华东师范大学《实分析》2024-2025学年第一学期期末试卷

华东师范大学《实分析》2024-2025学年第一学期期末试卷考试时间：120分钟满分：100分考试形式：闭卷院（系）：__________班级：__________学号：__________姓名：__________得分：__________注意事项：1.所有答案均需写在答题纸上，写在试卷上无效；2.答题前请填写完整个人信息；3.需携带计算器、直尺等必要工具，禁止携带任何参考资料。一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填在答题纸对应位置。下列集合中，不是勒贝格可测集的是（）

A.有理数集B.无理数集C.康托尔集D.不可数的离散点集

设f(x)是区间[a,b]上的勒贝格可积函数，则下列说法正确的是（）

A.f(x)在[a,b]上连续B.f(x)在[a,b]上有界

C.f(x)在[a,b]上几乎处处有限D.f(x)在[a,b]上单调

关于勒贝格积分与黎曼积分的关系，下列结论正确的是（）

A.黎曼可积的函数一定勒贝格可积，且积分值相等

B.勒贝格可积的函数一定黎曼可积

C.有界函数黎曼可积当且仅当它的不连续点集是勒贝格零测集

D.无界函数黎曼可积当且仅当它的勒贝格积分有限

设{fn(x)}是可测集E上的可测函数列，且fn(x)→a.e.f(x)于E，则下列说法错误的是（）

A.存在子列{fnk(x)}，使得fnk(x)→uf(x)于E

B.设E⊂ℝn是可测集，m(E)>0，则下列结论成立的是（）

A.E一定包含一个开集B.E一定是闭集

C.E的内部非空D.E一定是连通集二、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）判断下列命题的正误，正确的打“√”，错误的打“×”，请将答案填在答题纸对应位置。任意多个勒贝格可测集的并集仍是勒贝格可测集。（）若f(x)在可测集E上勒贝格可积，则|f(x)|也在E上勒贝格可积。（）勒贝格零测集的任何子集都是勒贝格可测集，且测度为0。（）若Ef(x)dx=Eg(x)dx，则f(x)=g(x)可测函数列的极限函数一定是可测函数。（）三、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将答案填在答题纸对应位置，不写解题过程。设E⊂ℝ，若m(E)=0，则Ef(x)dx=__________（其中f(x)是设f(x)是[0,1]上的黎曼可积函数，其黎曼积分值为I，则f(x)在[0,1]上的勒贝格积分值为__________。设{fn(x)}是可测集E上的非负可测函数列，且f康托尔集的勒贝格测度为__________。设f(x)在ℝ上可测，且ℝ|f(x)|dx<+∞，则四、计算题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）请在答题纸上写出详细解题过程，只写答案不得分。设E=[0,1]∪[2,3]，定义函数f(x)={x2,设E=ℝ，定义函数f(x)={1,x∈设E=[0,+∞)，计算勒贝格积分五、证明题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）请在答题纸上写出详细证明过程，逻辑清晰，步骤完整。证明：若f(x)是可测集E上的勒贝格可积函数，则对任意ε>0，存在δ>0，使得当可测集A⊂E且