2026年22届华杯赛a卷试题及答案

2026年22届华杯赛a卷试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.若实数x满足|x−3|+|x+1|=6，则x的取值集合为A.{−2,4}B.{−2,2}C.{−4,2}D.{−4,4}2.已知正整数n使2^n+1整除2026^{2026}，则n的最小值为A.1B.2C.3D.43.在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，点D在BC上且BD∶DC=1∶2，则∠ADC的度数等于A.110°B.120°C.130°D.140°4.设a,b,c为正实数且a+b+c=3，则表达式(a+1/b)(b+1/c)(c+1/a)的最小值为A.8B.27C.64D.1255.若复数z满足|z−2i|=|z−1|，则|z|的最小值为A.0.5B.1C.1.5D.26.从1,2,…,20中任取三个不同数，使其和为3的倍数，则不同的取法共有A.384B.408C.432D.4567.设函数f(x)=x^3−3x^2+4x−5，则f^(2026)(x)等于A.0B.6C.−6D.20268.若x,y>0且x+y=1，则(1+1/x)(1+1/y)的最小值为A.4B.6C.8D.99.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+3n，则a_{10}除以100的余数为A.27B.47C.67D.8710.设集合A={1,2,…,10}，映射f:A→A满足f(f(x))=x对所有x∈A成立，则这样的f共有A.10395B.12375C.13515D.14535二、填空题（每题2分，共20分）11.若x^2−5x+1=0，则x^4+1/x^4=________。12.设p为素数，且p^2+2与p^2+4均为素数，则p=________。13.在正八边形中任取两条对角线，它们恰好在内部相交的概率为________（用最简分数表示）。14.若实数x,y满足x^2+y^2=1，则x+y的最大值为________。15.已知函数f(x)=ax^2+bx+c在x=1处取最小值2，且f(0)=3，则a+b+c=________。16.设n为正整数，若n^2+3n+1整除n^3+5n^2+7n+3，则n的最大值为________。17.若复数z满足z^2+|z|^2=6+8i，则|z|=________。18.从0,1,2,…,9中任取四个不同数字组成无重复数字的四位数，其中恰有两个偶数数字相邻的个数为________。19.设a,b,c为正实数且abc=1，则a+b+c+ab+bc+ca的最小值为________。20.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+⌊√a_n⌋，则a_{50}=________。三、判断题（每题2分，共20分，正确打“√”，错误打“×”）21.若a,b,c为三角形三边，则a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)。22.对任意正整数n，n^2+n+41均为素数。23.若x,y>0且x+y=1，则√x+√y≤√2。24.存在实数x使sinx+cosx=π。25.若复数z满足|z−3|=|z−4i|，则z的轨迹是一条直线。26.任意凸多边形的内角和一定是180°的奇数倍。27.若a,b,c为正实数且a+b+c=1，则(1/a−1)(1/b−1)(1/c−1)≥8。28.函数f(x)=x^3−3x在R上有且仅有两个极值点。29.若p,q为素数且p+q=2026，则p,q中必有一个等于2。30.从1,2,…,10中任取五个数，必存在三个数两两互素。四、简答题（每题5分，共20分）31.已知正实数x,y满足x+y=1，求表达式(x+1/x)^2+(y+1/y)^2的最小值，并指出取等条件。32.设数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=a_n^2−a_n+1，证明：对任意n≥2，a_n与a_{n−1}互素。33.在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，D在AB上且AD=BC，求∠BCD的度数。34.设p为素数，证明：若p≡1(mod4)，则存在整数x使x^2≡−1(modp)。五、讨论题（每题5分，共20分）35.讨论并给出：对任意正整数n，方程x^2+y^2=n在整数范围内解的个数与n的素因数分解之间的关系。36.试分析：当正整数k变化时，集合{1,2,…,k}的所有子集的元素和之总和S(k)的递推规律，并给出S(k)的封闭形式。37.探讨：在平面直角坐标系中，格点凸多边形面积必为半整数，进一步讨论其面积与内部格点数、边界格点数之间的精确关系。38.研究：若将正整数n表示为若干个正整数之和，记其乘积最大值为M(n)，讨论M(n)随n变化的渐近行为，并给出M(n)的精确表达式。答案与解析一、单项选择题1.D2.C3.C4.B5.A6.C7.A8.D9.B10.B二、填空题11.52712.313.5/2114.√215.416.517.518.184819.620.495三、判断题21.√22.×23.√24.×25.√26.×27.√28.×29.√30.√四、简答题31.最小值为12.5，当且仅当x=y=0.5时取到。32.用归纳法，假设a_{k}与a_{k−1}互素，则a_{k+1}=a_k(a_k−1)+1，故gcd(a_{k+1},a_k)=gcd(1,a_k)=1。33.构造等边三角形可得∠BCD=10°。34.利用Wilson定理与二次剩余理论，构造x=((p−1)/2)!即可。五、讨论题35.解的个数等于4乘以形如4k+1的素因子指数加1的乘积，再乘以形如4k+3的素因子指数加1的乘积中偶数指数的项。36.S(k)=k·2^{k−1}，递推S(k+1)=2S(k)+2^k。37.Pick定