【高中青年数学教师教学技能-专业成长培训课件】回归数学教育常-识落实学科核心素养-讲座课件

回归数学教育常识落实学科核心素养（人民教育出版社

课程教材研究所）一、当前基础教育改革中的一些现象•

泛泛而论的理论多，具有实践基础的理论少，例如大单元教学、深度学习、STEAM教育、基于问题的学习、主题学习、研究性学习、跨学科学习、理解力课程、建模式教学、项目化学习……•

顶层设计理念先进，并从宏观上提出举措，但落地很难——教育的理想和极端功利化的社会的激烈博弈；•

单纯追求分数和升学率现象普遍存在，学生的社会责任感、创新精神和实践能力较为薄弱；•

与课程改革相适应的考试招生、评价制度不配套，制约着教学改革的全面推进；•

不执行教学计划，超课标教学、抢赶教学进度和提前结束课程等现象普遍存在；•

教师育人意识和能力有待加强——唯高考马首是瞻；•

探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学的力度不够，方法不多；•

课堂教学效率有待提高，学生自主学习能力有待加强；•

学生对数学基础知识、基本技能、基本方法的掌握不系统；•

综合实践活动没有得到重视，教师没有掌握数学建模活动、数学探究活动的教学要领；•

全国各地每年制造出大量题目，但作业设计质量不高；•

轻视教材，教师不钻研教材，也不让学生阅读教材，以教辅资料为依据进行教学；•

信息技术与数学教学融合的水平有待提高；等等。二、几点思考（一）体现数学内容本质的数学教育理论才能指导数学教育教学实践•

广大教师对课改中出现的形形色色的理论，应该用批判性思维去分析，特别是对那些没有结合学科的纯教育理论中提出的课堂教学主张，更要保持清醒的头脑，不能盲从。事实上，这样的理论或教学主张，从大道理上可能是对的，但在真实的数学课堂中，这些“主张”的作用到底是如何发生的，却往往处于模糊状态，因为纯教育理论没能结合学科的具体实例将其阐释清楚。•

怀特海(A.N.

Whitehead)说过：科学的历史告诉我们，非常接近真理和真正懂得它的意义是两回事，每一个重要的理论都被它的发现者之前的人说过。•

因此，我们需要的是“真正懂得它的意义”的、能用具体学科事例说清楚的理论，而不是放之四海而皆准的空洞说教。（二）数学育人要依靠数学的内在力量•

数学学科的育人价值蕴含于数学内容之中；•

育人价值的挖掘关键在于理解内容所反映的数学思想和方法；•

数学育人的实现途径：以数学知识技能为载体，创设符合学生认知规律的问题情境，引导学生开展独立思考、自主探究、合作交流，在获得“四基”提高“四能”的过程中，形成数学的思维方式，培养理性思维和科学精神，促进学生的智力发展。•

围绕真正的数学问题，开展有数学含金量的教学活动，促使学生在独立思考的过程中形成数学的思维方式（其实这也是具备数学学科核心素养的表现）：会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界。•

所有这一切，都要基于教师自身对数学的理解水平。（三）提升教师的育人意识、专业化水平和教学能力是关键•

长期以来，在考试评价“唯分数”指挥棒下的课堂教学，以考试分数为目标，将教学内容碎片化为知识点，采用“灌输＋记忆”的方式强加给学生，再通过刷题提高解题技巧“秒杀”考题，可以提高分数，但不利于学生获得“四基”、提升“四能”，不利于发展学科核心素养。•

“现在的教师缺乏两样东西，一是独立思考，二是学科知识，本领不扎实，都是‘一课一练’培养出来的。基础教育与科学研究不是一回事，基础教育是整体的，不是分支的，它更重要的是‘基础’，基础是要整体构架的，我们的教师最缺少对自己所教学科知识的整体构架，这样他们就兜不转。”•

——余慧娟

任国平.办教育要明晰“根在哪里，走向何方”——访于漪老师[J].人民教育：2018（24），p22三、改变现状从提升“三个理解”水平入手•

当务之急是提升教师的“三个理解”水平：理解数学理解学生理解教学•

根据课改深入发展的需要，教师还要在理解技术、理解评价上下功夫。（一）理解数学的两个关键——数学的整体性、一般观念1.对数学整体性的理解（1）同一主题内容中体现的数学整体性•

主要包括一个内容的不同认识层次、不同角度的认识之间内在的一致性、关联性，以及认识不同方面内容所采用的类似过程与思想方法。例如，“变量说”、“集合与对应说”、图像所呈现的自变量与因变量之间的对应关系（依赖关系），它们从不同角度描述了函数概念，具有内在的一致性，由此构成了函数的内涵与外延的整体性；对各种函数性质的认识，具有类似的主题、过程与思想方法，“变化中的规律性、不变性”就是它们的共性。（2）整合具有内在联系的不同内容所体现的数学整体性•

例如一元一次方程、不等式与一次函数，一元二次方程、不等式与二次函数中，以函数为主线，分别把三者“编织”成一个整体，把方程、不等式看成函数的某种（类）特定状态下特性；又如，等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，其实是同一种数量关系分别在离散和连续下的两种状态。（3）不同领域之间的融合所体现的整体性•

主要是几何与代数之间的融合，体现了不同数学思想与方法之间相互融合，形成具有统一性、内在一致性的数学一般观念，这是在最高层面上体现的数学整体性，其统摄性最强、适用性最广。•

几何直观与代数运算的融合，形成解析几何、向量代数、向量几何等具有综合性的新学科与新思想，其结果是在更高层次上体现了数学的整体性。（4）学科知识整体架构图哲学思考学科一般观念应用广泛、统摄性强能揭示学科本质，形成方法论学科视角核心概念与思想方法从四基、四能通向核心素养的桥梁形成数学知识的自我生长能力统摄性较低的基本事实、概念、定理……发展数学学科核心素养的载体例：“立体几何与代数”的整体架构结构特征••ቑ——空间几何体直观图表面积、体积空间向量的概念空间向量的线性运算空间向量的数量积空间向量基本定理空间向量平面的基本性质直线、平面的平行直线、平面的垂直直线、平面所成角——基本图形的位置关系通过向量运算解决立体几何中的位置关系、距离、角度等问题，定量研究是重点重点研究定性问题研究几何体结构特征整体思路研究几何体结构特征整体思路定性描述研究几何体结构特征整体思路定性描述•

数学思想：研究几何体结构特征整体思路定性描述•

数学思想：•

结构特征有多种表现形式，选刻画一类对象的充要条件作为定义，且要求包含的要素关系尽量少，实现对物体的数学抽象，再以此为出发点，研究其他特征，获得几何体的性质。研究几何体结构特征整体思路定性描述•

数学思想：•

结构特征有多种表现形式，选刻画一类对象的充要条件作为定义，且要求包含的要素关系尽量少，实现对物体的数学抽象，再以此为出发点，研究其他特征，获得几何体的性质。•

研究内容：研究几何体结构特征整体思路定性描述•

数学思想：•

结构特征有多种表现形式，选刻画一类对象的充要条件作为定义，且要求包含的要素关系尽量少，实现对物体的数学抽象，再以此为出发点，研究其他特征，获得几何体的性质。•

研究内容：•

对几何图形“从粗到细”的分类，获得结构特征——不断增加条件。•

过程与方法：•

从观察与分析一些具体几何图形的组成要素的形状、位置关系入手，归纳共性，抽象出分类标准，再概括到同类物体而形成抽象概念。研究结果举例：（1）几何体的分类——从几何体的组成元素入手，把空间几何体分为多面体、旋转体。（2）多面体的分类——从组成元素的形状、位置关系入手。例如：两个面是多边形且相互平行，其余各面是平行四边形，相邻各面的交线相互平行叫做棱柱；类似的有棱锥、棱台。（3）棱柱的分类——组成元素有某种特殊性、特殊关系，得出斜棱柱、直棱柱；（4）直棱柱的分类——正棱柱、其他；（5）正棱柱的分类——正方体、其他。（6）特殊的几何体——平行六面体及其分类。定义几何图形的逻辑方法：属+种差•

图形——原始概念，属•

几何图形——立体图形+平面图形•

立体图形——多面体+旋转体•

多面体——棱柱+棱锥+棱台+……•

棱柱——直棱柱+斜棱柱•

直棱柱——正棱柱+……•

正棱柱——正三棱柱+正四棱柱+……定量刻画定量刻画研究路径：定量刻画研究路径：•

单位正方体——正方体（如何解决任意边长的正方体度量）——长方体——棱柱——棱锥——棱台，祖暅原理，积分思想定量刻画研究路径：•

单位正方体——正方体（如何解决任意边长的正方体度量）——长方体——棱柱——棱锥——棱台，祖暅原理，积分思想•

球的体积问题——积分思想的渗透。定量刻画研究路径：•

单位正方体——正方体（如何解决任意边长的正方体度量）——长方体——棱柱——棱锥——棱台，祖暅原理，积分思想•

球的体积问题——积分思想的渗透。•

解决度量问题的思想是非常深刻的。立体图形的度量，在这个位置无法彻底解决，只能渗透一下思想，直观上进行一些讲解。教师自己必须清楚这个问题。“基本立体图形”的育人价值“基本立体图形”的育人价值•

“基本立体图形”的主要学习内容是对基本立体图形进行分类，通过分类达到对柱、锥、台、球结构特征的认识；“基本立体图形”的育人价值•

“基本立体图形”的主要学习内容是对基本立体图形进行分类，通过分类达到对柱、锥、台、球结构特征的认识；•

掌握描述结构特征的方法——组成元素，形状、位置关系；“基本立体图形”的育人价值•

“基本立体图形”的主要学习内容是对基本立体图形进行分类，通过分类达到对柱、锥、台、球结构特征的认识；•

掌握描述结构特征的方法——组成元素，形状、位置关系；•

形成数学地认识、刻画物体结构特征的能力——抓关键要素及其基本关系（平行、垂直（对称））；“基本立体图形”的育人价值•

“基本立体图形”的主要学习内容是对基本立体图形进行分类，通过分类达到对柱、锥、台、球结构特征的认识；•

掌握描述结构特征的方法——组成元素，形状、位置关系；•

形成数学地认识、刻画物体结构特征的能力——抓关键要素及其基本关系（平行、垂直（对称））；•

掌握描述事物特征的逻辑方法——有序地、有逻辑地认识事物的特征，培养理性思维。2.一般观念的统领作用•

所谓一般观念，是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用。•

能自觉地运用一般观念指导数学学习与探究活动，是学生学会学习的标志，是实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”跨越的表现，也是理性思维得到良好发展的表现。例

“运算”是代数学的一般观念•

“代数学的根源在于代数运算”，因此“运算”是一般观念。数系扩充中的核心问题就是为了解决加法、乘法和乘方逆运算的需要。“引进一种新的数，就要研究关于它的运算；定义一种运算，就要研究运算律”是代数的核心思想。同时，运算也是解决代数问题的基本方法，我们可以通过运算发现和提出问题，通过运算发现数据中的规律，通过运算归纳出代数定理……如何利用数量积及其几何意义推导余弦定理、正弦定理？•

数量积的性质的结构•

设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则•

(1)

a•e=e•a

=|a|cosθ.——特殊的向量大小得到投影向量的大小•

(2)

a⊥b⟺a·b=0.——特殊的位置关系•

(3)

当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=－|a||b|.特别地，a·a=|a|2或|a|=

풂

·

풂.

——特殊的位置关系•

此外，由|cosθ|≤１还可以得到•

(4)|a•b|≤|a||b|.——一般关系从数量积的性质入手，思考推导方法•

三角形边角关系的向量式三角形边角关系的数量式•C2•

푨푩

+

푩푪

+

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—余弦定理i·

푨푩

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·

(푨푪

+

푪푩)—射影定理j·푨푩

=

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·

(푨푪

+

푪푩)—正弦定理•

……j•A

iB•

在基础知识中让学生看到基本方法的应用是非常重要的，这对学生领悟数学基本思想、积累基本活动经验有奠基作用，也是提升“四能”的必由之路。越是基础的地方，蕴含的数学思想越深刻。这种地方往往需要教师在当前教学内容的本质及其蕴含的数学思想和方法的引导下，精心设计教学过程，通过巧妙的情境和问题，把学生“卷入”到探索活动中来，使他们在获得“四基”、提升“四能”的过程中发展数学学科核心素养。（二）理解数学、理解学生基础上的单元-课时教学设计1.单元教学设计的追求：数学的整体性逻辑的连贯性思想的一致性方法的普适性思维的系统性2.单元-课时教学设计的要素•

研究对象；•

逻辑连贯的学习内容；•

连续的、环环相扣的问题链；•

教学过程：系列化数学活动，基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式；•

结果诉求：核心知识、思想方法、思维能力、问题解决能力；注重学习结果的可迁移性，举一反三、触类旁通。3.单元-课时教学设计框架第n单元（k课时）一、单元内容及其解析（含单元教学重点）二、单元目标及其解析三、单元教学问题诊断（含单元教学难点）四、单元教学支持条件第1课时~第k课时1.课时教学内容2.课时教学目标3.课时重点、难点4.教学过程设计•

课时教学设计前先进行单元教学设计，对本单元内容及其蕴含的数学思想和方法、本单元着重培养的数学学科核心素养、本单元的主要学习难点等作出全面分析，并将课标规定的本单元内容按知识的发生发展过程、学生的认知过程（从概念、原理等的学习到练习再到目标检测等）分解到课时，同时将相应的“内容要求”（即单元目标）分解为课时目标．教学过程设计•

统领教学过程的理念：数学的整体性＋一般观念预设性问题串（数学知识的发生发展过程）生成性问题、互动追问（学生的认知过程）•ൠ系列化数学活动四、单元教学设计案例——直线与平面垂直•

为什么平行和垂直是立体几何的要点所在？•

在空间基本图形的位置关系中，直线与平面垂直的特殊性在哪里？•

如何定义直线与平面垂直？——为什么不用“一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线”作为定义？•

直线与平面垂直的判定要研究的问题是什么？如何理解“从定义到判定”？•

直线与平面垂直的性质要研究的问题是什么？如何理解“从定义到性质”？•

在空间的种种性质中，最为基本而且影响无比深远者，首推对称性和平直性。两者在三角形上的表述分别是“SAS叠合条件”和“三角形内角和恒为一个平角”；在立体几何中则表现为空间中的“平行”与“垂直”以及两者之间的密切关联。其实平行与垂直乃是整个定量立体几何的基础所在，当然也就是学习立体几何的起点与要点所在。——项武义（一）直线、平面垂直关系的差异•

直线与直线垂直、平面与平面垂直是同类图形的垂直关系，而直线与平面垂直是不同类图形之间的垂直关系。•

这个差异反映在垂直的定义上，两个同类图形的垂直关系是在定义它们所成角的基础上，再把所成角为90°时的特殊位置定义为相互垂直；而直线与平面的位置关系是先定义垂直关系，再利用垂直关系定义直线与平面所成角。直线、平面的位置关系本质上是方向的关系•

平行：同类图形“平行”，方向相同；两类图形平行，直线的方向向量和平面的法向量垂直。平行时，距离是核心问题。•

相交：直线与平面相交有唯一公共点，平面与平面相交有一条公共直线，以两个图形的方向差，也就是交角作为基本要素。•

垂直：相交的特例，方向差为90°。•

问题：直线与直线、平面与平面的交角——直接转化为同一平面内两条直线所成角；直线与平面的交角要借助于直线与平面垂直。•

直线与平面相交的原始问题应该是如何定义直线与平面所成的角，基本思路是转化为直线与平面内的直线所成角。这时遇到的问题是到底选平面内的哪条直线才能满足纯粹性和完备性呢？正因为如此，直线与平面垂直的概念要比直线与直线、平面与平面垂直难学。（二）直线与平面垂直的判定定理•

从直线与平面垂直的判定定理的探索过程可以发现，其关键有如下几点：•

第一，将直线a与平面α垂直转化为直线a与平面α内的直线垂直；•

第二，利用空间直线与直线垂直的定义；•

第三，利用平面的基本性质及其推论（确定一个平面的条件）。•

分析直线与平面垂直的判定定理，可以看到，定理中充分条件涉及的“平面内的两条相交直线”实际上就是确定一个平面的充分条件，本质上是与两个不共线的方向垂直。（三）直线与平面垂直的性质定理•

一个几何图形的性质首先是其组成要素、相关要素之间的位置关系、大小关系，而直线、平面的某种位置关系的性质则是在这种位置关系下的直线、平面与空间其他直线、平面所呈现的确定关系。所以，这里要研究的问题是：•

以a⊥α为大前提，研究a，α与空间中的其他直线、平面具有怎样的确定关系，并且是以空间中的平行、垂直关系为主题。在这样的认识下，我们就可以通过引进第三个元素，研究这个元素与a，α之间的关系。例如，对于一个平面β，当β⊥a时，β与α有什么确定关系（β∥α）；反之，当β∥α时，β与a有什么关系（β⊥a）。•

让学生明确“直线、平面位置关系的性质到底指什么”的基础上，可以直接采取“猜想＋论证”的方法展开探究，以更充分地发挥这个内容的育人价值，更好地培养学生的空间观念，促进直观想象、逻辑推理等素养的发展。•

具体研究时，需要把细节问题处理好。例如，如何使学生理解直线与平面垂直的定义方式；如何归纳研究直线、平面位置关系的“一般观念”；如何促进学生在“一般观念”引领下，猜想判定定理、性质定理，找到证明方法，特别是如何使学生领会在什么条件下需要使用反证法；等等。（四）教学过程设计（问题串）•

问题1类比直线、平面平行的研究，对于直线与平面垂直，你认为要研究哪些内容？按怎样的线索展开研究？研究方法是什么？•

追问

回顾直线与直线垂直的定义，我们发现，它是在定义两条直线所成角的基础上，把所成角为90°时的两条直线称为相互垂直。如果按照这个思路，我们要先定义直线与平面所成的角，你认为该如何定义？•

估计学生会提出：“转化为直线与平面内的直线所成角”，这时教师可以追问：选平面中的哪条直线呢？然后再让学生讨论。讨论中可以利用初中学过的“正投影”概念。•

如图，平面α与其斜线a交于点O，直线上的点A在平面上的正投影是A′，则OA′是a在α上的正投影。过O在α内任作直线b，让b在α内绕O转动，并测量b与a所成角的大小。可以发现，a与OA′所成的角是唯一存在的最小角。所以，利用直线a与其在平面α上的正投影OA′所成的角定义a与α所成角具有唯一性和存在性。为此，需要先定义直线与平面垂直，这样才能得到平面的斜线在平面内的正投影。AabA′Ob′훼图2定义与判定定理•

问题2

如图3，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC．随着时间的推移，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？•

追问

对于地面上不经过点B的直线，旗杆AB所在直线还与它垂直吗？为什么？•

问题3旗杆与旗杆在地面上的影子之间的关系给我们定义直线与平面垂直以启发．阅读课本149页的相关内容，并回答下列问题：•

（1）直线与平面垂直的定义是什么？•

（2）如何用符号表示直线与平面垂直？•

（3）如何画图表示直线与平面垂直？•

追问1依据定义，当直线l与平面α互相垂直时，若直线c⊂α，那么直线l与c之间有怎样的位置关系？•

追问2我们知道，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？•

追问3在平面几何中，得出平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直后，我们定义了点到直线的距离。类似的，有了过一点有且只有一条直线与已知平面垂直后，我们可以定义什么？•

问题4

如图5，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）．(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?为什么？•

追问1

图6（2）中直线AD与平面α垂直，你能给出解释吗？•

追问2受上述操作的启发，你能得出直线与平面垂直的判定方法吗？联系前面关于确定一个平面的条件，你能给自己得出的判定方法一个合理解释吗？•

追问3两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗?

你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？•

例1

求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．•

师生活动：首先要求学生仔细读题，转化为符号语言和图形语言，提醒学生“由已知想性质，由求证想判定”，沟通条件和结论，进而得出证明。•

问题5如图8，过点O在平面α内任意做一条不同于A′O的直线OB．你能证明∠AOA′＜∠AOB吗？lAA′O•

这里只要过A′作A′B⊥OB，连接AB，证明AB＞AA′，即可得出证明。在此基础上，教B훼师说明：因为平面的一条斜线在平面内的射影是唯一存在的，而且斜线和它在平面上的射影所成的角是斜线与平面内所有直线所成角中的最小角，所以这样定义直线与平面所成角是合理的。性质定理•

问题1上一节课的课后作业让大家梳理直线与平面平行、平面与平面平行的性质的学习过程，并归纳“性质”所研究的问题，然后通过类比，提出直线与平面垂直的性质所要研究的问题，猜想性质定理并尝试证明猜想。哪位同学来说一说直线与平面垂直的性质所要研究的问题是什么？•

要研究的问题：以a⊥α为大前提，研究a，α