福建省泉州五中2025-2026学年高一（下）月考数学试卷（二）（含答案）

第=page33页，共=sectionpages99页福建省泉州五中2025-2026学年高一（下）月考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z满足(z+1)⋅i=1-2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是(

)A.-3 B.-3i C.1 D.i2.下列关于几何体特征的判断正确的是(

)A.一个斜棱柱的侧面不可能是矩形

B.底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥

C.有一个面是n(n>3,n∈N)边形的棱锥一定是n棱锥

D.平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形3.航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标是(0,0)的卫星进行三次平移(单位：千米)：第一次沿向量v1=(a,1)补偿平移；第二次沿向量v2=(-1,a)修正平移；第三次沿向量v3=(2,1)校准平移.若卫星最终精准到达坐标是A.4 B.3 C.2 D.14.下列命题正确的是(

)A.若a=(-1,2),b=(m2,1)，且a⊥b，则m=2

B.若∀λ∈R,a≠λb，则a,b不共线

C.若OB,OC是平面内不共线的向量，且存在实数y使得OA5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，c=4，a=4sinA，若D为BC的中点，则cos∠BAD=(

)A.5714 B.2776.已知定义在R上的函数f(x)满足f(3+x)=2-f(1-x)，函数y=log2(4x-3+2)与f(x)图象的交点为P1,A.x0+2y0=0 B.x07.在△ABC中，AD为BC边上的高，垂足D在边BC上，∠CAD=2∠BAD=2θ(0<θ<π4)，BD=1，设△ABD及△ACD的面积分别为S1、S2，当S2A.22<tanθ<1 B.0<tanθ<228.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a2-a+12=(1A.(32,2) B.(22二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设z1、z2为复数，则下列命题正确的是(

)A.若z1+z2>0，则z2=z1-

B.若z1z2=0，则z110.在△ABC中，∠A=π2,BA⋅BC=9，且cosC=45，A.S△ABC=12

B.若m=14，则|AP|的最小值为2

C.若m=114，设AP=xAB+yAC，则x+y的最大值为94

D.若P在△ABC内部11.点P是半径为2的圆O内一定点，且|OP|=1，过点P作圆O的两条互相垂直的弦AB，CD，则(

)A.PA⋅PB为定值 B.OA⋅OB的取值范围是[-4,-2]

C.AC⋅BD为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知|a|=25，|b|=5，且(2a+13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(cosB+1)a=(3-cosA)b，则sinB的最大值是

14.如图，已知BC=4，D，E为△ABC边BC上的两点，且满足∠BAD=∠CAE，BD⋅BECD⋅CE=19，则当∠ACB取最大值时，△ABC的面积等于

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知acosC+ccosA=b22．

(1)求b；

(2)若A=2π3，16.(本小题15分)

如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点，记AB=a，AD=b，且|DM|=1，|DN|=2，∠MDN=60°．

(1)试用向量a，b表示DM，DN；

(2)①求|a|，|b|的值；17.(本小题15分)

如图，某城市有一条公路正西方AO通过市中心O后转向北偏东α角方向的OB，位于该市的某大学M与市中心O的距离OM=313km，且∠AOM=β，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M，其中tanα=2，cosβ=313，AO=15km．

(1)求大学M在站A的距离AM；

(2)18.(本小题17分)

在平面四边形ABCD中，AB=2，AD=4．

(1)若BC=2CD=2．

(i)若A，B，C，D四点共圆M，求AC；

(ii)求四边形ABCD面积S的最大值．

(2)若∠BAD=π3，∠BCD=2π3，AC与BD交于点O.记∠CAD=θ，求当θ为何值时，19.(本小题17分)

如图，设Ox，Oy是平面内相交成α(0<α<π)的两条射线，e1，e2分别为Ox，Oy同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量在斜坐标系α-xOy中的坐标，记为OP=(x,y)．

(1)在斜坐标系π3-xOy中，OM=(2,3)，求|OM|；

(2)在斜坐标系α-xOy中，OP=(2,1)，OQ=(1,-1)，且OP与OQ的夹角θ=π3．

①求α；

②A，B分别在射线Ox

答案1.C

2.C

3.C

4.C

5.A

6.B

7.A

8.A

9.BD

10.BC

11.ABC

12.π313.214.215.【解：(1)根据题意可知，acosC+ccosA=b22，结合正弦定理，

得sinAcosC+sinCcosA=b2sinB，

即sin(A+C)=b2sinB，即sinB=b2sinB，

∵B∈(0,π)，∴sinB≠0，即b=2；

(2)sinB=1-cos2B=217，

利用正弦定理得a=bsinB⋅sinA=2217×32=7，

而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=32×277-12×217=2114，

故△ABC的面积S=12absinC=12×2×7×2117.解：(1)在△AOM中，A0=15，∠AOM=β，且cosβ=313，OM=313，

由余弦定理可得：AM2=OA2+OM2-2OA⋅OM⋅cos∠AOM=(313)2+152-2×313×15×313=72．

所以可得：AM=62，大学M在站A的距离AM为62km.…6分

(2)∵cosβ=313，且β为锐角，

∴sinβ=213，

在△AOM中，由正弦定理可得：AMsinβ=OMsin18.解：(1)设∠ABC=α，∠ADC=β，其中α，β∈(0,π)，

在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB⋅BCcosα=8-8cosα；

在△ACD中，由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD⋅CDcosβ=17-8cosβ；

因此8-8cosα=17-8cosβ，可得cosα-cosβ=-98，

(i)若A，B，C，D四点共圆M，因此β=π-α，

可得cosβ=cos(π-α)=-cosα，sinβ=sin(π-α)=sinα，

由cosα-cosβ=-98可得2cosα=-98，因此cosα=-916，

因此AC2=8-8cosα=252，因此AC=522；

(ii)因为四边形ABCD面积S=S△ABC+S△ACD=12×2×2×sinα+12×4×1×sinβ，

因此sinα+sinβ=12S，且cosα-cosβ=-98，

又因为(sinα+sinβ)2+(cosα-cosβ)2=2-2cos(α+β)≤4，

当且仅当α+β=π时，等号成立

因此14S2+8164≤4，解得S≤574，

19.解：(1)因为设Ox，Oy是平面内相交成α(0<α<π)的两条射线，e1，e2分别为Ox，Oy同向的单位向量，

若向量OP=xe1+ye2，则把有序数对(x,y)叫做向量在斜坐标系α-xOy中的坐标，记为OP=(x,y)，

因为OM=(2,3)，所以OM=2e1+3e2，

所以OM2=(2e1+3e2)2=4e12+1