数学建模仿真教程-6.2 空气质量监测数据的校准

CONTENTS目录01020304模块1初等模型模块2微积分模型模块3线性代数模型模块4概率与统计模型数学建模仿真教程0506模块5优化模型模块6多元统计模型07080910模块7综合评价模型模块8时间序列模型模块9空间解析几何模型模块10神经网络模型1112模块11差分方程模型模块12灰色预测模型Chapter章节6模块6本模块介绍了基于多元统计的知识和方法建立数学模型的过程。其中，多元统计主要包括相关分析、回归分析、聚类分析、判别分析、主成分分析等。数学建模仿真教程【问题描述】国家监测控制站点（简称国控点）对“两尘四气”（包括PM2.5、PM10、CO、NO2、SO2、O3）的浓度能够提供有效监测，而且精确度较高，但因为国控点的布控较少，数据发布时间滞后较长且花费较大，无法给出实时空气质量的监测和预报。某企业生产的微型空气质量检测仪（简称自建点）可对空气质量进行实时网格化监控，除监测“两尘四气”外，还可同时监测风速、气压、降水、温度、湿度等气象参数，美中不足的是检测精度不高。因此，建立自建点监测数据校准模型，对提高微型空气质量检测仪的检测精度具有重要意义。从最近一段时间内国控点和自建点所发布的数据中整理出原始数据，如表6.4所示。请建立数学模型，解决以下问题：（1）针对PM2.5建立自建点监测数据的校准模型。（2）根据自建点当前实时检测数据（表6.5）对PM2.5浓度进行校准。（本题来自全国大学生数学建模竞赛2019年D题）步骤一，模型假设（1）国控点发布的PM2.5浓度数据是准确的。（2）自建点发布的PM2.5浓度数据是不准确的。（3）由气象知识可知，PM2.5浓度与风速、气压、降水、温度、湿度等气象因素有一定的关系。（4）国控点PM2.5浓度与自建点PM2.5浓度显著相关。画出二者的散点图，如图所示，从图中可知，二者属于正相关。计算二者的线性相关系数为0.8873，表明二者具有显著的正相关关系。请扫码观看视频步骤二，模型建立2.1模型选择题目要求建立一个“校准器”，然后把自建点发布的不准确的PM2.5浓度和其它5个气象数据输入该“校准器”，期望获得精确度较高的PM2.5浓度，因此，可以建立多元线性回归模型，以国控点PM2.5浓度为因变量，以自建点PM2.5浓度和其它5个气象因素为自变量，便可以实现自建点实测数据的校准。这里容易出现的错误是，以自建点PM2.5浓度为因变量，以国控点PM2.5浓度和其它5个气象因素为自变量。之所以会出现这样的错误，是把自建点“发布数据”理解为自建点“输出数据”了，正确的理解是，自建点实测数据必须经过“校准器”的“出口”校准后再发布，而这个“出口”就是国控点，因此必须把国控点PM2.5浓度作为“出口”，即因变量。步骤二，模型建立步骤二，模型建立步骤二，模型建立2.2参数估计使用SPSS软件求解。设置步骤如下。第1步，导入数据。步骤二，模型建立2.2参数估计使用SPSS软件求解。设置步骤如下。第2步，变量的属性（默认）。步骤二，模型建立2.2参数估计使用SPSS软件求解。设置步骤如下。第3步，设置自变量和因变量。步骤二，模型建立2.2参数估计使用SPSS软件求解。设置步骤如下。第4步，设置统计量。步骤二，模型建立2.2参数估计使用SPSS软件求解。设置步骤如下。第5步，设置绘图。小提示：在设置“绘制”框时，横坐标必须取“标准化预测值”，纵坐标必须取“标准化残差”，这是因为此处画图的目的是检验残差的随机性、独立性和方差齐性，因此要把残差设置为因变量，检验它是否随机、是否与预测值存在依赖关系、方差是否稳定（常数）。步骤二，模型建立2.2参数估计使用SPSS软件求解。设置步骤如下。第6步，其余选项使用默认设置，点击“确定”输出结果。步骤二，模型建立2.3统计检验2.3.1拟合优度检验步骤二，模型建立2.3统计检验2.3.2线性关系检验回归方程线性关系的检验（F检验）结果如图所示。步骤二，模型建立2.3统计检验2.3.3回归系数检验回归系数检验（t检验）结果如图所示。步骤二，模型建立2.3统计检验2.3.3回归系数检验回归系数检验（t检验）结果如图所示。步骤二，模型建立2.3统计检验2.3.3回归系数检验回归系数检验（t检验）结果如图所示。但是，根据假设（3），由气象理论知识可知，PM2.5浓度与风速、气压、降水、温度、湿度等气象因素均有一定的关系，只不过这种关系有强有弱而已。因此，这里应该从气象理论和数据校准的目的出发选择自变量，而不应该从统计检验的结果来选择自变量，这也就是本文为什么要把全部6个自变量纳入回归模型的原因。步骤二，模型建立2.3统计检验2.3.3回归系数检验回归系数检验（t检验）结果如图所示。步骤二，模型建立2.3统计检验2.3.4残差正态性及0均值检验正态性检验及0均值检验的结果如图所示。从上图可知，残差近似服从正态分布，且残差均值约等于0。下图是残差的P-P图，如果所有实测点处于直线附近，那么残差服从正态分布；否则，如果所有实测点距离直线较远，那么残差不服从正态分布。从图中可知，所有实测点处于直线附近，表明残差的正态性检验获得通过。步骤二，模型建立2.3统计检验2.3.5残差独立性及其方差齐性检验残差独立性及其方差齐性检验结果如图所示。若n个点是随机分布的，相互之间没有一定的依赖关系（趋势或规律），则残差独立性检验获得通过，否则，若n个点之间具有一定的依赖关系，则表明残差不是独立的。从图中可知，散点之间没有明显的依赖关系，说明残差具有独立性。在图中，若n个点随机分布在0附近，则表明残差的方差是常数（也称齐性），否则，若n个点的分布具有喇叭状，则表明残差的方差不是常数。从图中可知，散点分布在0附近，没有喇叭形态，说明残差的方差具有齐性。步骤二，模型