2025年浙江高考数学模拟试题

1.已知集合M二W/-3工一4<0},N={x|)，=ln(x-1)},则MDN=()

A.(l,4)民[1,4）C.(-1,4)D.[-l,4)

2.若(I-2i)(z—3—2i)=2+i,则5=()

A.-3+3iB.—3—3iC.3+3iD.3-3i

3.已知直线ar+），=0是双曲线。•一!=1（。>0）的•条渐近线，则该双曲线的半焦距为（）

A,瓜B.2x/6C.2x/2D.4V2

4.已知4,B是两个不共线的单位向量，E=44+〃5（/l,〃eR）,则“2>0且〃>0”是

“d(d+B)>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.函数/（x）=a如国的图象不可能是（

A.B.D.

6.如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已

知每个直三棱柱的体积为3,每个四棱他的体积为1,则该正四棱台的体积为（）

B.32C.28D.24

7.在平面直角坐标系xQy中，圆。的方程为（x—3『+）2=],且圆。与4轴交于M,N两点，设直线/的

方程为），=履化>0）,直线/与圆。相交于A,8两点，直线AM与直线BN相交于点尸，直线AM、直

线BN、直线O尸的斜率分别为尢，"k、,则（）

A.勺+&=2k3B.2kl+&=k、C.A1+2k2=k、

8.已知直线3c垂直单位圆0所在的平面，且直线8C交单位圆于点4,AB=BC=\,。为单位网上除A

外的任意一点，/为过点P的单位圆。的切线，则（）

A.有且仅有一点尸使二面角8-1-C取得最小值

B.有且仅有两点，使二面角占一/-。取得最小值

C.有口仅有一点P使二面角B-/-C取得最大值

D.有且仅有两点尸使二面角取得最大值

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1,2；红球有两个，编号为3,

4,从中不放回的依次取出两个球，A表示事件”取出的两球不同色”，8表示事件”第一次取出的是黑

球”，。表示事件“第二次取出的是黑球”，。表示事件“取出的两球同色”，则（）

A.人与。相互独立B.人与8相互独立C.8与。相互独立D.八与。相互独立

10.已知函数/（X）,g（x）的定义域均为R,且/（x）+g（2-x）=5,g（x）-/（x-4）=7.若汇=2是

g（x）的对称轴，且g（2）=4,则（）

AJ。）是奇函数B.（3,6）是g（x）的对称中心

D.区g(k)=130

C.2是/（工）的周期

*-|

11.在平面直角坐标系中，将函数/（工）的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某

个函数的图象，则称/（x）为“。旋转函数”.那么（）

A.存在90。旋转函数

B.80。旋转函数一定是70。旋转函数

C.若g（.r）=ar+：为45。旋转函数，则。=1

D.若A（x）=■^为45。旋转函数，则Tv力40

非选择题部分

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卡中的横线上。

12.（2+jJ（x—2），）6的展开式中I），的系数为.（用数字作答》

13.已知产为抛物线C：），2=4x的焦点，直线x=，与。交于A,B,A/与。的另一个交点为。，BF=

与C的另一个交点为E.若AABF与4DEF的面积之比为4,则t=.

14.设严格递增的整数数列为,a2,—,生0满足4=1，a”=40.设/为4+%，%+%，…，〃凶+公。

这19个数中被3整除的项的个数，则/的最大值为,使得/取到最大值的数列｛4｝的个数为

四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

如图，在三棱锥A-8CD中，48_1_平面8。。，平面ABC_L平面A8O,AC=AD,AB=BD.

（2）求二面角A-CO-8的余弦值.

16.（15分）

记A4BC的内角A,B，C的对边分别为〃，b,c,已知A=C,a=2.

3

（I）若sin8+sinC=2sinA,求ZkABC的面积：

3

（2）若sin3—sinC=—,求/?.

4

17.（15分）

设0＜工＜巳.

2

,.、中.1_p.cos4x-4cos2x+3

（I）若tanx=一,求-------------------：

2cos4x+4cos2x+3

（2）证明：幽二＞2：

x-sin.r

（3）若tanx+2sinx-aY＞0,求实数。的取值范围.

18.（17分）

设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为P（X=%）=%,P（Y=ak）=yk,

x,＞0,yk＞0,k=l,2,…，〃，£七=为以=1.指标£＞（XllV）可用来刻画X和丫的相似程度,

Jt=l氏=1

其定义为。（Xlly）=£＞Jn区.

*=I））

设*~8（〃,〃），0＜/?＜1.

⑴若0＜夕＜1,求。（xlly）：

⑵若〃=2,=攵-1）=；,k=\,2,3,求。（xlly）的最小值；

（3）对任意与x有相同可能取值的随机变量y,证明：D（xllr）＞o,并指出取等号的充要条件.

19.（17分）

已知椭圆C：工+工=1的左焦点为“，P为曲线£：「+4”+工=0上的动点,且点p不在X轴上,

259259

直线F尸交。于4,8两点.

(I)证明：曲线E为椭圆，并求其离心率；

(2)证明：P为线段AB的中点；

(3)设过点A,B且与A8垂直的直浅与C的另一个交点分别为M.N,求△PMN面积的取值范匡.

命题：金华一中

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

l.A2.D3.A4.A5.D6.C7.A8.D

7.如图,由题意得/.：y=4(x—2),与圆C：(x—3y+y2=i联立，

消y整理得（x-2）［（l+好卜-（24+4）］=0,.•./=2,乙=生上1

“；+2-2k「

,同理可得8

毋J+k；，1+片）

2K2k2

1Ib2I_1_L2

.••%=%，•.・&:=/»，即（l+"0（K+2&）=0

1+代i+k；

=-*设2。…忆:忆))

-一_4__匕!______2%

k「k?（2k-4k-2kk,924—4=米=1

}2.,即尸

-2k&[k「kjk「匕3行

耳3

k】+k,=gK=2k、.

8.如图，过A作AM_L/于M,连接MB、MC.

c

因为直线BC垂直单位圆。所在的平面，直线/在平面内，且直线8c交单位圆于点A,所以AC1/,

AM,ACu平面AMC,AM[yAC=A,所以/，平面AMC,MC,平面4MC,所以

/_LMC,ILMB,所以28MC是二面角B—/—C的平面角.

设./BMC=9,ZAMC=a,/AMB=/3、AM=t,则。=a—

2I

由已知得/w(0,2],AB=BC=1,tana=—»tan,

21

八/“\urnaTan夕ttt

1+tana-tanB,21r+2

1.(/+2)-(2/)(&+,(虚T)

令/(/)=不，则r(/)=,当/e(0,夜)时，/'(f)>0，/(f)

(3(入2『

单调递增，当/e(0,2]时，/r(/)<0,/(f)单调递减，/(2)=|>/(0)=0.

所以zw(0,2],当/=0时，/。)取最大值，没有最小值，即当/=亚时tan。取最大值，从而8取最大

值.由对称性知当，=&时，对应P点有且仅有两个点，所以有且仅有两点P使二面角B—/-。取得最大值.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.BCD10.BD11.ACD

10.对于A,因为x=2是g(x)的对称轴，所以g(2—x)=g(x+2),又因为“x)+g(2—x)=5,所以

/(—x)+g(2+x)=5,故/(x)=/(—x)，即/(x)为偶函数，故A错误：

对于B,因为g(x)-/(x-4)=7,所以g(x+4)-/(工)=7,又因为/(x)+g(2-x)=5,联立得

g(2-x)+g(x+4)=12,所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，故B正确;

对于C,因为/(x)+g(2—x)=5,g(2)=4,则/(0)+4=5,即/(0)=1：

因为g(x)-/(x-4)=7,则4一/(一2)=7,即/(一2)=—3,则/(2)=—/(-2)=3；显然

/(2)^/(0),所以2不是/(%)的底期,故C错误;

对于D,因为x=2是g(x)的对称轴，所以g(6—x)=g(x—2),又因为g(2—x)+g(x+4)=12,即

g(x)+g(6—x)=12,则g(x)+g(A2)=12,所以g(x+2)+g(工)=12,所以g(x+2)=g(x-2),

即g(%)=g(J+4),所以g(x)周期为4,因为g(x)周期为4,对称中心为(3,6),所以g⑶=6,当

x=4时，代入g(x)_〃x_4)=7,即g(4)_/(0)=7,所以g(4)=8,所以g(4)=g(0)=8,又

22

x=2是g(x)的对称轴，所以g⑴=43)=6,所以Xg(Z)=5x(6+4+6+8)+6+4=130,故D正

k=l

确.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卡中的横线上。

12.TO13.214.1825270

四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

［证］(I)依题意，A3J•面5CD,又因为ABn“C=4,且5Cu面5CQ,

所以八8_LBC,同理可得/WJLB。，

因为面ABCJ■面8c7),面ABCn面AB£)=AB,3£)匚面8。£),且3£>_L4B,

所以8。_1_面48。，

因为BCu面A8C,所以8CJ,8。.

［解］⑵⑵法1］取C力中点M,并联结人〃、BM.

因为AC=AO,所以AM_LCD,

由勾股定理可知BC=y］AC2-AB2=dAD。-AB?=BD=AB.

因为BC二BD,所以8WJ.8；

则根据二面角定义可知NAM8是二面用A—。一4的一个平面角，且由图可知NAM8为锐角.

又因为48_1面4。。，同理(I)可知A8_L8W,

设人B=a,可得BM=—a,

所以tanNAMB=及，

即二面角A-CO-B的余弦值为正.

3

［方法2］由（1）可知，AB.BC、8D三者两两相互垂直，

故以点8为坐标原点，分别以品、BD.BA的方向为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

（方法2）

由勾股定理可知BC=>JAC2-AB2=JAL^-AB2=BD=AB.

设反=（。,0,0）,则丽=（0,。,0）,

则易得平面BCD的一个法向量可以是）二（0,0,1）,

而衣=（a,0,-4）,而=（0,〃，-办

故可得平面4c力的一个法向量可以是E=（覃，1）.

设二面角A-C£>-3的•个平面角为a,且由图可知a为锐角.

则cosa==—,

即二面角A-CD-B的余弦值为中

16.（15分）

（I）在八48。中，由正弦定理‘一二/一二」一二2R可知:

sinB+sinC=2sinA

sinAsinBsinC

可化为:------1--------2------

2R2R2R

故可得：b+c=2a,代入可得：b+c=4

所以S+=6+C2+2Z?C=16,故〃+。2=]6一%（.（*）

.22

在八43。中，由余弦定理可得：cos、二J'

2bc

代入数据和(*)式可得：bc=4

所以三角形面积为：S=-xs\nAxbc=y/3

2

故三角形A48C的面枳为石.

(2)因为4+8+C=乃且A=工，故8+C=2乃

33

,，、a

代入可得：sinB-sin--B=-

I3)4

因此sinB-—cosB--sinB=-sinfi-

22224

化简可得：sinffi--l=-

<314

情况一：当cos18—(

7t化简可得：sin§=3+收

所以可得：sin5=sin+

T，8

在AABC中，由正弦定理可得：b=-^—sinB=6+币

sinA2

=.(时,

情况一：当cos8-江

I3J

同理可得：sin8=3-后<0,又因为8£(0,万)，故sin8>0

8

故方的值为8+近.

2

17.(15分)

(I)—

16

(2)证明：先证当0<工<生时，x-sinx>0.

2

令m(x)=x-sinx,则W(x)=1-cos>0在0<x<巳时恒成立,

=x—sinx在0,—上单调递增，/.>/7?(0)=0,

即当0<x<2时，x-sinx>0.

2

要证则V-->2,只需证明tan工一大>2(x-sinx),即证tanx+2sinx—3x>0

x-sinx

令。(x)=tanx+2sinx-3x,%£(0,微

,则

,/、1r2cos3A-3COS2X+1(COSX-1)2(2COSX+1)

”(xI=———+2cosx-3=--------；--------=------------------>0.

'cos~xcos~xcos~x

(或———+2cosx-3>3xJ——--•cosx-cosx-3=0)

COS-XVCOS'X

当且仅当cosx=l时等号成立，而0<cosx<l,.•.0'(x)>o

.•.在9(x)在(0,；)上单调递增，.•.^(x)>^(0)=0»即lanx+2sinx-3x>0

山八4…tanx-xc

.,.当0cxe—时，-------->2.

2x-sinx

(3)令/(x)=lanx+2sinx-or,xe(0,]),则/(0)=0,/'(*=-+2cosx-«,

T\1

令f=cosx,则/在xe0,—上单调递减,rG(0,1),fr(x)=g(t)=-+2t-a,

而/(/)=一彳+2<o,.•.g(f)在[«o,l)上递减，.•/(X)在上递增

.•./'(1)的值域为(3-。,田)

(I)当3-。20,即a«3时，r(x)20恒成立，所以/‘(X)在递增，

.•./(力>0,.xVB符合题意：

(II)当3—。<0,即。>3时，r(0)v0,.•.存在不£(0,])使得/(%)=0

.,.当工«0,题)时,ff(x)<0,f(x)递减,此时/(x)<0,矛盾,舍.

综上知，a<3.

18.(17分)

⑴不妨设则