认识三角形（第1课时三角形的概念及内角和）（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

4.1认识三角形第1课时三角形与三角形的内角和第四章三角形

北师大版（新教材）·七年级下册学

习

目

标123理解三角形的概念，能用符号表示三角形及其基本要素（边、角、顶点）；探索并掌握三角形内角和定理，能运用定理进行简单计算；掌握三角形按角分类的方法，理解直角三角形的性质（两锐角互余）.经历从生活中抽象出三角形的过程，体会数学建模思想；通过撕纸、拼图等操作活动，探究三角形内角和定理，积累数学活动经验；在小组合作中，培养交流表达能力和有条理的推理能力.在探究活动中感受数学的奇妙，激发学习兴趣；通过“内角三兄弟之争”的故事，体会数学与生活的联系，培养辩证思维.章前引言三角形是生活中常见的基本几何图形，它常常出现在建筑物上或一些物体的结构框架中。留心观察你所看到的各种事物，你发现各式各样的三角形了吗?

本章将进一步研究三角形的性质及三角形的全等关系。你将感受研究图形性质的基本方法，在一个个结论的获得过程中，慢慢体会如何有逻辑地说明它们的正确性;在用尺规作图的过程中，感受如何通过对图形的直观分析作出想要的图形。这些学习过程会帮助你积累更多研究图形的经验，发展几何直观和推理能力等。章前引言本章是如何说明与三角形有关的结论的合理性的?在本章学习过程中，你可以持续思考以下问题你认为可以从哪些方面研究平面图形以及它们之间的关系?导入新课从生活中发现三角形观察这些图片，你能找出我们熟悉的图形吗？无处不在的三角形三角形是我们生活中最常见的几何图形之一，它结构稳定、造型优美，在建筑、工业、交通等领域有着极其广泛的应用。埃及金字塔宏伟的侧面轮廓构成了完美的等腰三角形，历经千年风雨依然稳固，是几何与力学的经典结合。现代建筑屋顶设计师利用三角形的稳定性，将其融入屋顶结构设计中，不仅造型现代美观，更提供了稳固的力学支撑。导入新课无处不在的三角形三角形是我们生活中最常见的几何图形之一，它结构稳定、造型优美，在建筑、工业、交通等领域有着极其广泛的应用。自行车车架三角形结构是车架的核心设计，它提供了极佳的承重能力与抗形变能力，是工业设计中利用三角形特性的典范。交通警示标志利用三角形醒目的视觉特征，配合对比色彩，能够在远距离快速吸引注意力，起到高效的道路安全警示作用。导入新课导入新课为什么设计成三角形?今天我们就来系统认识三角形

——这个最简单却又最重要的几何图形.你还能举出生活中的例子吗？三角形有什么特殊的性质？新知探究探究点1三角形的定义与表示议一议（1）你能从图中找出几个不同的三角形吗?斜梁斜梁横梁一共有10个（2）这些三角形有什么共同的特点?都是由三条线段首尾顺次相接新知探究探究点1三角形的定义与表示议一议（3）观察下面的图形，哪些是三角形？为什么？只有三条线段“首尾顺次相接”组成的图形才是三角形.三条线段首尾顺次相接围成封闭图形线段未首尾相接图形不封闭三条线段在同一直线上未形成封闭面由四条线段组成

边数不符合要求新知探究探究点1三角形的定义与表示议一议

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。ABC三角形的三要素：①有三条边：②有三个内角：③有三个顶点：位置关系连接方式（4）说一说三角形怎样定义？组成三角形的三条线段相邻两边组成的角（内角）相邻两边的公共端点新知探究探究点1三角形的定义与表示议一议（5）三角形的几何表示方法用三角形符号：△记作：△+×××（三个顶点大写字母）ABC△ABC三角形的边表示为AB、AC、BC，

有时也用a，b，c表示。如图，三角形三边的表示：如图，三角形三个内角的表示：三角形的内角∠A、∠B、∠C。abc（6）请表示图中的三角形△AEGABCFDEG若三角形顶点为A、B、C，则记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。△ABD△ABE△AFD△ADE△ABC△AEC△FBD△GEC△ADC活动：拼图步骤1：每个学生剪一个三角形纸片步骤2：将三角形的三个角撕下来步骤3：将三个角的顶点拼在一起，

观察拼成的图形发现：

。三角形的内角和等于180°观察•交流探究点2

三角形内角和定理做一做123（1）小学时我们就知道三角形的内角和是180°，还记得我们是如何验证的吗？将一个三角形的三个角撕下来，拼在一起，可以得到一个平角123探究点2

三角形内角和定理议一议小明只撕下三角形的一个角，也得到了三角形内角和是180°，他的做法如下。（1）如图所示，剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3.132

（2）将∠1撕下，按图所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合。1321观察•交流这样也能说明∠1，∠2和∠3的和是180°1321探究点2

三角形内角和定理议一议观察•交流（3）撕下∠1，将∠1的顶点与∠2的顶点重合，一条边与∠2的一条边重合，此时∠1的另一条边与∠3的边平行吗？为什么？BACE由内错角相等，两直线平行可得AB∥CE（4）由AB∥CE可得∠3与∠BCE有什么大小关系？∠3+∠BCE=180°(两直线平行，同旁内角互补)（5）∠BCE与∠1、∠2有什么关系？所以∠3+∠1+∠2=180∠BCE=∠1+∠2即：三角形的内角和等于180°新知探究探究点2

三角形内角和定理议一议

（6）利用此图请说明三角形三个内角和等于180°ab证明：∵∠1=∠1'∴a∥b(内错角相等，两直线平行)。∴∠1+∠2+∠3=180°∴∠1'+∠2+∠3=180°。3211'ABCE∴∠3+∠BCE=180°(两直线平行，同旁内角互补)∵∠BCE=∠1+∠2即∠A+∠B+∠BCA=180°。新知探究探究点2

三角形内角和定理归一归几何语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。（6）三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°。ABC思考•交流探究点3

三角形的分类——按角分议一议（1）内角三兄弟之争，谁有理？📖小故事直角三角形里，锐角“老二”想和直角“老大”一样大，老大却说“不可能”，否则“家”就围不起来了。这其中蕴含了什么数学道理？🤔思考问题为什么一个三角形中不能有两个直角？同理，能存在两个钝角吗？这与我们学过的“内角和定理”有什么关系？一个三角形中，最多只能有一个直角或一个钝角，且至少有两个锐角。🔍原理解析根据“三角形内角和为180°”：若有两个直角(90°+90°=180°)，第三个角为0°，无法构成三角形；两个钝角之和会超过180°，也不成立。思考•交流探究点3

三角形的分类——按角分议一议下面的小明和小颖手中拿的三角形被遮住的两个内角是什么角?试着说明理由。都是锐角。露出的角是直角露出的角是钝角都是锐角。思考•交流探究点3

三角形的分类——按角分议一议

（2）下面的小亮手中拿的三角形被遮住的两个内角是什么角?试着说明理由。露出的角是锐角可能是两个锐角，或一直角一锐角，或一钝角一锐角∟∟探究点3

三角形的分类——按角分议一议锐角三角形三个内角都是锐角直角三角形有一个内角是直角钝角三角形有一个内角是钝角（3）按三角形内角的大小如何给三角形分类？思考•交流根据三角形内角的大小，我们可以将其分为三类新知探究探究点4

直角三角形的性质议一议直角三角形ABC的符号表示：“Rt△ABC”。ABC把直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角三角形的直角边。直角边直角边斜边注意:“Rt△”后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用。∟（1）认识直角三角形尝试•思考探究点4

直角三角形的性质议一议（2）在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A与∠B有什么关系？在Rt△ABC中，∠A=90°，(1)若∠B=30°，则∠C=_____，∠B+∠C=_____。(2)若∠B=80°，则∠C=_____，∠B+∠C=_____60°90°10°90°（3）直角三角形的两个锐角之间有什么关系?直角三角形的两个锐角互余。几何语言：在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B=90°。∠A+∠B=180°-∠C=180°-90°=90°典例分析例1：在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，

求∠A、∠B、∠C的度数，并判断三角形的形状。解：设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=3x°，∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和等于180°）∴x+2x+3x=180°，

得：x=30°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴

△ABC是直角三角形.按比例表示度数💡核心思路：利用“方程思想”设元。

设∠A为x，则∠B为2x，∠C为3x，代入内角和公式求解典例分析例2：在△ABC中，∠B=∠C=2∠A，求∠A的度数。解：设∠A=x°，则∠B=∠C=2x°，∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和等于180°）∴x+2x+2x=180°，

得：x=36°，∴∠A=36°，∠B=72°，∠C=72°💡核心思路：

统一变量。设最小角∠A为x°，则∠B与∠C均为2x°，构建一元一次方程。典例分析例3：在Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若∠A=50°，求∠B的度数；（2）若∠A=90°－m°，求∠B的度数.解：（1）由直角三角形两锐角互余，

∠B=90°－50°=40°；（2）由直角三角形两锐角互余，

∠B=90°-（90°－m°）=m°.核心思路：应用“直角三角形两锐角互余”的性质，即∠A+∠B=90°。新知巩固1.观察下面的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形?①②③④⑤⑥⑦锐角三角形锐角三角形直角三角形直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形【课本P87】③⑤是锐角三角形;①④⑥是直角三角形;②⑦是钝角三角形.随堂练习新知巩固2.一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形?(1)

30°和60°；(2)

40°和70°；(3)50°和20°。解：(1)180°-30°-60°=90°，直角三角形；

(2)180°-40°-70°=70°，锐角三角形；

(3)180°-50°-20°=110°，钝角三角形。【课本P87】随堂练习拓展提升

真题感知

C

真题感知

知识总结（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形.（2）三角形的表示：用符号“△”表示，如△ABC.（3）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.（4）三角形的分类（按角）：锐角三角形（三个角都是锐角），直角三角形（有一个角是直角，两锐角互余），钝角三角形（有一个角是钝角）.课堂小结方法总结课堂小结（1）抽象思想：从生活实例中抽象出几何图形.（2）分类思想：按角的大小对三角形进行分类.（3）转化思想：将三角形的三个内角拼成一个平角.（4）方程思想：利用内角和定理列方程求角度.易错提醒课堂小结（1）概念混淆：

误以为“三角形内角和是180°”只适用于某些三角形（实际适用于所有三角形）.（2）符号错误：

用“△”表示三角形时，字母顺序可以任意，但应便于叙述.（3）分类遗漏：

按角分类时，漏掉某一种类型（特别是钝角三角形容易被忽视）.（4）直角三角形性质误用：

误以为所有三角形的两锐角都互余（只有直角三角形才成立）.课后练习教材p92页解:根据三角形三个内角的和等于180°，得x+2x+3x=180，解得x=30。所以2x°=2×30°=60°，

3x°=3×30°=90°，即△ABC各内角的度数分别为30°，60°，90°。1.如图，求△ABC各内角的度数。习题4.1课后练习2.在下面的空白处，分别填入“锐角”“钝角”或“直角”：(1)如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是_______三角形；(2)如果三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是_______三角形；(3)如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形是_______三角形。