《推理与证明》同步练习1

A/(r)=JR./(x)=^—C./(x)=­!—D

第二章推理与证明24-2x+\x+1

2.1合情推理与演绎推理•=

2x+l

二、填空题

合情推理

2.1.14、依次有下列等式：

典型例题1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,按此

例1观察下列数的特点

1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中，第100规律下去，第8个等式为。

项是0

5、(2000年上海卷)在等差数列｛4｝中，若％。=0,

(A)10(B)13(C)14(D)1C0

解析由规律nJ得：数字相同的数依次个数为

则有等式

1,2,3,4,…n由“("+DW100n£N*

2a\+%+…+%

得,n=14,所以应选(C)

例2对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别

=%+a2+•••+69-"(〃<19,〃€N+)成立，类比

对应垂直,那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，

类比上述命题，可以得到命题：。

上述性质，相应地：在等比数列也”｝中，若d=1,

解析由类比推理如果两个：面角的两个半平面

分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补

则有等式成立.

例3、观察以下各等式：

三、解答题

sin215°+cos245°+sin150cos450=—，分G(2004年上海春招高考题)在4DEF中有余弦定理：

4

析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的DE2=DF2+EF2-2DFEFcosZDFE.拓

等式，并对等式的正确性作出证明。

展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三楼柱

解析猜想：

ABC-A4G的3个侧面面积与其中两个侧面所成二

sin2cr+cos2(a+300)+sinacos(a+300)=-

4

面角之间的关系式，并予以证明.

o证明

练习7、已知数列。［.%，…，。30，其中％，。2,…，。10是首

一、选择题

1、观察下列数：1,3,2,6,5,15,11,x,y,z,122,…中项为1.公差为1的等差数列：4°,〃“，•••，42V是公

X,y,z的值依次是()

(A)42,41,123;(B)13,39,123;(C)24,23,123;(D)28,2差为d的等差数列；的0，。21，…，〃30是公差为/的

7,123.

2、在平面几何里，有勾股定理：“设△/1重的两边月4,等差数列("W0).

M互相垂直，则相+—=%”拓展到空间，类比平面

⑴若OJO=40,求"；

几何的勾股定理，“设三棱锥A-BCX)的三个侧面ABC.

月卬、两两相互垂直，则可得"()

(2)试写出4如关于d的关系式，并求a3G的取

(A)物+"+力==%+卬口加

(B)S2MBeXS2MCDXS2MDB=S2\BCD值范围：

⑹^AABC+SscD+=SmcD

(3)续写已知数列，使得的0，叼，…，如。是公

(D)AffXJ^XAir=BCX6D-X

3、已知/(X+1)=~^^,/(1)=16：£汽*),

差为，”的等差数列，……，依次类推，把已知数列推

猜想/(x)的表达式为0广为无穷数列.提出同(2)类似的问题((2)应当作

为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？

VSAnAE=A,SAu平面SAB,AEu平面SAB,

2.1.2演绎推理平面SAB,

典行例题

例1(1)由①正方形的对角线相等；②平行四边形的练习

时角线相等：③正方形是平行四边形，根据“三一、选择题

1、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一

段论”推理出一个结论，则这个结论是o

起议论。

(A)正方形的对角线相等(B)平行四边形的对角线

小王说：“我肯定考上重点大学。”

相等

(C)正方形是平行四边形(D)其它小刘说：“重点大学我是考不上了。”

(2)下列表述正确的是()。

小张说：“要是不论重点不重点，我考上肯定没

①归纳推理是由部分到整体的推理：②归纳推理是由

一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推问题。”

理：④类比推理是由特殊到一般的推理：⑤类比推理发榜结果表明，三人中考取重点大学、一般大学

是由特殊到特殊的推理。和没考上大学的各有一个，并且他们三个人的预言只

(A)OXD③：(B)②③④：

有一个人是对的，另外两个人的预言都同事实恰好相

(C)②④⑤：

反。可见：<)

(D)®®®0

(A)小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上

(3)有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真

分数，整数是有理数，则整数是真分数”重点大学

结论显然是错误的，是因为()0

(B)小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上

(A)大前提错误(B)小前提错误(C)推理形式错误

(D)非以上错误重点大学

(4)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，

则平行于平面内所有直线：已知直线〃0平面。，直(C)小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上

线4U平面a,直线匕〃平【用a,则直线b//直线a”一般大学

的结B显然是错误的，这是因为Oo

(D)小王考上一•般大学，小刘考上重点大学，小

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以

上错误张没考上

答案(1)选(A)(2)选(D)(3)选(A)(4)选

2、已知直线/、/«,平面a、B,且/_La,用〃£,

给出下列四个命题：

(A)

(1)若。〃月，则/_!_〃?：(2)若

例2(1)在演绎推理中，只要是正确的，结论必定是ILm,则。〃£：

(3)若贝心〃切：(4)若

正确的。

l//m,则a_LF；

其中正确命题的个数是

(2)用演绎法证明y二X’是增函数时的大前提是。

(A)1(B)2(C)

3(D)4

答案(1)大前提和推理过程(2)增函数的定义3、给出下列三个命题：①若

例3如图,S为△ABC所在平面外一点,SA_L平面ABC,。之匕2—1,则」一之2：②若正整数相和〃满

平面SAB_L平面SBC。求证：AB_LBC。1+a1+b

证明:如图,作AE_LSB于E.

足m<n.'〜则/〃?(〃-"?)<：③设

;平面SAB_L平面SRC,，AEJ_平面SBC,

AAEIBC.

又•••SA_L平面ABC,ASAXBC,

C

A

B

0<x+2<2B|J-2<x<0

"(为，乂)为圆。：1+),2=9上任意一点，圆Q

函数y=f(x+2)在(-2,0)上是增函数，

又•.•函数y=f(x+2)是偶函数，

以Q(a，3为圆心且半径为I。当

・•・函数y=f(x+2)在(0,2)上是减函数

由图象可得

(a—七尸+(〃一凹尸=1时，圆01与圆。2相切。

f(2.5)>f(l)>f(3.5)

其中假包野的个数是()故应填f⑵5)>f(l)>f(3.5)

(A)0(B)1(C)2(D)3例3已知a,b,c是全不相等的正实数，求证

b+c-aa+c-ba+b-c.

二、填空题-----------+------------+------------>3

abc

4、设函数/(x)=—,利用课本中推导解析•.,a,b,c全不相等

2V+J2

••・2与巴，£与巴，£与2全不相等。

ahachc

等差数列前〃项和公式的方法，可求得

/(-5)+-+/(0)+-+/(5)+/(6)的值为.

三式相加铸+£+£+%4”6

、函数在上是增函数，函数

5y=f(x)(0,2)y=f(x+2)aabbcc

是偶函数，则f⑴，f(2.5),f(3.5)的大小关系是.

.三、解答题

6、已知：空间四边形ABCD中,E,F分别为BC,CD

b+c-aa+c-bu+b-c_

的中点，判断直线EF与平面ABD的关系,并证明你的++>3

a---h------c

结论.

7、设二次函数危)="+〃x+c36,c£R,〃W0)满足条件：练习

①当x£R时，_/U-4)y2-x),旦危)Nx；②当工

一、选择题

£(0,2)时，1.如果数列｛q｝是等差数列，则()。

2

(A)<t/+tr(B)q+4="4+4(C)

③/(x)在R上的最小值为0。45

求最大值，必〃>1),使得存在WR,只要不£小4+4>q+(D)q%=a4a$

就有加+/)Wx.2.在△ABC中若b=2asinB则A等于()

(A)30°或60°(B)45°或60°(C)60°或120°⑼

2.2直接证明与间接证明

30°或150°

3.下面的四个不等式：①

2.2.1综合法

a1+b2+c2>ab+hc+cai(2)«(1-«)<—：③

典型例题

2222

例1下列四个命题：①若0<a<L则cosiI+a)<cos(I-a);—+—>2；®(a+b)9(c+d)>(ac+bdf.

ba

2

其中不成立的有

②若Ova〈l,则一!一>l+a>;③若x、yeR,

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

1-67

7二、填空题

满足y=x?,则log2(2'+2，)的最小值是g；④若a、

84.已知同=2,9=5,向量，与B的夹角

b€R,贝1］。2+。2+(而+1>。+8。其中正确的是为120°,则(2。-5).a-

()05.如图，在直四棱柱4丛GA—八6c。中，当底面四

(A)①②③(B)①②©(C)②③④(D)①②③④边形A/JC。满足

解析用综合法可得应选(B)条件(或任何能推导出这个条件的其他条件，例如

例2函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，函数y=f(x+2)ABCD是

是假函数，则f(l),f(2.5),f(3.5)的大小关系是.

正方形、菱形等)时，有AICIBID.(注：填上你

解析•・•函数y=f(x)在(0,2)上是增函数，认为正确的一种条

件即可，不必考虑所有可能的情形)

fU-^)+l=/(x+g)

三、解答题

6.证明：已知：«>0,/?>0,求证：

/./(x+g)为偶函数。

$+4之八+加

4b4a练习

7.己知0e(0,g),求y=sinOcos?0的最大值。一、选择题

2.2.2分析法1.已知c〉l,a=y/c+T-五力=丘一」c-\,则

正确的结论是().

典型例题

(A)a>b(B)a<b(C)a=b(D)asb大小不定

例1设mWn,x=m-ni3n,y=nm-n\则x与y的大

2.设a、b、m都是正整数，且a<b,则下列不等

小关系为()。

式中恒不成立的是()0

(A)x>y；(B)x=y；(C)x<y；(D)x/八a.a+m八小、。、a+m2aa+m

(A)——(1(B)->-——(D)-<-——<1(D

#ybb+mbb+mbb+m

解析由分析法可得选(A)

例26一2五与后一近的大小关系是.a+ma

3.已知f《xiy)=f(x)if(y),且f(1)=2,则

解析由分析法可得应填娓-2叵〈后-不f(1)+f(2)--+f(n)不能等于()o

(A)f(1)+2f(1)+-+nf(1)(B)f“(〃+')

例3设/。)=0?+6+以400)若函数/(x+|)

■2■

与/(X)的图象关于轴对称，求证/a+g)为偶函(On(n+1)⑻n(n+1)f(1)

数。二、填空题

解析记尸(幻=/(x+g),4在十进制中

2004=4x10°।0x10'I0xl02I2xl0\那么在

欲证尸(X)为偶函数，只须证

5进制中数码2004折合成十进制为。

F(-x)=尸(x),

5没p=4i、@=4i-6木=娓-叵,那么

即只须证

P.Q.R的大小顺序是。

由已知，函数/(x+1)与f(x)的图象关于轴y对称,

三、解答题

而函数/(x)与/(-x)的图象也是关于y轴对称的

6.自然状态卜鱼类是一种可再生资源，为持续利用这

.•./(-x)=/(x+l)一资源，需从宏观上考察其再生沛•力及捕捞强度对面

于是有群总量的影响，用x,表示某鱼群在第〃年年初的总

/(r+g)=/_。彳)=量，〃eN+,且七>0.不考虑其它因素，设在第〃年

内鱼群的繁殖量及捕捞量都与匕成正比，死亡量与

X:成正比，这些比例系数依次为正常数(3)证明：存在不等于零的常数p,使｛巴±2｝是等

比数列，并求出公比q的值.

<I)求，L+1与匕的关系式；解：(1)(采用反证法).若4川=a〃，即2a“=&,

1+4〃

(II)猜测：当且仅当占，a,b,c满足什么条件时，

解得凡=0,1.

每年年初鱼群的总量保持不变？(不要求证明)

=a=a

从而an=a,1=.....2\=0,1

7.设函数/(x)=xsinx(xwR).与题设1>0,^K1相矛盾，

(1)证明：故a“+ixa”成立•

十2k兀)-f(x)=2^sinx,kwZ；

162"T

(2)设为/(x)的一个极值点，证明CI^=—9a,.=---：----

'17"2"T+1

(3)因为。”+1+P(2++p又

[/Uo)r=7^T-

a”+i2a”

1+巧+〃=〃，，+〃1

a“+ia〃

2.2.2反证法所以(2十"一2q)an+p(l—2q)—(),

典型例题因为上式是关于变量a〃的恒等式，故可解得

例1(I)用反证法证明命题；“三角形的内角中至少

有个不大于60度”时，反设正确的是()

(A)假设三内角都不大于60度：(B)假设三内角都

大于60度;练习

(C)假设三内角至多有一个大于60度：(D)假设三

内角至多有两个大于60度。

一、选择题

(2)已知P”+，=2,关于〃+夕的取值范围的

说法正确的是()1.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()

(A)一定不大于2(B)一定不大于2后(C)一(A)有一个解(B)有两个解(C)至少有三个解(D)

至少有两个解

定不小于2日<D)一定不小于2

解析用反证法可得(I)应选(B)(2)应选(A)2.设a,b,c大于0,则3个数：a+b+-,c+—

bca

例2用反证法证明命题“如果a>b,那么标>物”

的值0

时，假设的内容应为.(A)都大于2(B)至少有一个不大于2(C)都小

解析用反证法可得应填加=正或短〈布

于2(D)至少有一个不小于2

3.已知aGB=/,aUa、bUB,若a、b为异面

例3若q>O、/K1,

直线，则0

(A)a、〃都与/相交(B)a、b中至少一条与/相交

(C)u、，，中至多有一条与/相交(D)

。、〃都与/相交

⑴求证：a,,+]工a“：二、填空题

aa

(2)令"]=g,写出a2、eq、4'5的值，观

4.用反证法证明"/。)=/+必：+4,求证：

察并归纳出这个数列的通项公式“〃；

”(2)|,|/(3)|中至少有一个不小于;”时的假a

b

设为c

用反证法证明“若。则

5.2b>0,(A)1(B)2(03(D)4

J+2-a时的假设为

5、设数列{〃“}的前n项和为S.,令

三、解答题T„=*邑+•••+■,称［为数列％,出，……，

n

6.证明：J5,6,右不能为同一等差数列的三项.

“”的“理想数”，已知数列《，a2,……，％oo的

7.对于直线/：产h+l,是否存在这样的实数匕使

“理想数”为200%那么数列2,%,a2,……，600

得/与双曲线C：3/一/=1的交点48关于直线

的“理想数”为()

.产OX(〃为常数)对称？若存在，求出k的值；若不A、2008B、2004C、2002D、2000

存在，请说明理由。6、计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，

推理与证明测试题采用数字0~9和字母A〜F共16个计数符号,这些符

号与十进制的数字的对应关系如下表：

一、选择题(每题5分，共50分)

1、由数列1,10,100,1000,……猜测该数列的第n

呗可能是()O

A.10";BIO"';

C10"”;

D.ir.

2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”

的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比

较恰当的是()。

①各棱长相等，同•顶点上的任两条棱的夹角都相等：

②各个而都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二

面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶

例如，用十六进制表示E+D=1B,则AxB=()

点上的任两条棱的夹角都相等。

A6EB72C5FDB0

A.①：B.①②：

7、若数列{明}的前8项的值各异，且%+8=%而任

C.①②③：

D.③。意的〃WN+都成立，则下列数列中，可取遍{〃”}的

3、一同学在电脑中打出如下若干个圈

前项值的数列是()

。。•。。。。•。。。。。・…若将此若干个8

招依此规律继续下去，得到系列的圈，那么在前A{“2X+JBMz}l{“4X+I}D{〃64+1}

120个圈中的•的个数是()

(A)12(B)13(014(D)158、设定义域为R的函数F(x)=，若关于x的方程外㈤

4、、在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一行成+W(*)+c=0有3个不同的实数解乂、小、为，

等差数列,每一列成等比数列，则a+b+c的值是0

则$2+E+X；等于()

12

0.51A.5B.C.13D.

1+/。)

9、止实数芭及函数/(X)满足4、=旦2a2b2ca+bb+cc+a

1-/W

16.(12分)已知：/(x)=x?+px+〃，求证：

/(j,)+/(x2)=l,则/(%+9)的最小值为()

(1)/(I)+/(3)-2/(2)=2；

41

(A)4(8)2(C)二(。);

54(2)中至少有一个不小于;。

”，「-1,x>0

10.设函数f(x)=,"17(14分)如图P是&48c所在平面外一点,

1,x<0

PA=P4,C4J,平面Q43,M是

(a-b)Ta-b)-f(a-b)(a丰b)的值为()

2PC的中点，N是/W上的点，

A.aB.bC.a,b中较小的数D.a,b中较大的数拈=3NB、求证：MN上AB。

18(14分)已知：

二、填空题(每题5分，共20分)3

sin230°+sin29OJ+sin2150u=-

11、设函数/(x)是定义在R上的奇函数，且2

通过观察上述两等式的规律，请你写出

)，=/(工)的图像关于直线x=-对称.则

2一般性的命题：

12、设平面内有n条直线(n23),其中有且仅有两

条直线互相平行，任意三条直线不过同点，若用f(n)

表示n条直线交点的个数，则f(4)=当n>4时，f(n)=

并给出(*)式的证明。

13、若数列｛〃”｝,(n£4)是等差数列，则有数列

19.(14分)已知函数f(x)=ax+b,当

&(ng*)也是等差数列,类比

n时，值域为［%,仇］，当彳£［。2，〃2】时，值域为

上述性质，相应地：若数列｛c“｝是等比数列，且c”>

应也］，…，当XG［atl_vbn_x］时，值域为

O(nGN’)，则有d”=(nGN*)也是等比

［a„,bn］,其中a、b为常数，a=0,bi=l.

数列。

(1)若炉1,求数列｛&｝与数列｛ZU的通项公式；

14、定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项

与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数(2)若要使数列｛2｝是公比不为1的

列叫

等比数列，求b的值：

做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列

20.(14分)对于函数/*),若存在

｛%｝是等和数列，且卬=2,公和为5,那么《8

值X。GR,使/1(%)=X。成立，则称X。为/(X)

为，这个数列的前n项和S”的计算公

不动点。如果函数/(/)=三±9他C€N)有且只有两

式为________________.bx-c

三、解答题

个不动点0,2,且

.15.设a,b、c都是正数，求证

(1)求函数/(X)的解析式；

（2）已知各项不为零的数列等比数列｛"｝,如果田=I,则有等式：

｛〃/满足4s1，求数列通项。“：

/

々力2…力“=〃仇…bun5<2k-1,neN♦）

<3）如果数列｛〃“｝满足q=4,。的=/（勺），求

成立

三、解答题

证：当〃22时，恒有<3成立。

6.分析根据类比猜想得出

八SBCC\B1—叫

第二章推理与证明S^GC=S84A+2sAA'S8cq4cos®

参考答案

其中6为侧面为ABBA与BCG4所成的一面角

2.1合情推理与演绎推理

2.1.1合情推理的平面角.

一、选择题

证明：作斜三楂柱ABC-%4G的直截面DEF，

（1）（A）观察各项我们可以发现：x为前一项的3

倍即14X3,y为前一项减I,z为前一项的3倍，故

则ZDFE为面ABB,%与面BCG4所成角，在

应选42,41,123,选（A）。

（2）分析关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓ADE/7中有余弦定理：

住几何要素的如下对应关系作对比：多面体‘»DE2=DF2+EF2-2DF-EFcosZ^,

多边形；面边

体积面积；二面角平将粕‘同枭以AA；,得

面积线段长；……—►

由此，可类比猜测本题的答案：即

^AA3C+S2CD+S晨os=S］BCD，故选（C）。

ASA41GC=SABM+SBCC岛—2sA8gA'SBE［氏COS。

（3）由归纳猜想可得选（B）。

二、填空题

7.解：（1）a］。=1°.a2。=I。+10〃=4°，d=3

（4）由归纳猜想可得

8+9-10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=22

（2）a30=6/2O+10J=10（l+r/+J）（dwO）

152

a对=10（d+g）'

<5）猜测本题的答案为：

仇仇…bn=b。…bi7n（n<\7,neN^）.

当dw（-oo,0）U（0,+8）时，〃⑷£［7.5,+8）.

事实上，对等差数列{4},如果4=0,则

（3）所给数列可推广为无穷数列｛4｝,其中

凡+1+a2k-\-n=〃“+2+a2k-2-n=…