数学建模仿真教程-2.2 雨量预报

CONTENTS目录01020304模块1初等模型模块2微积分模型模块3线性代数模型模块4概率与统计模型数学建模仿真教程0506模块5优化模型模块6多元统计模型07080910模块7综合评价模型模块8时间序列模型模块9空间解析几何模型模块10神经网络模型1112模块11差分方程模型模块12灰色预测模型Chapter章节2模块2本模块介绍了基于微积分的知识和方法建立数学模型的过程。其中，微积分主要包括函数、极限、导数、微分、积分、微分方程、级数等。数学建模仿真教程【问题描述】我国某地气象研究所正在研究每隔6小时的雨量预报方法，在位于10×8的网格点上进行雨量预报，已知某日9点至15点（6小时）用两种不同方法预报的雨量如表2.6所示，雨量用毫米做单位，小于0.1毫米视为无雨，这些预报点的经纬度如表2.7所示。同时设立10个观测站点测量实际雨量，由于各种条件的限制，观测站点的设置是不均匀的。同日同时段的实测数据如表2.8所示。气象部门希望从两种方法中筛选出更好的雨量预报方法。请使用数学建模方法研究以下问题：建立科学评价两种预报方法好坏的数学模型。（本题来自全国大学生数学建模竞赛2005年C题）步骤一，模型假设所有数据真实可靠，不存在系统性误差和登记性误差。步骤二，模型建立问题分析：针对两种预报方法的好坏进行评价，需要设计一个或几个评价指标，例如预报准确率、预报稳定性等。就预报准确率来说，由于10个观测点的实测雨量是已知的，因此需要对这10个观测点的预报雨量进行估计，估计之后，通过比较实测雨量与估计雨量的误差，就可以得出哪个预报方法更好。要估计10个观测点的预报雨量，就需要根据80个预报点的预报雨量来估计，而函数插值方法就可以达到这个目的。步骤二，模型建立建模思路：首先，使用函数插值方法对10个观测点的预报雨量进行估计。其次，设计并计算10个观测点的实测雨量与估计雨量的误差指标。最后，通过比较误差指标得出哪个预报方法更好。步骤二，模型建立1.观测点雨量估计方法使用函数插值方法对两种预报方法在各个观测点的雨量进行估计。所谓函数插值方法，简单地说，就是给定一批数据点，需要确定一条曲线或一个曲面，如果要求所求的曲线或曲面严格通过这些数据点，就是插值问题。有了曲线或曲面，就可以估计其它点处的函数值。插值问题根据维数的不同可分为一维、二维、三维甚至n维插值。步骤二，模型建立根据本题的特点，每个预报点（或观测点）都有3个维度，即纬度、经度和雨量，如果规定所求的曲面严格通过这些预报点，就是二维插值问题，而二维插值方法常见的有两种：网格节点插值和散乱节点插值。网格节点插值适用于规范矩形网格点插值的情形，而散乱节点插值适用于一般的数据点，尤其是数据点不规范的情形。步骤二，模型建立根据本题的特点，虽然表面上所有80个预报点排列成10×8的矩形网格，但它不符合二维插值中的网格。二维插值中的网格，以本题中的纬度网格为例来说明，其第1行8个预报点的纬度与第2行是相同的，与第3行也是相同的，即行与行之间的纬度是相同的，而且纬度值必须是单调的。显然，在本题中的纬度网格中，第1行8个预报点的纬度与第2行是不相同的。因此，本题的函数插值需要使用散乱节点插值方法。小提示：在使用二维网格插值方法的时候，必须严格审核网格数据是否规范，不要被表面现象所误导。例如，把9个散乱节点排成3×3的矩形网格，它仍然是散乱节点，而不是规范矩形网格节点。步骤二，模型建立步骤二，模型建立步骤三，模型求解请扫码观看视频在函数插值中使用分段线性插值算法对观测点的雨量进行估计，再使用雨量预报方法评价模型进行评价，结果如表2.9所示。从表中可知:方法一的平均值小于方法二，说明方法一的预报误差更小；方法一的标准差小于方法二，说明方法一的预报稳定性更高。总体来说，方法一优于方法二。步骤三，模型求解小知识：在使用MATLAB软件的时候，关于二维散乱节点插值，有4种算法：最邻近点插值（nearest）、分段线性插值（linear，默认）、保形分段三次插值（cubic）、v4插值（v4），v4算法是目前公认的插值效果较好的算法之一。步骤四，结果检验使用“留一法”对分段线性插值算法的误差进行检验。步骤四，结果检验小经验：在作误差分析的时候，如果是小样本，一般选择留一法较好，它有2个优点：一是每一回合中几乎所有的样本皆用于