QG的长；②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．6．如图，二次函数y=12x2+bx−4的图像与x

(1)b=_______；(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．7．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，过原点的抛物线y1=ax(x−2n)(a≠0,a,n为常数)与x轴交于另一点A，B是线段OA的中点，B−4,0，点M(−3,3(1)点A的坐标为______；(2)C为x轴正半轴上一点，且CM=CB．①求线段BC的长；②线段CM与抛物线y1相交于另一点D，求点D(3)将抛物线y1向右平移(4−t)个单位长度，再向下平移165个单位长度得到抛物线y2，P，Q是抛物线y2上两点，T是抛物线y2的顶点．对于每一个确定的t值，求证：矩形TPNQ的对角线PQ题型02二次函数翻折问题二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。8．（2023·广东潮州·一模）如图，直线y=−2x+3交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过A(1)求抛物线的解析式．(2)P是抛物线第一象限内的一个动点，过P作PH⊥BC于H，求PH+2HB的最大值．(3)M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MB，把线段MB沿着直线BC翻折，M的对应点M'恰好落在抛物线上，求M9．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点−1,−1是函数y=2x+1的图象的“等值点”．(1)分别判断函数y=x+2，y=x(2)设函数y=3x(x>0)，y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3(3)若函数y=x2−2x≥m的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2，当W110．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）如图，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到二次函数y=ax2+bx+c的图象，函数y=x2+2x+1的图象的顶点为A，函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为(1)求函数y=ax(2)从A，C，D三点中任取两点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；(3)点M是线段BC上的动点，N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的13？若存在，求11．如图，一条抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A3,−3，点B在第一象限内，对称轴是直线(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点B的坐标；(3)设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点12．（2023·辽宁鞍山·校考一模）抛物线与坐标轴交于A−1,0，B4,0(1)求抛物线的解析式；(2)点D是x轴上的一点，过点D作EF∥AC，交抛物线于E、F，当EF=3AC时，求出点(3)点D是x轴上的一点，过点D作DE∥AC，交线段BC于E，将△DEB沿DE翻折，得到△DEB'，若△DEB'与△ABC重合部分的面积为S，点D的横坐标为题型03二次函数对称问题二次函数图象的翻折与旋转变换前变换方式变换后口诀y=a(x-h)²+k绕顶点旋转180°y=-a(x-h)²+ka变号，h、k均不变绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-ka、h、k均变号沿x轴翻折y=-a(x-h)²-ka、k变号，h不变沿y轴翻折y=a(x+h)²+ka、h不变，h变号13．在平面直角坐标系中，将抛物线C1：y=2x2−(m+1)x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C2，在抛物线C2上，当x<1时，y随A．m≥5 B．m≤5 C．m≥−5 D．m≤−514．（2023·广东河源·统考一模）抛物线y=2x2−4x−5的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为15．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A1,0，(1)求该抛物线的解析式，并直接写出点P的坐标；(2)如图，把原抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，将翻折得到的部分与原抛物线x轴上方的部分记作图形M，在图形M中，回答：①点A，B之间的函数图象所对应的函数解析式为_______；②当32≤x≤4时，求③当m≤x≤m+2，且m>32时，若最高点与最低点的纵坐标的差为15416．已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若DFHG=2517．（2023·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=−ax2+5ax+2a>0交y轴于点C，过点C作(1)求点C，D的坐标；(2)当a=13时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点(3)坐标平面内有两点E1a,a+1,F5,a+1①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为52时，求a18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．(2)将该抛物线在y轴右侧的部分记作W，将W绕原点O顺时针旋转180°得到W'，W与W'组成一个新的函数图像，记作①点M，N为图像G上两点（点M在点N的左侧），且到y轴的距离分别为2个单位长度和3个单位长度，点Q为图像G上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ②若点(m,y1)，(m+1,y2)在图像19．（2023·湖南永州·统考二模）在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+2mx−m2+9的图象与x轴交于A，(1)求A、B两点的坐标（用含m的式子表示）；(2)将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象．若当−3≤x≤−1时，这个新函数G的函数值y随x的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围；(3)已知直线l：y=1，点C在二次函数y=−x2+2mx−m2+9的图象上，点C的横坐标为2m，二次函数y=−x2+2mx−m2+9的图象在C、B之间的部分记为M（包括点20．（2023·河北·统考二模）如图，函数y1=−ax+12+3x≤0的图象过原点，将其沿y轴翻折，得到函数y2(1)a的值为__________；函数y2的解析式为_______________（注明x(2)对于函数L，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是_____________；(3)当直线y=x+b与函数L的图象有3个公共点时，求b的值.21．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）交x轴于A1，0、B3，0两点，交y轴于C0，(1)求该抛物线的解析式；(2)若m=0时，直线y=x+n与图像W有三个交点，求n的值；(3)若直线y=x与图像W有四个交点，直接写出m的取值范围．题型04二次函数旋转问题22．（2023·安徽·校联考模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A−3,0，B1,0两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l(1)求抛物线的表达式；(2)求△PBC周长的最小值；(3)将线段PC绕点P旋转90°，得到线段PQ，点C的对应点为点Q，当点Q在抛物线上时，求点Q的坐标．23．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=13x2+bx+c的图象经过点A0,2，与(1)求这个二次函数的表达式；(2)点E，G在y轴正半轴上，OG=2OE，点D在线段OC上，OD=3OE．以线段OD，OE为邻边作矩形ODFE，连接GD，设①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值；②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，FG，将△GFH绕点F按顺时针方向旋转α(0°<α≤180°)后得到△G'FH'，点G，H的对应点分别为G'、H'，连接DE24．如图1，抛物线y1=ax2+bx+c分别交x轴于A−1,0，(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标．(2)如图2，将该抛物线绕点4,0旋转180°．①求旋转后的抛物线的表达式．②旋转后的抛物线顶点坐标为Q，且与x轴的右侧交于点D，顺次连接A，P，D，Q，求四边形APDQ的面积．25．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考三模）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2a<0的性质时，如图将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A(1)如图1，若测得OA=OB=22，求a(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，求此时点A、B的坐标；(3)对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．题型05二次函数折叠问题26．（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=34x−9与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物线y=14x2+bx+c经过(1)求B，C两点的坐标及抛物线的解析式，并直接写出点A的坐标；(2)如图1，点D在线段OB上运动，连接CD，沿直线CD折叠△BCD得到△B'CD，当B'D⊥x(3)如图2，连接AC，作∠COE=∠ACO，OE交△ABC的边于点E，请直接写出CE的长．27．（2023·安徽芜湖·校考一模）已知抛物线y=ax2+2x+ca≠0与x轴交于点A−1,0和点B3,0，与y轴交于点C，连接BC，点(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，P为AD上方的抛物线上的一个动点，连接PB交AD于点E．当△ABD的面积被直线BP分成1:3的两部分时，求点P的坐标．(3)如图2，若直线AD沿过点D的直线m折叠后恰好经过点M214,0，请直接写出直线m28．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O0,0，A4,0两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A'的位置，线段A'C与(1)求二次函数的表达式；(2)①求证：△OCD∽△A'BD(3)当S△OCD=8S29．一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3．点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q．初步探究(1)求证：△AQG是等腰三角形；(2)设FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值；深入探究(3)将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图2所示），点B与点О重合，边OC、OA分别与x轴、y轴正半轴重合．点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH．①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；②在①的条件下，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过A、D两点．若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M30．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）已知：如图，抛物线y=−x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时间为t秒，连接OP并延长交抛物线于点B，连接OA(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)当三点A，O，B构成以为OB为斜边的直角三角形时，求t的值；(3)将△PAB沿直线PB折叠后，那么点A的对称点A1能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t

难点03二次函数与几何的动点及最值、存在性问题二次函数常见存在性问题：(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质（两直线垂直，斜率之积等于-1）求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形以AB为腰分别以点A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与已知直线的交点P1，P2，P4，P5即为所求分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐标以AB为底作线段AB的垂直平分线，与已知直线的交点P3即为所求分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB＝AP；②AB＝BP；③BP＝AP列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形以AB为直角边分别过点A，B作AB的垂线，与已知直线的交点P1，P4即为所求分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，BP，AP的长度，由①AB2＝BP2＋AP2；②BP2＝AB2＋AP2；③AP2＝AB2＋BP2列方程解出坐标以AB为斜边以AB的中点Q为圆心，QA为半径作圆，与已知直线的交点P2，P3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB为直角边，且AB的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O与AB垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A或点B得到相应解析式，再联立方程求解．（4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1．如图，抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y(1)求此函数的关系式；(2)在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段(3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标．(4)在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023·河南南阳·统考一模）如图，抛物线与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交于点C0，−4，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线AC交PD于点E(1)求抛物线的解析式；(2)求点A、B的坐标和直线AC的解析式；(3)求当线段CP=CE时m的值；(4)连接BC，过点P作直线l∥BC交y轴于点F，试探究：在点P运动过程中是否存在m，使得CE=DF，若存在直接写出3．抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点(1)求b，c的值；(2)若P为直线AC上方抛物线上的动点，作PH∥x轴交直线AC于点H，求(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使直线AC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N的纵坐标；若不存在，请说明理由．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题4．探究求新：已知抛物线G1:y=14x(1)求抛物线G1平移得到抛物线G(2)设T0,t，直线l：y=−t，是否存在这样的t，使得抛物线G2上任意一点到T的距离等于到直线(3)设H0,1，Q1,8，M为抛物线参考公式：若点Mx1,5．（2023·湖北宜昌·统考一模）如图，已知：点P是直线l：y=x−2上的一动点，其横坐标为m（m是常数），点M是抛物线C：y=x(1)求点M的坐标；（用含m的式子表示）(2)当点P在直线l运动时，抛物线C始终经过一个定点N，求点N的坐标，并判断点N是否是点M的最高位置？(3)当点P在直线l运动时，点M也随之运动，此时直线l与抛物线C有两个交点A，B（A，B可以重合），A，B两点到y轴的距离之和为d．①求m的取值范围；②求d的最小值．6．（2023·云南楚雄·统考一模）抛物线y=x2−2x−3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线(1)直接写出A，B两点的坐标；(2)如图①，当OP=OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；(3)如图②，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m，求FPOP的值（用含m题型03已知点关于直线对称点问题7．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx−c的图象与x轴交于点A(−3,0)和点B(1,0)，与y(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC:y=x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．(3)如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A−1，0，B两点，与(1)求b，c的值；(2)P为第一象限抛物线上一点，△PBC的面积与△ABC的面积相等，求直线AP的解析式；(3)在(2)的条件下，设E是直线BC上一点，点P关于AE的对称点为点P'，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点P'恰好落在直线BC上，如果存在，求出点9．（2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模）如图，“爱心”图案是由抛物线y=−x2+m的一部分及其关于直线y=−x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D(1)求m的值及AC的长；(2)求EF的长；(3)若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线y=−x对称，连接PQ，求PQ的最大值及此时Q点的坐标．题型04特殊角度存在性问题10．（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，抛物线y=18x2+34x−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．P是直线AC下方抛物线上一个动点，过点P作直线l∥BC，交AC于点D，过点P作(1)直接写出A，B，C三点的坐标，并求出直线AC的函数表达式；(2)当线段PF取最大值时，求△DPF的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠CAQ=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2023·山西运城·校联考模拟预测）综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A−6,0，D−1,5两点，点P是直线AD上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m，过点P(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PE的长最大时，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；(3)连接BC，OP，试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得∠OPE=∠BCO，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．12．已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A1,0，B4,0(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求PAPC(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12题型05将军饮马模型解决存在性问题13．抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A−3,0,B(1)求抛物线的解析式(2)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长(3)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点14．（2023·河南周口·校联考三模）如图，抛物线y=−12x2+bx+c交x轴于点A，B，交y轴于点C，连接AC(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)在直线x=1上找一点P，使PA+PC的和最小，并求出点P的坐标；(3)将线段AC沿x轴向右平移a个单位长度，若线段AC与抛物线有唯一交点，请直接写出a的取值范围．15．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校联考一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值；(3)如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．题型06二次函数中面积存在性问题16．（2023·黑龙江鸡西·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+8交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接AC、BC，AB=AC(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点G，使直线BG将△ABC的面积分成1:2的两部分，若存在，求点G的横坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，直接写出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；18．（2023·辽宁盘锦·校联考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A−1，0、B3，0两点，交y轴于C，对称轴与抛物线相交于点P(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在一点Q，使△QPB与△EPB的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．(3)抛物线上存在一点G，使∠GBA+∠PBE=45°，请求出点G的坐标．19．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：y关于x的函数y=a−2(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=4b，则a的值是___________；(2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A−2,0，B4,0，并与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE①当点P为抛物线顶点时，求△PBC②探究直线l在运动过程中，S1题型07二次函数中等腰三角形存在性问题20．（2023·广东湛江·统考三模）如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−x2−2x+3与x轴交于A，B两点，与y(1)如图①，连接BC，在y轴上存在一点D，使得△BCD是以BC为底的等腰三角形，求点D的坐标；(2)如图②，在抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图③，连接BC，在直线AC上是否存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图④，若抛物线的顶点为H，连接AH，在x轴上是否存在一点K，使△AHK是等腰三角形？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由；(5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）如图，抛物线y=x2+bx+c（b、c是常数）的顶点为C，与x轴交于A、B两点，其中A1，0，B−3,0，点P从A点出发，在线段AB上以1单位长度/秒的速度向B点运动，运动时间为t秒0<t<4，过P(1)求该抛物线的解析式；(2)当t为何值时，△CPQ的面积最大？并求出△CPQ面积的最大值；(3)点P出发的同一时刻，点M从B点出发，在线段BC上以52单位长度/秒的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BMP为等腰三角形，若存在，直接写出P22．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，抛物线y=ax2+3x+ca≠0与x轴交于点A−2,0和点B，与y轴交于点C0,8，顶点为D，连接AC，CD，(1)求抛物线的解析式；(2)当t为何值时，△PBC的面积最大？并求出最大面积；(3)M为直线BC上一点，求MO+MA的最小值；(4)过P点作PE⊥x轴，交BC于E点．是否存在点P，使得△PEC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学松山湖学校校考二模）如图，二次函数y=12x2+bx−32的图象与x轴交于点A(−3,0)和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P(1)b=___；点D的坐标：___；(2)线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为12？若存在，请求出点P(3)在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．题型08二次函数中直角三角形存在性问题24．（2023·辽宁营口·校联考一模）已知直线l与x轴、y轴分别相交于A(1,0)、B(0,3)两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B，交x

(1)求直线l的函数解析式和抛物线的函数解析式；(2)在第一象限内抛物线上取点M，连接AM、BM，求△AMB面积的最大值及点M的坐标．(3)抛物线上是否存在点P使△CBP为直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．25．（2023·江苏连云港·校联考三模）如图，二次函数y=ax2+4x+c的图象与x轴交于A、B两点与y轴交于点C，B点坐标−1,0，C(1)求抛物线的函数关系式和点A坐标；(2)在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点Q26．（2023·广东珠海·统考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=2，并且经过点A−2,0，交x轴于另一点B，交(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC上方的抛物线上有一点P，求点P到直线BC距离的最大值及此时点P的坐标；(3)在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBC为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2023·湖北鄂州·统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A−1,0,B3,0,C0,−3，点(1)求该抛物线的函数解析式；(2)当点P的横坐标为1时，求四边形BOCP的面积；(3)连接PC,AC，记△DPC的面积为S1，记△DAC的面积为S2，求S1(4)在(3)的条件下试探究：该拋物线上是否存在点Q，使△APQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．题型09二次函数中全等三角形存在性问题28．如图，抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于A−1,0，B两点，与(1)求抛物线的函数解析式；(2)已知点Pm,n在抛物线上，当−1<m<3时，直接写出n(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为2,3，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，抛物线y=14x2−2x+3与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点为C，对称轴为直线l，l(1)求点A、B、C的坐标；(2)点P是抛物线上的动点，过点P作PM⊥y轴于点M，点N在y轴上，且点N在点M上方，是否存在这样的点P、N，使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等，若存在，请求出点P、N的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2023·陕西西安·西安市第二十六中学校考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点O和点B，顶点为A1，1，直线y=x−2经过点B(1)求抛物线的函数表达式．(2)若N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，是否存在以O，M，N为顶点的△ONM，使得△ONM和题型10二次函数中相似三角形存在性问题31．（2023·广东汕尾·统考二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（B在A的左边），与y轴交于点C0,3，顶点为D(1)求该抛物线所对应的函数关系式；(2)如图，若点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点E，连接PC，是否存在点P，使得△PCE与△BME相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2023·广东潮州·统考三模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴分别交于点A−1，0、B3，0(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM与△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．33．如图，已知抛物线y=ax2+bx+6经过两点A−1,0，B3,0(1)求抛物线的解析式；(2)点Pm,n在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN=90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．34．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=mx2+nx+4m≠0的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点A的坐标为−3,0，点B的坐标为1,0，以OA，OC为边作矩形OADC，且边(1)求二次函数的表达式．(2)现