三角函数与解三角形-2026年高考数学分类汇编含答案

三角函数与解三角形--2026年高考数学分类汇编三角函数与解三角形题型01三角函数化简与求值题型02三角函数的性质题型03三角函数的图象题型04正(余)弦定理的基本应用题型05解三角形中的最值问题题型06正(余)弦定理与向量、函数等知识的交汇三角函数化简与求值三角函数化简与求值A.2a²-1B.1-2a²C.1-a²6.(2026·河南南阳·一模)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距θ(0°≤θ<90°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长1等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即1=htanθ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α,β,若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且,则第二次的“晷倍8.(2026-河北邢台·一模)已知,则sin(a+β)sinβ=()C11.(2026-河北衡水·一模)若的取值范围是()A.-113.(2026·山东临沂·一模)已知锐角α,β满足sin(a+β)=3sin(a-β),则sin(α-β)的最大值是()15.(2026·湖北襄阳·一模)已知f(x)=2sinx+3cosz,若f(z₁)=f(x₂),题型题型二三角函数的性质20.(2026·山西晋城·一模)已知函数f(x)=sinwx(w>0)的图象关于直21.(2026-辽宁抚顺·一模)当：时，函数f(x)=coswx+V3sinwx(w>022.(w>0)的最小正周期为π,其图象的对称中心可以为23.(2026-湖北黄冈·一模)函数f(x)=tan(wx+φ)(w>0)的图象关于点对称，且直线y=1与函数f(x)图象的相邻两交点间距离为则正实数φ的最小值为()于直线对称，且,则φ=()25.(2026-河南南阳·一模)已知函数f(x)=cosx(sinx-|sinx|)的周期为T,值域为I,则()A.T=π,I=[-1,1]B.T=π,I=[0,1]C.T=2π,I=[-1,1]的对称中心为()的,纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)图象的对称中心的坐标为()y=g(x)的图象，若g(x)图象的一个对称中心为,则w的最小值为()来的,纵坐标不变得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间上有三个零点，则w的取值范围为A.f(x)的最小值为1B.f(x)的最小正周期为2πC.f(x)的图象关于点称D.f(x)的图象关于直线对称心的坐标可能为()的第一个对称中心为为一条对称轴，下列有关函数f(x)正确的表述是()B.f(c)图象的对称轴为C.f(x)图象的对称中心为任意的x∈R恒成立，且f(x)在区间上单调递增，则w的取值范围为()34.(多选)(2026-湖北黄石·一模)已知函数f(x)=sinx+V3cosx,则下列命题正确的有()A.函数f(x)的图象关于点对称B.函数f(x)的最大值是2C.若实数m使得方程f(x)=m在[0,2π]上恰好有三个实数解xc₁,C₂,x₃,则(k∈Z)是函数f(x)的单调递减区间上恰有三个零点，则m∈(15,23)B.若f(x)在恰有三个零点x₁,C22,x₃,则f(z₁+x₂+x₃)=-4C.若f(x)在单调递增，则D.若f(x)向左平移后的图象与f(x)图象关于对称，则m=6k+1,k∈NA.f(x)的图象是轴对称图形B.f(x)的最大值为1C.f(x)是以π为一个周期的周期函数D.f(x)在[0,π]上有4个零点(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)的值域和单调区间.(2)将函数y=f(x)图象上所有的点向左平移个单位后得到函数y=g(x)的图象，当(3)说明函数y=sinx的图象经过怎样的变换能得到函数y=f(x)的图象，写出一个变换过程.题型题型三三角函数的图象39.(2026·江西南昌·一模)已知图，记h(x)=f(x)·f'(x),则函数h(x)在区间上的值域为()B.f(x)的图象关于点对称C.函数f(x)在区间单调递增D.若f(x)在区间上恰有一个最大值2和一个最小值-2,则实数a的取值范围为法中正确的是()A.w=4C.f(x)在区间 列说法正确的是()C.把函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)为偶函数D.若函数f(x)的导函数为h(x),则h(x)的图象关于点对称A.π为f(x)的周期)是f(x)图象的对称中心D.f(x)的单调递增区间是](k∈Z)图所示，则()A.B.2π是f(x)的一个周期于x的不等式f(x)≥√3的解集为(1)当时，求f(x)的单调递增区间；题型四题型四正(余)弦定理的基本应用25,且b=5,则c=()△ABC一定为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西30°,且与甲船相距6nmile的C处的乙船.那么∠ABC的正弦值为()A57.(多选)(2026·四川内江·二模)已知△ABC的面积为,角A,B,C的对边分别是a,b,c,tanB=C.c=2D.BC边的中线长为58.(2025·广东广州·一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=5,B=45°,C=105°,59.(2026-河北保定·一模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=√5,a=√2c,60.(2026·安徽合肥·一模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,2acosC+2ccosA=3a,则(2)若BC=11,求△ABC的面积.(2)若△ABC的面积S=4√3且S=2bsinC,(1)求A的大小；(2)若sinB+sinC=√3,b=2,试判断△ABC的形状，并求△ABC的面积.68.(2026·天津河西·一模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知(2b-c)cosA=acosC,a=√7,b=1.(1)求A的值；(2)求△ABC的面积；(3)求cos(2B-A)的值.69.(2026·黑龙江哈尔滨.一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,2c-2acosB=√3b.(1)求角A;(2)若a=1,bc=2√3,c>b,求AB边上的高.(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积.条件①:注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.题题型五解三角形中的最值问题A.3B.3√3C.6面积的最大值为()B.273.(多选)(2026-辽宁抚顺·一模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC外接圆的半径为2,且acosB+bcosA=c(4cosA-1),则下列结论正确的是()C.△ABC面积的最大值为3√3=60°,则△ABC的内切圆面积的最大值为()A.πB.2πC的最小值为_,则78.(2026·广东广州·一模)某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪(记为△ABC),点79.(2026·山西临汾·一模)2026年马年春晚，魔法原子、银河通用、宇树科技及松延动力等机器人厂商的机器人参与了武术、小品、歌曲、微电影等四大类节目演出，我们国家已经成为人形机器人领域的强劲竞争者.现有一人形机器人根据指令在平面上能完成下列动作：如图，先从原点O沿东偏北向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为15m/min,则机器人行走2min时距原点的最远距离是_m,最近距离是_m.(2)求平面四边形ABCD面积的取值范围.(2)若△ABC,求△ABC的面积的最大值.(2)求角A的最大值，并判断此时△ABC的形状.84.(2026·河北邯郸·一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等差数列，且(2)记△ABC外接圆的面积为s,若S≥64π,求b的取值范围.(2)若2Sacst(a²+2b²+11c²)恒成立，求实数t的最小值.的最大值和最小值.正(余)弦定理与向量、函数等知识的交汇正(余)弦定理与向量、函数等知识的交汇,则边AB的长为()成等差数列，且asinC=√3(1-acosC),则下列结论正确的是()周长取值范围为D.若0是△ABC外接圆的圆心，则△OAC和△OBC面积之差的取值范围为∠BCD的大小为93.(2026·内蒙古呼和浩特·一模)在圆内接四边形ABCD中，AB=1,BC=3,CD=DA=2,则四边形ABCD的面积为94.(2026·山东东营·一模)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(a,b),π=(√3cosA,sinB),p=(b-c,a-c).(2)若求△ABC的面积.3csinC=(3a+2b)sinA+(3b+a)sinB(2)若CA·CB=-8,求c的最小值及△ABC的面积.DD(2)如图所示，D为△ABC外一点，∠DCB=∠B,CD=√3,AC=AD,求△ACD外接圆的半径.成立.且(1)求f(x)的解析式；(2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(B)=0,a=4,△ABC的面积为2√3,求BB(2)已知AC=2,△ABC的外接圆半径为√2,求△BCD面积的取值范围.101.(2026·河北承德·一模)已知△ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a=2,b(√3-cos4)=2cosB,面积,动点D,E在边BC上，D,E不重合且∠DAE=60°.(1)求角B;的对边分别为a,b,c,的取值范围.(1)求角B;(2)求AD+AE的最小值.三角函数与解三角形题型01三角函数化简与求值题型02三角函数的性质题型03三角函数的图象题型04正(余)弦定理的基本应用题型05解三角形中的最值问题题型06正(余)弦定理与向量、函数等知识的交汇三角函数化简与求值三角函数化简与求值A.2a²-1B.1-2a²【详解】利用诱导公式得a=sin100°=sin(180°-80°)=sin80°,故利用二倍角公式得cos160°=cos(2×80°)=1-2sin²80°=1-2a².【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到,结合余弦的倍角公式，即可求解.【详解】【详解】由于,则【详解】由,又由sin(a+β)=1,联立方程组，可得5.(2026·辽宁抚顺·一模)若α∈(0,π),,则cosa=(【答案】A【详解】由题意得2+2sinacosa=2cos2a=2(1-2sin²a),所以sina·cosa=-2sin²a.)最后结合同角三角函数关6.(2026-河南南阳·一模)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳晷影长1等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即1=htanθ.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α,β,若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且则第二次的“晷影长”是“表高”的()倍倍倍【答案】B【分析】由题意可得tana,由β=α—(a-β)结合两角差的正切公式可得tanβ,从而求得第二次的“晷影长”与“表高”的比值，得出答案.【详解】由题可得.即第二次的“晷影长”是“表高”7.(2026·山西大同·一模)已【答案】C【分析】根据同角三角函数关系求出tana=2,再根据三角恒等变换即可求出答案.8.(2026-河北邢台·一模)已知,则sin(a+β)sinβ=()展开得：则则,【答案】B因为α是第二象限角，所以sina>0,cosa<0,所【分析】利用三角恒等变换将原式化简为只含tanθ的形式，再代入已知条件计算.11.(2026-河北衡水因此的取值范围是A.-1则sin(α+β)=()【分析】运用同角三角函数关系求得sina,cosa,sinβ,cosβ,运用两角和的正弦公式计算即可.【分析】根据和差角公式，结合同角三角关系式，得sin(α-β)含t的表示，即可根据基本不等式求解最值.【详解】由sin(α+β)=3sin(a-β)得sinacosβ+cosasinβ=3sinacosβ-3cosasinβ,即,当且仅当t=【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式化简已知条件求出sin2x,化简目标式即可得.【详解】,则所以15.(2026·湖北襄阳·一模)已知f(【答案】【分析】利用,根据和差化积公式得tan(+)=3可由万能公式求解.【详解】∵2sinx₁+3cosx₁=2sinx₂+3cosz₂∴2(sinx1-sinc₂)=3(coscz—cosx1)【答案】【分析】首先切化弦，根据平方关系得到sinα的二次方程，求解.【答案】3【详解】2tan²α+cos2α=2tan²α+1-2sin²α=2(tan²a-sin²α)+1=2(tan²α—tan²acos²α)+1=2tan²a(1-cos²α)+1=2tan²asin²a+1=3.【答案】【分析】根据二倍角的余弦公式求得cosa,结合α∈(0,π)及同角三角函数的平方关系求得sina,再根据两角和的正弦公式即可求解.55【答案】则sin²α+cos²α=2k²+4k²=6k设sina=√2k,cosa=2k,k>三角函数的性质三角函数的性质20.(2026·山西晋城·一模)已知函数f(x)=sinwx(w>0)的图象关于直线对称，则w的最小值为B.1C.2【分析】使用辅助角公式化简f(x),代利用最大值条件并给k赋值即可求解.因为w>0,令k=0,则w=1,即w的最小值为1.22.(2026·广东深圳·一模)函的最小正周期为π,其图象的对称中心可以为k∈Z,所以该函数的对称中心为显然只有A符合.23.(2026·湖北黄冈·一模)函数f(x)=tan(wx+φ)(w>0)的图象关于点对称，且直线y=1与函数f(x)图象的相邻两交点间距离为,则正实数φ的最小值为()【分析】由直线y=1与函数f(x)图象的相邻两交点间距离为,求得最小正周期；根据正切函数的对称性求得φ,从而求得其最小值.【详解】因为直线y=1与函数f(c)图象的相邻两交点间距离为,所以函数f(x)的最小正周期为以所以正实数φ的最小值为于直线对称，且.,则φ=()【分析】根据两函数图象关于直线：对称及得到,结合φ的范围代入求解即【详解】由题意知,所,所以因为25.(2026-河南南阳·一模)已知函数f(x)=cosx(sinx-|sinx|)的周期为T,值域为I,则()A.T=π,I=[-1,1]B.T=π,I=[0,1]C.T=2π,I=[-1,1]【答案】C【分析】由周期函数的定义得出f(x)是周期为2π的周期函数，再由二倍角公式结合正弦函数的值域可判所以函数的周期不是π,A,B错误；f(x+2π)=cos(x+2π)[sin(x+2π)-|sin(x+2π)|]=cosx(sinx-|所以函数的周期是21的对称中心为()【分析】对m进行分类讨论，结合正切函数的图像即可求解.f(x)=tanx上单调递增，不合题意在单调递增，不合题单调递增，不合题意；图象如图，满足题意，它的27.(2026-河北保定·一模)将函数f(x)=sinx的图象先向右平移个单位长度，再将其横坐标缩短到原来的,纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)图象的对称中心的坐标为()B.(k∈Z)【分析】借助平移及伸缩变换性质可得g(x),再利用正弦函数性质结合整体思想计算即可得解.【详解】将函数f(x)=sinx将其横坐标缩短到原来的的图象向右平移个单位长度，可得【详解】将函数f(x)=sinx将其横坐标缩短到原来的,可得,艮y=g(x)的图象，若g(x)图象的一个对称中心为【分析】求出f(x)图象的对称中心后利用代入法可得的图象向左平移个单位长度后，得到函数则w的最小值为(),k∈Z,故可求w的最小值.【详解】因为g(x)图象的一个对称中心为,故f(x)图象的对称中心为29.(2026-河北承德·一模)已知把函的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间上有三个零点，则w的取值范围为【分析】求出g(x)的解析式，再求出g(x)的零点，再根据范围求得w的取值范围.则非负根从小到大依次为又因为g(x)在区间上有三个零点，所以,解A.f(x)的最小值为1B.f(x)的最小正周期为2πC.f(x)的图象关于点)对称D.f(x)的图象关于直线对称【分析】由题意求得参数a的值，根据函数解析式求得f(x)的最小值，判断A;求得f(x)的最小正周期，判断B;根据正弦函数对称中心及对称轴的特点，判断C,D.【详解】因为函数的最大值为1,最小值为-1,所以f(x)的最小值为2-1=1,所以A正确；f(x)的最小正周期为,所以B错误；以f(x)以f(x)的图象关于点,所以C正确；取不到最值，所以f(x)的图象不关于直线对称，所以D错误.心的坐标可能为()【分析】先根据周期得出w=3,再应用正切函数的对称中心计算求解.【详解】由题意可得,解得w=3(负值舍去解,由k∈Z不符，故不是f(x)图象的对称中心，令,解得,由k∈Z不符，故不是f(x)图象的对称中心，故A、C错误.的第一个对称中心为且为一条对称轴，下列有关函数f(x)正确的表述是()B.f(x)图象的对称轴为C.f(x)图象的对称中心为D.f(x)在的最大值为√3【分析】先由函数经过的点及对称中心、对称轴可得,w=2,进而再整体代入判断各个选项可得.【详解】由函数f(x)的图象在y轴右侧的第一个对称中心为由为函数f(x)的一条对称轴，得则(k∈N),,不符合题意，对于B,(k∈Z)不是函数f(x)的对称轴，B错误；所以函数在上的最大值为2,D错误.33.(2026·陕西商洛·一模)已知函最小正周期为T,若f(x)≤对任意的x∈R恒成立，且f(x)在区间上单调递增，则w的取值范围为()【分析】结合题意1,求得,再结合三角函数的单调性∈Z,最后结合w>0求解即可.所,即,又f(x)在区间上单调递增，所以则下列命题正确的有()A.函数f(x)的图象关于点B.函数f(x)的最大值是2C.若实数m使得方程f(x)=m在[0,2π]上恰好有三个实数解x₁,T₂,C₃,则(k∈Z)是函数f(x)的单调递减区间【分析】首先化简函数，分别求函数的单调性，对称性及值域，选项C将函数数形结合，转化为交点问题.因为)的最大值为1,所.的最大值为2×1=2,所以B正确；2y=m0π一x3D.若f(x)向左平移后的图象与f(x)图象关于对称，则m=6k+1,k∈N【分析】对于A,根据正弦函数零点表达式分析即可；对于B,由选项A可知,代入即可求值；对于C,根据正弦函数的单调区间，确定区间端点满足的不等式求解即可；对于D,根据三角函数图象平移的解析式，结合对称性判断即可.上恰有三个零点，故A正确；,所以,故B正确；C,由正弦函数的单调递增区间可知2取k=0,则只需D,根据平移规则可知平移后函数为代入得k∈N,化简可知k∈z,继续化简可得m=1+6k,k∈N,故D正确.36.(多选)(2026·广东梅州·一模)关于函数f(x)=A.f(x)的图象是轴对称图形B.f(x)的最大值为1C.f(x)是以π为一个周期的周期函数D.f(x)在[0,π]上有4个零点【分析】对于A,判断函数为偶函数，即可判断正误；对于B,因为要分析三角函数乘积形式的函数性质，所以可先利用三角恒等变换公式将f(x)=sinx·sin3x化简为更易分析的形式.求函数最大值，可利用三角函数的有界性，结合化简后的函数形式，通过换元法转化为二次函数求最值；对于C,判断周期，可利用周期函数的定义，验证f(T+x)=f(x)是否成立来确定；对于D,求零点，令f(x)=0,结合三角函数的零点性质求解，再统计[0,π]上的零点个数.【详解】对于A,函数f(x)=sinx·sin3对于C,f(x+π)=sin(x+π)·sin3(x+π)=(-sinx)(-sin3x)=sinx·si一个周期的周期函数，C正确；(1)求函数f(x)在区间[一π,π]内的零点个数；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)的值域和单调区间.【答案】(1)4递减区间为【分析】(1)先由给定区间的最小值确定参数m,再解三角函数零点个数即可；(2)通过平移变换得到余弦函数，再使用整体代入法求得g(x)的值域与单调区间.所以函数g(x)的递增区间为(k∈Z),递减区间为(k∈Z)(1)求函数y=f(x)的最小正周期；(2)将函数y=f(x)图象上所有的点向左平移个单位后得到函数y=g(x)的图象，当I求函数y=g(x)的值域；(3)说明函数y=sinx的图象经过怎样的变换能得到函数y=f(x)的图象，写出一个变换过程.(3)详细见解析【分析】(1)先根据向量数量积公式求出f(x)的表达式，再利用三角函数公式化简，最后根据周期公式求最小正周期；(2)根据三角函数图象的平移规律得到y=g(x)的表达式，然后结合给定区间求出的值域；(3)利用三角函数的图象变换，即可写出变换过程.,根据正弦函数的周期公式时，取最大值，最大值为2,取最小值，最小值为-1,图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变得到的图象再把的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到题题型三三角函数的图象【详解】由图知=2,由cOSπ=-1.图，记h(x)=f(x)·f(x),则函数h(x)在区间上的值域为()【分析】求导后可表示出f’(x),利用图象结合三角函数性质可得w、φ,再利用降幂公式可得h(x),结合正弦函数性质即可得解.【详解】f(x)=-sin(wx+φ)·w=—wsin(wx+φ),故故B.f(x)的图象关于点对称C.函数f(x)在区间上单调递增D.若f(x)在区间上恰有一个最大值2和一个最小值-2,则实数a的取值范围【分析】根据周期以及最值可得,即可判断A,代入验证即可判断B,根据整体法求解函数的单调性即可判断C,由整体法，结合三角函数的性质即可判断D.【详解】由图可得A=2,函数的最小正周期,所解,k∈Z,,所以,故A正确；由上分析，得因故函数f(x)的图象关于对称，故B正确；故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,解得故函数f(x)的单调递减区间为上有两个不相等的实数根，由下图可知：是f(x)C.f(x)在区间图象的一条对称轴上的零点之和为B.f(x)在区间上单调递增D.函数的零点个数为11个【分析】先由因式分解和余弦的二倍角公式求出函数解析式，根据函数图象得出函数的周期和所过的点，求出函数的两个参数，得到具体函数解析式，再根据余弦函数的对称轴，单调区间，零点、最值，逐项计算判断即可.【详解】f(x)=cos4(wx+φ)-sin⁴(wx+φ)=[cos²(wx+φ)+sin²(wx+φ)][cos²(wx+φ=cos²(wx+φ)-sin²(wx+φ)=cos(2wx+2φ).,解得w=2.,解得w=2.所以f(x)=cos(4x+2φ),又图象经过点),且在：处递增趋势，所以4),k∈Z,解得因为0<φ<π,所.选项A:令选项A:令即函数f(x)故的对称轴为即函数f(x)故的对称轴为选项B:在上单调递增，故B正确.上单调递增，所以在上单调递增，故B正确.,零点之和,零点之和定义域为定义域为,最小正周期为,最小正周期为在定义域上单调递增，所以大致图像如下：在定义域交 由图可知，曲线y=4|f(x)|有11个交点，故D正确. 列说法正确的是()C.把函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)为偶函数【分析】利用图像求出函数解析式，然后利用正弦型函数的图像与性质对选项进行逐一分析即可.【详解】对于选项A,由图像可知振幅A=2,π所以.解得故A正确.对于选项B,已知,即对于选项向左平移个单位.g(x)是奇函数不是偶函数.故C错误.对于选项令显然(k∈Z)解得对称中心的横坐标对称.故选项D正确.46.(多选)(2026·广东茂名·一模)函)的部分图象如图所示，则()A.π为f(x)的周期是f(x)图象的对称中心D.f(x)的单调递增区间是(k∈Z)【答案】BD【分析】根据图象中两点距离求周期T,进一步得出w,代入特殊点坐标求φ,从而确定函数f(x)的解析式，再根据周期、对称中心性质、x范围对应函数值范围、单调区间求法判断各选项对错.【详解】对于A,由图象可知，T=1,所以A选项错误，代入，可得即,又因为,所以,解得,即因为是f(z)图象的对称中心，所以B选项正确，,所以C选项错误，对于D,令,k∈Z,解k∈Z,所以单调递增47.(多选)(2026·宁夏银川·一模)若函数.图所示，则()的部分图象如A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的对称轴为(k∈Z)C.f(x)的单调递增区间为(k∈Z),f(x)的最小值为-3,k∈Z,则,又0<φ<π,则,即48.(多选)(2026·山东烟台·一模)已知函的部分图象如图所示，则B.2π是f(x)的一个周期【详解】对于A,由图可知f(0)=2cosφ=√2,,所以或从图象看，x=0处函数处于上升阶段，即f()>0,又f(x)=-2wsin(wx+φ),所以f(0)=-2wsinφ>对于B,处函数处于下降阶段，所以,所以T=2π,故B正确；于x的不等式f(x)≥√3的解集为【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的图象解不等式即可.【详解】由图象得A=2,f(0)=1,函数f(x)的最小正周期,由图象知贝,所以w=2,【分析】根据给定信息作出图形，利用余弦定理、正弦定理列式求解.由正弦定理得BB56.(2026·河南濮阳·一模)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C中利用正弦定理求出BC,再利用即可求出.中利用正弦定理得， C.c=2D.BC边的中线长为【分析】利用条件化简判断A;根据正弦定理及三角恒等变换判断B;根据正弦定理求c判断C;根据余弦定理求出中线长判断D.由和差化积公式可得设BC边的中线长为m,则【详解因为【分析】先由条件求出角【详解因为由正弦定理可得,即由由正弦定理可得【分析】使用余弦定理求a,c的值，再使用三角形面积公式即可求解.【详解】由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB,60.(2026·安徽合肥·一模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,2acosC+2ccosA=3a,【答案】2【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得2sinB=3sinA,正弦定理可得2b=3a,即可得解.所以2sinB=3sinA,又由正弦定理，可得2b=3a,则(2)若BC=11,求△ABC的面积.【分析】(1)先求出C及B的余弦值，再根据两角和的余弦可求cosA;(2)由正弦定理求得AB,再根据公式可求面积.此时,可(2)由在△ABC中由正弦定理得(1)求A;【分析】(1)由余弦定理及三角形的面积公式求解.即,解得AD=2.65.(2026·河北唐山·一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos2A+cos2B=2cos2C.【答案】(1)证明见详解【分析】(1)根据二倍角公式可得sin²A+sin²B=2sin²C,再结合正弦定理即可得结果；整理可得；(2)利用余弦定理结合(1)中结论可得,代入进而分析求解.整理可得；【详解】(1)因为cos2A+cos2B=2cos2C,可得1-2sin²A+1-2sin²B=2(1-2sin²C),整理可得sin²A+sin²B=2sin²C,由正弦定理可得a²+b²=2c².又因为66.(2026·贵州安顺·一模)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且(2c-b)cosA=acosB.(1)求A的大小；(2)若sinB+sinC=√3,b=2,试判断△ABC的形状，并求△ABC的面积.【分析】(1)根据正弦定理以及正弦的和差角公式可得即可求解，(2)根据正弦的和差角公式以及辅助角公式可得sin(B+30°)=1,即可根据三角函数的性质求解B的大小，进而可判断三角形为等边三角形，即可由面积公式求解.整理得2sinCcosA=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC,sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=√3,(2)已知acosC=ccosA.【分析】(1)借助余弦定理计算即可得；(2)借助正弦定理将边化为角后结合两角差的正弦公式可得A=C,a=c;(i)利用同角三角函数基本关系可得sinB,再利用正弦定理即可得b,则可得a、c;(ii)利用三角形内角和与二倍角公式可得sin4A、cos4A,再利用两角和的余弦公式计算即可得.由余弦定理(2)由正弦定理可得则sinAcosC-sinCcosA=0,a=√7,b=1.⑦【分析】(1)根据正弦定理边角互化，结合和差角公式即可得求解，(2)根据余弦定理求解c,即可由面积公式求解，(3)根据正弦定理求解：,进而根据同角关系以及二倍角公式，最后由余弦的差角公式求解.【详解】(1)已知(2b-c)cosA=acosC,由正弦定理由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA,,即c²-c-6=0(3)由正弦定理,且b=1,a=√7,且a>b,则B为锐角，69.(2026·黑龙江哈尔滨·一模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,2c-2acosB=√3b.(1)求角A;(2)若a=1,bc=2√3,c>b,求AB边上的高.【分析】(1)根据正弦定理得，2sinC-2sinAcosB=√3sinB,通过角的转化及两角和的正弦公式化简即可求得A;(2)根据余弦定理得到b²+c²的值，联立bc=2√3可解得b,c,进而可判断△ABC的形状，从而求解.【详解】(1)因为2c-2acosB=√3b,根据正弦定理得，2sinC-2sinAcosB=√3sinB.(2)根据余弦定理得，,将a=1,bc=2√3代入上式整理得，b²+c²=7,形，所以斜边AB上的高为(1)求∠A;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积.条件①:【分析】结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得,再结合△ABC的面积为得ac=3,进而根据基本不等式求解即可.【详解】由bcosC+ccosB=2acosB,根据正弦定理得，sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,,又当且仅当a=c=√3时等号成立，则a²+c²的最小值为6.面积的最大值为()B.2【分析】由条件根据余弦定理求cosC的表达式，利用基本不等式求cosC的最小值，再由同角关系求sinC的最大值，利用三角形面积公式求结论.【详解】由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC,又ab=5,c=2,所由基本不等式可得a²+b²≥2ab=10,当且仅当a=b=√5时等号成立，所以又C∈(0,π),所以所以△ABC的面积所以当a=b=√5时，△ABC的面积取最大值，最大值为2.73.(多选)(2026·辽宁抚顺·一模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC外接圆的半径为2,且acosB+bcosA=c(4cosA-1),则下列结论正确的是()C.△ABC面积的最大值为3√3【分析】对A,利用正弦定理和三角恒等变换化简条件式得解；对B,由正弦定理求解判断；对C,根据余弦定理结合基本不等式和三角形面积公式求解；对D,由题结合余弦定理求出b,c,利用三角形面积关系S△ABC=S△ABD+S△ACD,求出答案.【详解】对于A,因为acosB+bcosA=c(4cosA-1),所以sin所以sin(A+B)=sinC(4cosA-1),外接圆的半径R=2,所以a=2Rsin又b²+c²≥2bc,所以12+bc≥2bc,得bc≤12,当且仅当b=c时，取等号，积的最大值为3√3,故C正确；对于D,由b-c=2结合74.(2026-河北保定·一模)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acosC+ccosA=4√3cosB,B=60°,则△ABC的内切圆面积的最大值为()A.πB.2πC.3π【分析】设△ABC的内切圆半径为r,利用r表示成关于a+c的函数，利用基本不等式求出r的最大值可得答案.【详解】由acosC+ccosA=4√3cosB,B=6由余弦定理得(,整理得b=2√3.设△ABC的内切圆半径为r,则由余弦定理得：12=b²=a²+c²-2由基本不等式得：当且仅当a=c时等号成立，,故rmax=1,所以△ABC的内切圆面积的最大值为π.A.√3B.2√3【分析】利用正弦定理边化角整理可得tanC=-3tanA,然后结合和差公式、基本不等式即可得解.,整理得b+2acosC=0,由正弦定理边化角得sinB+2sinAcosC=0,若,则sinB=0→B=0,π,不满足题意，故易知，若tanA<0,则tanB<0,不合题意；当tanA>0【分析】先将△ABC的面积拆分为△ACP和△BCP的面积之和，分别表示出两个小三角形的面积，利用正弦定理表示出两个三角形的面积，对面积的表达式利用三角函数的相关公式化简，再借助三角函数的性质求最值，进而得到此时的tanθ.展开化简得：代入整理得：S最小等价于二次函代入整理得：S最小等价于二次函最大，开口向下的二次函数顶点在的最小值为_【分析】先应用正弦定理及两角和正弦公式计算得出应用判别式法结合一元二次不等式计算求解最小值即可.由正弦定理得设设,所以,所以若tanC<0,则tanA与tanB中至少有一个为负数，这与三角形中最多只有一个钝角矛盾，故tanC>所1以的最小值为78.(2026·广东广州·一模)某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪(记为△ABC),点D,E在△ABC的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分.如果沿DE铺设灌溉水管，则水管的最【答案】20【分析】分别讨论D,E在各个边的情况，结合三角形面积公式与基本不等式即可求得水管的最短长度.【详解】由30²+40²=50²,可得△ABC是直角三角形，其面积不妨设AC=30,BC=40,AB=50,设AD=x,AE=y,,则有DE²=x²+y²—2xycosA≥2xy-2xycoDE²=x²+y²-2cycosB≥2xy-2xcyco即DE≥10√6,当且仅当x=y=5√30时等号成立；即DE≥20,当且仅当x=y=10√10时等号成立；因为20<10√6<20√3,所以DE的最小值为20,即水管的最短长度为20米.79.(2026·山西临汾·一模)2026年马年春晚，魔法原子、银河通用、宇树科技及松延动力等机器人厂商的机器人参与了武术、小品、歌曲、微电影等四大类节目演出，我们国家已经成为人形机器人领域的强劲竞争者.现有一人形机器人根据指令在平面上能完成下列动作：如图，先从原点O沿东偏北向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为15m/min,则机器人行走2min时距原点的最远距离是_m,最近距离是_m.【分析】借助余弦定理可用θ与|0MI表示出|OP|,再利用二次函数性质与三角函数有界性即可得最大最小值.【详解】设改变方向的地点为M,终点为P,由于|OMI+IMP|=15×2=30,由余弦定理得由余弦定理得=√10MP+(30-loM)²+2|0M(30-|OM)sine=√2结合二次函数的性质可知当综上所述，|OP|∈[15√2,30],最远距离是30m,最近距离是15√2m.②【分析】(1)根据给定条件，利用直角三角形边角关系及正弦定理求解.(2)利用正弦定理及三角形面积公式列式，再利用和角的正弦及二倍角的正弦公式化简，借助正弦函数的性质求出范围.(2)由(1)所以四边形ABCD面积的取值范围是(2)若△ABC,求△ABC的面积的最大值.【分析】(1)由余弦定理得,通过同角三角函数的基本关系求得△ABC的值；(2)利用基本不等式可得△ABC,从而求出△ABC的面积的最大值.82.(2026·河北石家庄·一模)已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,(2)求角A的最大值，并判断此时△ABC的形状.②,等边三角形【分析】(1)利用正弦定理导出(2)用余弦定理结合基本不等式b²+c²≥2bc可求出角A最大值，再根据等号成立条件判断三角形形状.(2)△ABC中，由余弦定理得,当且仅当b=c=2时，等号成立，∵A∈(0,π),A的最大值为,此时基本不等式等号成立，即a=b=c=2,∴△ABC为等边三角形.(3)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.【分析】(1)利用三角恒等变换即可得证；(2)先计算cosA,利用二倍角余弦公式得,再由S△ABC=SAABD+SADc结合二倍角正弦公式即可求解；(3)由(1)有A=2B,得C=π-3B,又由正弦定理得,利用锐角三角形求出B的范围，进而求解.【详解】(1)由b+2bcosA=c,利用正弦定理得：sinB+2sinBcosA=sinC,sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+coS所以sinB+2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB,所以sinB=sinAcosB-cosAsinB=又由余弦定理得：所以a=√6,所以,所以1<3-4sin²B<2,(1)求cosB;(2)记△ABC外接圆的面积为s,若S≥64π,求b的取值范围.一一【分析】(1)应用等差中项的性质及正弦边角关系有(2)由(1)及正弦定理求出△ABC外接圆的半径，结合S≥64π求边长的范围.(2)当b+c取得最小值时，求△ABC的面积.【分析】(1)由正弦定理得到b=2c,根据SAABC=SAADB+ScDA得到方程，定理得到a²=63,求出a;应用取等条件求出三角形面积.则,即bc=2c+2b,所以c=3得所以当且仅当b=c=4时等号成立，b+c取得最小值，(2)若D为边BC上一点，满足BD=2CD,且AD=2,求△ABC的面积最大值.A的值；,结合向量的运算法则和基本不等式，求得be≤6,结合三角形的面积公式，即可求解.由正弦定理得(2)因为D为边BC上，满足BD=2CD,即所以(1)求角A;(2)若2SAac≤t(a²+2b²+11c²)恒成立，求实数的最小值.【分析】(1)根据正弦定理边化角，再根据sinB=sin(A+C)及三角恒等变换即可求解；(2)根据题意可得恒成立，利用三角形面积公式及余弦定理可将右式化为,利用基本不等式求出最大值即可求出答案.【详解】(1)由2acosC+c=2b,由正弦定理得，2sinAcosC+sinC=2sinB,恒成立，即,即求由余弦定理得a²=b²+c²-2beccos当且仅当,即b=2c时，等号成立，所以,所以实数1的最小值为88.(2026-湖北襄阳·一模)在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,M为边BC所在直线上一的最大值和最小值.(2)最大值;最小值4【分析】(1)根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解；(2)根据三角形面积公式可得,根据余弦定理化简可得,再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大值，利用基本不等式可得最小值.【详解】(1)由题意得,所以bc=2(b+c)①。又63=b²+c²+be②的最大值2,最小值4.题题型六正(余)弦定理与向量、函数等知识的交汇,则边AB的长为()B.3√3D.4√3得到AB=AD+BD,代入数值得解.,CD=√790.(2026·山东滨州·一模)【分析】利用正