浙江省杭州地区含周边重点中学2025-2026学年下学期高一数学期中试卷（含答案）

2025学年第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学高一年级数学学科试题考生须知:1.本卷满分150分,考试时间120分钟;2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。第I卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足1−iz=2，则A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知全集U=A∪B={1,2A.{1}B.{1,3.已知向量a=1,0,b=3,1A.14bB.34b4.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,A.0B.1C.2D.不确定5.已知sinα−β=15A.12C.136.矩形ABCD中,点E是边AD上靠近点A的三等分点,点F是边DC的中点,连接BE,BF分别与AC交于P,Q两点.若PQ=λA.12B.23C.47.设直角三角形的两直角边长为a,b，斜边长为c.记该三角形绕边长为x的边旋转所得的几何体体积为Vx,则A.Va+C.1Va8.定义域为0,+∞的函数fx满足:对任意的x,y都有fx⋅y=fx+fy,当x>A.0<a<1B.a二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.关于空间中直线与平面的位置关系,下列命题正确的是A.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行B.若直线a不平行于平面α且a⊄α,则平面α内不存在与aC.若两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与这个平面平行D.若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点10.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,ha,hA.A=π3B.haC.1hb2+1hc2的值可取11.已知函数fx=A.当k=3时,函数fxB.当k=3时,函数fx的图象关于C.当k=4时,函数fxD.当k=4时,函数f第II卷三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量a,b满足a=b=2，a与b的夹角为12013.电视剧《太平年》再现了吴越国王钱弘俶“纳土归宋”的历史.杭州宝石山上的保俶塔，正是百姓为祈愿其平安而建的.为了测量这座历史古塔的高度AB(A为塔顶，B为塔底)，测量人员在山脚平地上选取了两个观测点C和D,使得C,D,B三点共线,在点C处测得塔顶A的仰角为30∘,在点D处测得塔顶A的仰角为45∘，若测得两点间距离CD为第14题图14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3,点N在棱CC1上,C1N=2NC,点M在棱BC上(点M异于四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)已知关于x的一元二次方程x2+px+q=0(p,q∈(1)若z1=3+2i(2)若z1=2,z116.(本题满分15分)已知函数fx=(1)求函数fx(2)将函数y=fx的图象向右平移π6个单位，得到函数y=gx的图像.记hx=f第16题图17.(本题满分15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=45∘,B=30∘,b=1第17题图(1)求a的值；(2)求△ACD(3)求tan∠ADB18.(本题满分17分)已知函数fx(1)求函数fx在区间0,+∞(2)求证:f2x(3)若不等式f22x+af−x⋅f2x+19.(本题满分17分)在平面直角坐标系中,对任意平面向量AB=x,y,把AB绕其起点逆时针方向旋转θ角得到向量AC=xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ，则称点C为关于A的“B−θ旋转点”.已知O为原点，A1,0，B2,0，C3,0，点P为关于O(1)若α=β=π3，求点P(2)当α=β时，求OQ(3)证明:对任意α∈0,π2，存在唯一β∈2025学年第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学高一年级数学学科参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.12345678ABBCBDDC二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.BD10.ABD11.BCD三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.213.333+四、解答题:本题共5小题,共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本题满分13分)(1)法一:由2i+3是x2+整理得5+3p+q所以p=−6法二:由2i+3是x2+px+q=0的一个根,可知q.6分(2)设z由z1=2,得a2+b2=所以az1+16.(本题满分15分)(1)由图可得A=3,34T=7π12−∴ω=2ππ=又f7π12=3sin2∵0<(2)gh∵x∈0,π4,∴2x+π6∈π当2x+π6=π2时,hx取得最大值为17.(本题满分15分)(1)由正弦定理，得a=b(2)由题意知，∠BCD=∠CBD=15∘，所以∠BDC=150法一:由余弦定理BC2=B在RtΔACD,AC=1,法二:由正弦定理BCsin∠得CD=BC(3)记∠ADC=所以tan∠ADB=tan18.(本题满分17分)(1)fx=1−ex1+ex(2)证明:右边=2fx1+f2(3)∀x∈R,f−x=1−e−x1+e−x=ex−整理得2a≤4令u=gu=41+u+1u所以2a≤4,即实数a的取值范围为(−∞,19.(本题满分