高二数学上学期期末真题分类汇编《双曲线》含答案

高中数学专题04双曲线（2种经典基础练+3种优选提升练）双曲线及其标准方程（共16题）一、单选题1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（23-24高二上·山东东营·期末）若是双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（

）A．2 B． C． D．4．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（

）A．8或20 B．20 C．6或22 D．225．（23-24高二上·湖北·期末）已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（

）A．（） B．C．（） D．（）6．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（

）

A． B． C． D．7．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（

）A．13 B．10 C．1 D．13或1二、多选题8．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知角，则方程可能表示下列哪些曲线（

）A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．两条直线三、填空题9．（23-24高二上·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是．10．（23-24高二上·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为.11．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为.12．（23-24高二上·天津西青·期末）已知双曲线（）的两个焦点为，，焦距为20，点P是双曲线上一点，，则.13．（23-24高二上·山西长治·期末）在双曲线型冷却塔（如图）的建设过程中,人员、物料的运输一直是困扰施工的难题,经实践探索设计出“附墙升降机”,其结构如图所示,安装之后附着在冷却塔的外侧,通过升降吊笼完成输送任务.假设该冷却塔的最小半径为,上口半径为,下口半径为，高为.附墙升降机轨道在点以下与冷却塔贴合,从点到顶端点是竖直的,则长约为（保留整数）.

四、解答题14．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点，(1)求双曲线的标准方程；(2)若点在双曲线上，且，求与的值．15．（23-24高二上·河南漯河·期末）求符合下列条件的曲线方程：(1)已知点四点，你只需任意选择其中三个点作圆，求所作圆的标准方程.(2)以轴，轴为对称轴，且同时过两点的圆锥曲线的标准方程.16．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，．(1)求的标准方程；(2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值．双曲线的简单几何性质（共21题）一、单选题1．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为（

）A．， B．，C．， D．，2．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·河南漯河·期末）双曲线（）的一条渐近线为，则其离心率为（

）A． B． C．或 D．或4．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（

）A． B．C． D．5．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（

）

A． B．2 C．3 D．6二、多选题7．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（

）A． B．C的离心率为C． D．C的渐近线方程为8．（23-24高三上·河北保定·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的是（

）A． B．的离心率为C．曲线经过的一个顶点 D．与有相同的渐近线9．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的实轴长为6B．双曲线C的渐近线方程为C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为4D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8三、填空题10．（23-24高二上·广东深圳·期末）经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是.11．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线E与双曲线具有相同的渐近线，且经过点，则双曲线E的方程为.12．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若双曲线的虚轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为.13．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为．14．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知为双曲线的右焦点，为双曲线的两条渐近线，以为圆心的圆与渐近线相切于两点，则．四、解答题15．（23-24高二上·浙江·期末）已知离心率为的双曲线与x轴交于A，B两点，B在A的右侧．在E上任取一点，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N．(1)求双曲线E的方程；(2)求证：直线与直线的斜率乘积为定值；(3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由．16．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2．(1)求双曲线的标准方程；(2)点是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中．（ⅰ）求的取值范围，并判断是否成立？（ⅱ）证明：不可能是的三等分线．17．（23-24高二上·福建福州·期末）已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点，的面积为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.18．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值．19．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线过点，左右焦点分别为，且．(1)求的标准方程．(2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由．20．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知定点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)点满足，直线与双曲线分别相切于点A，B.证明：直线与曲线C相切于点Q，且.21．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为.(1)求的方程；(2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值.双曲线中定点问题1．（23-24高二上·重庆·期末）已知点，动点到直线l：的距离为d，且，记S的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若，分别为曲线C的左、右顶点，M，N两点在直线上，且.连接，分别与C交于点P，Q，求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标.2．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线上的动点满足，且.(1)求的方程；(2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点.3．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知双曲线的左焦点，一条渐近线方程为，过做直线与双曲线左支交于两点，点，延长与双曲线右支交于两点．(1)求双曲线的方程；(2)判断直线是否过定点?若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．4．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知双曲线的实轴长为4，且双曲线经过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点.5．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线：的左右顶点分别为、．(1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；(2)直线过点与双曲线交于、两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；(3)动直线：恒过，且与双曲线的交于、两点（异于），点（常数）是轴上的一个定点，若恒有成立，求实数的值．双曲线中定值问题1．（22-23高二上·安徽蚌埠·期末）已知分别为双曲线和双曲线上不与顶点重合的点，且的中点在双曲线的渐近线上.(1)设的斜率分别为，求证：为定值；(2)判断的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，，点到的渐近线的距离为3.(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；(2)已知点为坐标原点，动直线与相切，若与的两条渐近线交于，两点，求证：的面积为定值.3．（23-24高二上·辽宁大连·期末）双曲线和的方程均满足，其中的焦点在轴上，顺次连接的两个焦点和的两个顶点恰好可以构成一个面积为4的正方形．(1)求双曲线和的方程．(2)若为左支上一动点且不在轴上，过作的切线交于两点，过作的平行线交于，顺次连接四点构成四边形，求证：四边形的面积为定值．4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知离心率为的双曲线C:x2a2(1)求的方程；(2)如图，点为双曲线上的任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于、两点，求证：平行四边形的面积为定值.5．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的右顶点为A，过点A作直线MA，NA与C的左支交于M，N两点，且，，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值，并求出Q点坐标．6．（23-24高二上·山东淄博·期末）已知双曲线（，）的离心率为2，且经过点.(1)求双曲线的方程；(2)点，在双曲线上，且，，为垂足.证明：①直线过定点；②存在定点，使得为定值.7．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线交双曲线右支于两点，当直线与轴垂直时，．过作直线分别交双曲线两支于两点，且的最小值为．(1)求双曲线的方程；(2)设线段的中点分别为，记的面积为，的面积为（为双曲线的中心），若直线的斜率分别为且，求证：为定值，并求出这个定值．8．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知点在双曲线上，双曲线的离心率为.(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线交双曲线于不同于点的两点，直线和直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.9．（23-24高二上·广东广州·期末）已知双曲线：与圆的一个交点为.(1)求双曲线E的方程；(2)设点A为双曲线E的右顶点，点B，C为双曲线E上关于原点O对称的两点，且点B在第一象限，直线与直线交于点M，直线与双曲线E交于点D.设直线与的斜率分别为，，请问是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.10．（23-24高二上·安徽黄山·期末）如图，已知曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点O为中心，为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线C称为“月蚀圆”．设.

(1)求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程；(2)过点作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H为BE的中点．问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.11．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为.(1)求的方程；(2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值.12．（23-24高二上·浙江·期末）已知离心率为的双曲线与x轴交于A，B两点，B在A的右侧．在E上任取一点，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N．(1)求双曲线E的方程；(2)求证：直线与直线的斜率乘积为定值；(3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由．13．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的渐近线为，双曲线与双曲线C的渐近线相同，过双曲线的右顶点的直线与，在第一、四象限围成三角形面积的最小值为8．(1)求双曲线的方程；(2)点P是双曲线上任意一点，过点P作依次与双曲线C和交于A，B两点，再过点P作依次与双曲线C和交于E，F两点，证明：为定值．14．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知双曲线的渐近线方程为，且点在上．(1)求的方程；(2)点在上，且为垂足．证明：存在点，使得为定值．双曲线中最值问题1．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值.2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线方程为，，为双曲线的左、有焦点，离心率为2，点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点作斜率不为0的直线交双曲线于两点；则在轴上是否存在定点使得为定值，若存在，请求出的值及此时面积的最小值，若不存在，请说明理由．3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线的离心率为，点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于P，A两点，点P在第一象限，当直线PA的斜率不存在时，．(1)求双曲线的标准方程；(2)线段交圆于点B，记的面积分别为，求的最小值．4．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值．5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，设为直线上不同于点的任意一点，连接线段交椭圆于点，连接线段并延长交椭圆于点.（i）证明：点B在以为直径的圆内；（ii）求四边形面积的最大值.6．（23-24高二上·福建福州·期末）若双曲线的一个焦点是，且离心率为2．(1)求双曲线的方程；(2)已知点，过焦点的直线与双曲线的两支相交于A，B两点，求直线MA和MB的斜率之和的最大值．7．（23-24高二上·四川成都·期末）请解决以下两道关于圆锥曲线的题目.(1)已知圆，圆过点且与圆外切.设点的轨迹为曲线.①已知曲线与曲线无交点，求的最大值（用表示）；②若记①的最大值为，圆和曲线相交于、两点，曲线与轴交于点，求四边形的面积的最大值，并求出此时的值.（参考公式：，其中，当且仅当时取等号）(2)如图，椭圆的左右焦点分别为、，其上动点到的距离最大值和最小值之积为，且椭圆的离心率为.①求椭圆的标准方程；②已知椭圆外有一点，过点作椭圆的两条切线，且两切线斜率之积为.是否存在合适的点，使得？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由.8．（22-23高三上·广东东莞·期末）已知，为双曲线E：（，）的左右焦点，点在双曲线E上，O为坐标原点．(1)求双曲线E的标准方程；(2)若不与坐标轴平行的动直线l与双曲线E相切，分别过点，作直线l的垂线，垂足为P，Q，求面积最大值．

专题04双曲线（2种经典基础练+3种优选提升练）双曲线及其标准方程（共16题）一、单选题1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】方程表示双曲线，则，解得或，当时，方程表示双曲线，所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A2．（23-24高二上·山东东营·期末）若是双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，探求四边形的形状，结合双曲线的定义及勾股定理求出，再求出作答.【详解】依题意，点与，与都关于原点O对称，且，因此四边形是矩形，如图，由双曲线：得：，，于是，显然四边形的外接圆半径为，因此，所以.故答案为：3．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】设，由双曲线的定义及余弦定理，求得的值，再利用三角形的面积相等法求得的值，进而求得，得到答案.【详解】由双曲线，可得，则，设，由双曲线的定义，可得，根据余弦定理，可得，解得，再设点的坐标为，则，因为，可得，解得，由，可得，即点到轴的距离为.故选：C.4．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为7，则（

）A．8或20 B．20 C．6或22 D．22【答案】B【分析】根据中位线的性质和双曲线的定义，即可求.【详解】由双曲线方程可知，，，设双曲线的右焦点为，中，点分别是的中点，所以，则，又因为.故选：B5．（23-24高二上·湖北·期末）已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（

）A．（） B．C．（） D．（）【答案】A【分析】利用双曲线的定义及两圆的位置关系计算即可.【详解】由题意易知两圆圆心分别为，半径分别为，设动圆圆心，半径，则根据题意有,根据双曲线的定义知的轨迹是以原点为中心，为左右焦点，为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为：.故选：A6．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由关系以及离心率、可得双曲线方程，进一步代入即可求解.【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，又由双曲线的离心率为，有，可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.故选：B.7．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（

）A．13 B．10 C．1 D．13或1【答案】A【分析】根据双曲线的定义求解．【详解】由题意得焦距为，由双曲线定义可得，所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确.故选：A.二、多选题8．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知角，则方程可能表示下列哪些曲线（

）A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．两条直线【答案】ABCD【分析】根据题意讨论的取值范围，结合方程分析判断.【详解】当时，则，即，方程可化为，表示双曲线，故B正确；当时，则，方程可化为，表示两条直线，故D正确；当时，则，即方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；当时，则，方程可化为，表示圆，故C正确.故选：ABCD.三、填空题9．（23-24高二上·山西大同·期末）点，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的周长是．【答案】【分析】利用双曲线表达式求出焦距，结合余弦定理求出的值，即可求出的周长.【详解】由题意，在双曲线中，，∴，，由余弦定理的推论可得，所以，所以，，所以，所以，所以的周长为．故答案为：.10．（23-24高二上·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为.【答案】【分析】由题意，结合双曲线的定义即可求解.【详解】设，，由于动点Mx,y的轨迹方程为则，故点M到定点与到定点A5,0的距离差的绝对值为8，则动点Mx,y的轨迹是以为焦点的双曲线，由于，，则，故M的轨迹方程为：，故答案为：.11．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为.【答案】【分析】由题意可得条件，，从而得到双曲线标准方程..【详解】由题可得双曲线焦点在轴上，且，，所以，，则双曲线的标准方程为.故答案为：12．（23-24高二上·天津西青·期末）已知双曲线（）的两个焦点为，，焦距为20，点P是双曲线上一点，，则.【答案】【分析】由双曲线方程及焦距确定双曲线参数，再由双曲线定义求.【详解】由题设，又且，所以，而，则或，其中，故.故答案为：13．（23-24高二上·山西长治·期末）在双曲线型冷却塔（如图）的建设过程中,人员、物料的运输一直是困扰施工的难题,经实践探索设计出“附墙升降机”,其结构如图所示,安装之后附着在冷却塔的外侧,通过升降吊笼完成输送任务.假设该冷却塔的最小半径为,上口半径为,下口半径为，高为.附墙升降机轨道在点以下与冷却塔贴合,从点到顶端点是竖直的,则长约为（保留整数）.

【答案】【分析】根据题意先建立直角坐标系,设双曲线的方程为,则,将代入双曲线方程得到与的关系,再利用高为求出,即可求出AB的距离.【详解】根据双曲线的对称性,在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系:

使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合.此时上、下口的直径都平行于轴,且,设双曲线的方程为，则，因为直径是实轴，又两点都在双曲线上，所以，解得，因为，所以，解得，所以双曲线方程为，所以，因为双曲线关于轴对称，所以.故答案为:.四、解答题14．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知双曲线过点且与椭圆有相同的焦点，(1)求双曲线的标准方程；(2)若点在双曲线上，且，求与的值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）由椭圆方程可得，设双曲线方程，则且，解出a、b即可；（2）利用平面向量数量积的坐标表示可得，结合计算即可求解.【详解】（1）椭圆x2+4y2＝16，即为1，所以焦点，设双曲线的方程为，则，又1，解得，所以双曲线的方程为1；（2）若点在双曲线上，且0，即，得，又，解得．15．（23-24高二上·河南漯河·期末）求符合下列条件的曲线方程：(1)已知点四点，你只需任意选择其中三个点作圆，求所作圆的标准方程.(2)以轴，轴为对称轴，且同时过两点的圆锥曲线的标准方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选、，可以推导出圆心为、的中点，半径，即可求出圆的方程；若选、、或、、设出圆的一般式方程，即可得到方程组，解得即可；（2）首先判断不可能为抛物线，设为，代入点的坐标得到方程组，解得即可.【详解】（1）若选择、、三点，因为，，所以，即，所以圆心为、的中点，半径，所以过、、三点的圆的方程为；若选择、、三点，设圆的方程为，则，解得，所以过、、三点的圆的方程为；若选择、、三点，因为，，所以，即，所以圆心为、的中点，半径，所以过、、三点的圆的方程为；若选择、、三点，设圆的方程为，则，解得，所以过、、三点的圆的方程为；（2）依题意该圆锥曲线不可能为抛物线，故设曲线方程为，则，解得，所以曲线方程为.16．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，．(1)求的标准方程；(2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由椭圆和双曲线定义得到方程组，求得，进而可得，可求椭圆的方程；（2）设，，，由椭圆定义得到，设直线，，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，结合基本不等式求出的最大值．【详解】（1）双曲线方程为，由椭圆和双曲线定义可得，，又，故，，又因为，所以，则椭圆的标准方程为（2）设，，，显然，，，，由椭圆定义知：，的周长均为，

所以，同理，所以，设直线，，将直线方程代入椭圆的方程得：，所以，即，同理，所以，当且仅当，时等号成立．所以的最大值为．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．双曲线的简单几何性质（共21题）一、单选题1．（23-24高二上·安徽·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由渐近线、的关系以及焦点的概念即可求解.【详解】已知双曲线的渐近线方程为，对照，可得，所以，所以该双曲线的焦点坐标分别为，．故选：B.2．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的左焦点是双曲线的左顶点，则双曲线的渐近线为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆和双曲线相关基本知识直接求解即可.【详解】设椭圆焦距为，则，则，所以椭圆的左焦点为，所以双曲线的左顶点为，所以，所以，所以双曲线的渐近线为.故选：D3．（23-24高二上·河南漯河·期末）双曲线（）的一条渐近线为，则其离心率为（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到，再由离心率公式计算可得.【详解】双曲线（）的渐近线为，依题意可得，则双曲线的离心率.故选：B4．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据椭圆与双曲线的离心率的性质即可解决．【详解】由题意得到椭圆①，②的b值相同，a值①比②小，则，可以知道，；根据双曲线的开口越大离心率越大，则．所以，故选：A．5．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据双曲线离心率求出a的值，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】由题意得双曲线离心率，解得，（负值舍），则，故双曲线的渐近线方程为.故选：D6．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（

）

A． B．2 C．3 D．6【答案】D【分析】由题得出，代入求得，得到双曲线标准方程即可得出答案.【详解】由题意得，代入得，解得，即，因此虚轴长为，故选：D．二、多选题7．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（

）A． B．C的离心率为C． D．C的渐近线方程为【答案】AB【分析】根据双曲线的简单性质计算即可.【详解】由标准方程可得，所以，A正确；离心率，B正确；，，C错误；渐近线方程为，D错误.故选：AB.8．（23-24高三上·河北保定·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的是（

）A． B．的离心率为C．曲线经过的一个顶点 D．与有相同的渐近线【答案】ACD【分析】根据双曲线的渐近线方程求出即可判断A；根据双曲线的离心率公式即可判断B；求出双曲线的顶点即可判断C；求出双曲线的渐近线方程即可判断D.【详解】双曲线的渐近线方程为，所以，解得（舍去），故A正确；双曲线，所以的离心率为，故B错误；双曲线的顶点为，因为，所以曲线经过的一个顶点2,0，故C正确；对于D，令，则，即的渐近线方程为，故D正确.故选：ACD.9．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（

）A．双曲线C的实轴长为6B．双曲线C的渐近线方程为C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为4D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8【答案】AC【分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由双曲线，可得，则，对于A中，双曲线的实轴长为，所以A正确；对于B中，双曲线的渐近线方程为，所以B不正确；对于C中，设双曲线的右焦点，不妨设一条渐近线方程为，即，可得焦点到渐近线的距离为，所以C正确；对于D中，根据双曲线的性质，可得双曲线上的点到焦点的最短距离为，所以D错误.故选：AC.三、填空题10．（23-24高二上·广东深圳·期末）经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是.【答案】【分析】根据题意，得双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解.【详解】由题意，所求双曲线为等轴双曲线，可得双曲线的方程为，因为所求双曲线过点，可得，解得，所以，所求双曲线的方程为.故答案为：.11．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线E与双曲线具有相同的渐近线，且经过点，则双曲线E的方程为.【答案】【分析】由相同渐近线的双曲线方程待定参数，将点的坐标代入即可求解.【详解】由题意不妨设与双曲线具有相同的渐近线的双曲线E的方程为，若双曲线E经过点，则，解得，所以双曲线E的方程为.故答案为：.12．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若双曲线的虚轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为.【答案】【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线的虚轴长为4，可得，解得，所以该双曲线的渐近线方程为.故答案为：.13．（23-24高二上·云南昆明·期末）若双曲线E：的一条渐近线与圆C：交于A，B两点，若，则E的焦距为．【答案】【分析】根据给定条件，结合圆的性质可得点到渐近线的距离为1，再利用点到直线距离公式计算得解.【详解】圆C：的圆心，半径，由，得，则点到直线的距离为1，双曲线E：的渐近线为，于是，解得，所以E的焦距为.故答案为：

14．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知为双曲线的右焦点，为双曲线的两条渐近线，以为圆心的圆与渐近线相切于两点，则．【答案】4【分析】根据点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系、双曲线与圆的对称性及等面积法计算弦长即可.【详解】由题意可知到渐近线的距离为，即该圆半径为，如图所示，连接交横轴于D点，利用双曲线与圆的对称性可知，所以，在直角中，易知，所以，则.故答案为：四、解答题15．（23-24高二上·浙江·期末）已知离心率为的双曲线与x轴交于A，B两点，B在A的右侧．在E上任取一点，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N．(1)求双曲线E的方程；(2)求证：直线与直线的斜率乘积为定值；(3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)证明见解析；(3)过定点，坐标为【分析】（1）根据离心率和双曲线方程可得，可求出双曲线E的方程；（2）分别表示出，再由化简可得斜率乘积为定值2；（3）求出三角形MNB的外接圆圆心坐标为，写出圆的标准方程并令可解得符合题意，即可得外接圆过定点.【详解】（1）由离心率为可得，又易知，所以，可得双曲线E的方程为；（2）易知，如下图所示：易知的斜率均存在，且满足，可得，又易知，所以，因此直线与直线的斜率乘积为定值2；（3）由（2）可知直线的方程为，直线的方程为；因此可得，所以三角形MNB的外接圆圆心在线段的垂直平分线上，即；线段的中点坐标为，易知线段的垂直平分线为，联立两直线方程可得圆心坐标为，所以外接圆半径为，圆的标准方程为，令可得，解得（舍）或因此可得三角形MNB的外接圆过x轴上除B点之外的定点，该定点坐标为.【点睛】关键点点睛：求解三角形MNB的外接圆过定点时，关键是写出外接圆的标准方程，再令纵坐标即可求得定点坐标为.16．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2．(1)求双曲线的标准方程；(2)点是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中．（ⅰ）求的取值范围，并判断是否成立？（ⅱ）证明：不可能是的三等分线．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）结合题意可得，解出，写出双曲线方程即可.（2）（ⅰ）根据题意，得到，求得直线的方程，联立方程组，结合韦达定理，求得点的坐标，列出不等式关系式，求得的范围，再由（ⅰ），求得直线的斜率并化简，得到，即，（ⅱ）求得的范围，进而证得不可能是的三等分线.【详解】（1）因为双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2，所以，解得，故双曲线的标准方程为；（2）（ⅰ）因为点Ax0,y0是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得，所以，所以，可得直线的方程为，联立，消去并整理得，因为直线与双曲线有两个交点，并设,所以，由韦达定理得，解得，则，所以成立，此时只需，解得，则的取值范围为，易知所以，即，（ⅱ）证明：由（ⅰ）知，因为,所以，故不可能是的三等分线．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.17．（23-24高二上·福建福州·期末）已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点，的面积为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，表示出AB，再由的面积，并结合双曲线中的关系求解；（2）法一：设出直线的点斜式方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理和中点坐标公式求解；法二：利用点差法求解.【详解】（1）由题设双曲线，直线的方程为联立方程解得，又，，则而所以双曲线的标准方程为.（2）法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点，可知，直线的方程不是，设直线的方程为即联立方程得①解得将代入①，得故直线的方程为.法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点，可知，直线的方程不是，设得，,直线的方程为，即，联立方程得，故直线的方程为.18．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得，解得、，即可得解；（2）解法一：设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由整理得到，即可表示出，从而求出其最小值；解法二：设，，联立直线与双曲线方程，即可求出、，即可得到，同理得到，从而得到，再由基本不等式计算可得.【详解】（1）由双曲线C的一条渐近线方程为，且双曲线过，所以，解得，故双曲线的方程为.（2）解法一：设，直线的方程为，联立，得，则，且，由，即，即，即，即，整理得，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.方法二：由题意知直线的斜率存在且不等于，设，，由，即，联立，解得，则，同理，其中，故，而，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为x1,y（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.19．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线过点，左右焦点分别为，且．(1)求的标准方程．(2)设过点的直线与交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数的值：若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，点，该常数为56【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线定义求出实轴长即可求出双曲线方程.（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理及数量积的坐标表示求解即得.【详解】（1）依题意，双曲线半焦距，，则，所以的方程为.（2）依题意，直线的斜率存在，设的方程为，由，消去得，显然，且，得且，则，设存在符合条件的定点，则，因此要为常数，当且仅当，解得，此时该常数的值为56，所以在轴上存在点，使得为常数，该常数为56．

20．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知定点，直线相交于点M，且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)点满足，直线与双曲线分别相切于点A，B.证明：直线与曲线C相切于点Q，且.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设，根据题意结合斜率公式运算求解；（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，直线的斜率分别为直线，根据直线与双曲线相切可得，，由切线均过点Px0,y0可得，，同构可知直线的方程为，联立方程证明直线与曲线【详解】（1）设，则，由题意可得，整理得，所以曲线C的方程.（2）设Ax1,y1则，，可知直线的方程为，联立方程，消去y得，则，可得，且，即，代入可得，则，同理可得，又因为切线均过点Px0可知为方程的两根，且，则，可得，则，即，可知为直角三角形，又因为，整理得，同理可得，可知直线的方程为，即直线的斜率，联立方程，消去y得，且且，则，可得，解得，且，即直线与曲线C相切于点，则，可得，可知，则，可得，即，所以直线与曲线C相切于点Q，且.【点睛】关键点点睛：同构思想的应用：1.根据题意可知为方程的两根；2.根据，，可知直线的方程为.21．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为.(1)求的方程；(2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值.【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线可得，联立直线与椭圆方程得关于的一元二次方程，由韦达定理得；联立方程和渐近线方程求出，得到，由题易得，即，联立求出的关系式，再由定义表示出，将所有未知量全部代换成即可求证.【详解】（1）因为双曲线：过点，离心率为，所以有；（2）设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线得，即，联立，得，得，即，，因为在第一象限，双曲线渐近线方程为，联立，得，即，联立，得.即，所以，因为，所以，所以①，又②，①②得，，所以，所以，因为所以，为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.双曲线中定点问题1．（23-24高二上·重庆·期末）已知点，动点到直线l：的距离为d，且，记S的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若，分别为曲线C的左、右顶点，M，N两点在直线上，且.连接，分别与C交于点P，Q，求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标.【答案】(1)(2)证明见解析，定点【分析】（1）根据，分别表示出，，化简即得曲线C的方程；（2）根据题意，表示出，的直线方程，与曲线联立，表示出，两点坐标，求出直线方程，进而得到直线恒过定点.【详解】（1）因为点，动点到直线l：的距离为d，所以，又因为，所以，两边同时平方得，整理得，所以曲线C的方程.（2）由（1）可得，,设，因为，则，，，将与联立，消去整理得，所以，即，，所以，所以，，故，将与联立，消去整理得，所以，即，，所以，所以，，所以，当时，直线方程为，所以直线PQ过定点，定点坐标，当时，两点分别为或，所以直线PQ过定点坐标，所以直线PQ过定点，定点坐标为【点睛】方法点睛：求动点轨迹的方法，一般有直接法，转移法以及交轨法．其中转移法适用于两个动点的情形，一个是已知曲线上的动点，另一个是所求动点，先通过条件用所求动点坐标表示已知动点坐标，再代入已知动点所在曲线方程，化简可得所求动点轨迹方程.2．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线上的动点满足，且.(1)求的方程；(2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据双曲线的定义即可求解，（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据相切得判别式为0，可得，进而可得坐标，根据两点坐标可得直线的方程，即可根据交点在直线化简求解.【详解】（1）因为，所以曲线是以为焦点，以2为实轴长的双曲线，所以实半轴长，半焦距，虚半轴长，所以曲线的方程为.（2）由题知切线斜率均存在，所以设过点所作的切线分别为，由题意知且，由得，因为与相切，所以，且，整理得.此时可得，即.同理.由得.直线的斜率为，所以的方程为，令，得，即经过定点.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为,则直线过定点;若直线方程为(为定值),则直线过定点3．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知双曲线的左焦点，一条渐近线方程为，过做直线与双曲线左支交于两点，点，延长与双曲线右支交于两点．(1)求双曲线的方程；(2)判断直线是否过定点?若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)(2)过定点【分析】（1）由双曲线几何性质求方程；（2）分斜率存在于不存在分别研究，直线方程与双曲线方程联立，设，则直线的方程为，与双曲线求交点得，同理，从而求出直线的方程，可证.【详解】（1）由题意可知：解得双曲线的方程为（2）当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为由整理得与左支交于两点，解得设，则直线的方程为代入整理得设，则，，，同理直线的斜率直线的方程为，即直线过定点当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不妨设点在轴上方，则，直线的方程为由，解得同理此时直线过点【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系结合韦达定理运算求解.4．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知双曲线的实轴长为4，且双曲线经过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意得，，由此即可得解.（2）设点Ax1,y1,Bx2,y2【详解】（1）因为双曲线的实轴长为4，所以，解得.又双曲线经过点，所以，.解得，所以双曲线的方程为.（2）设直线的方程为，设点Ax1,y1将代入方程，得，易知，则，由三点共线可得,所以，所以，所以，所以，所以，又，所以，直线的方程为，所以直线过定点.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是适当设点、设直线，结合韦达定理三点共线即可顺利得解.5．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线：的左右顶点分别为、．(1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；(2)直线过点与双曲线交于、两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；(3)动直线：恒过，且与双曲线的交于、两点（异于），点（常数）是轴上的一个定点，若恒有成立，求实数的值．【答案】(1)(2)(3)1【分析】（1）根据题意可求得椭圆焦点，，再结合离心率为，求出得解；（2）利用点差法求出直线的斜率进而求出直线方程；（3）由，即，设出，，联立直线与双曲线，根据韦达定理代入运算得解.【详解】（1）由题意可得，，，则，又，，，所以椭圆的标准方程为.（2）设Ax1,y1，Bx2,y又因为两点在双曲线上，可得，两式相减得，化简整理得，即，所以直线的方程为，即.经检验，满足题意（3）由动直线恒过点，可得，即直线，设，，联立直线与双曲线，，消去整理得，因为直线与双曲线Γ的交于M、N两点，所以，，则，，由，得，即，即，整理得，即，当时，上式成立，当时，得，所以当时，恒有成立.【点睛】关键点睛：本题第三问，轴上定点恒有，关键转化为，联立直线与双曲线，根据韦达定理代入运算得解.双曲线中定值问题1．（22-23高二上·安徽蚌埠·期末）已知分别为双曲线和双曲线上不与顶点重合的点，且的中点在双曲线的渐近线上.(1)设的斜率分别为，求证：为定值；(2)判断的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)定值，1【分析】（1）设，借鉴点差法原理构造求解.（2）设，联立双曲线，可找到，同理可找出，由面积公式表示出化简即可.【详解】（1）设，则由的中点在双曲线的渐近线上，则，即为定值.（2）（1）（2）联立（1）（2）得：同理，设到直线的距离为，则由（1）知：2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，，点到的渐近线的距离为3.(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；(2)已知点为坐标原点，动直线与相切，若与的两条渐近线交于，两点，求证：的面积为定值.【答案】(1)双曲线的标准方程为，渐近线方程为(2)证明过程见详解.【分析】（1）利用焦距求出，利用点到直线距离公式表示到的渐近线的距离求出，再利用求出，然后求出渐近线.（2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，线段的长，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明.【详解】（1）因为，所以，因为F1−c,0，渐近线为，即则到的渐近线的距离为可表示为，所以，所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为.（2）①当直线经过双曲线的顶点时直线的斜率不存在，此时直线方程为，此时易得，点到直线的距离为，所以此时②当直线的斜率存在时设直线为，由得因为直线于双曲线相切，所以且，整理得且，即由得，则同理得到所以点到直线的距离所以所以的面积为定值3.

【点睛】利用，找到参数之间的关系，再利用公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键.3．（23-24高二上·辽宁大连·期末）双曲线和的方程均满足，其中的焦点在轴上，顺次连接的两个焦点和的两个顶点恰好可以构成一个面积为4的正方形．(1)求双曲线和的方程．(2)若为左支上一动点且不在轴上，过作的切线交于两点，过作的平行线交于，顺次连接四点构成四边形，求证：四边形的面积为定值．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，结合双曲线的几何性质，以及，即可求得曲线和的方程；（2）设，切线，联立方程组，根据，得到，求得，且，在联立方程组求得，，得到直线的方程为，联立方程组，就得，，证得，结合，即可得证.【详解】（1）解：由双曲线和的方程均满足，其中的焦点在轴上，且顺次连接的两个焦点和的两个顶点恰好可以构成一个面积为4的正方形，可得的焦点在轴上，则且，解得，又由，对于曲线，可得，所以，对于曲线，可得，所以.（2）解：设，切线，联立方程组，整理得，则，可得，又因为，可得，代入得，因为，所以，解得，且在直线上，所以，由，解得，即，又由，解得，即，可得直线的方程为，联立方程组，整理得，解得，可得，即，同理可得，所以，所以，又由，，且，所以四边形的面积为，即四边形的面积为定值.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知离心率为的双曲线C:x2a2(1)求的方程；(2)如图，点为双曲线上的任意一点，为原点，过点作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于、两点，求证：平行四边形的面积为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出的值，结合双曲线的离心率可求得的值，进而可求得的值，由此可得出双曲线的方程；（2）设点，则，求出以及点到直线的距离，利用平行四边形的面积公式可证得结论成立.【详解】（1）解：因为，则，因为双曲线C:x2a2−y2所以，，故双曲线的方程为.（2）证明：设点，则，由图可知，直线的方程为，直线的方程为，因为，则直线的方程为，联立可得，所以，，点到直线的距离为，所以，平行四边形的面积为为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．5．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的右顶点为A，过点A作直线MA，NA与C的左支交于M，N两点，且，，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值，并求出Q点坐标．【答案】(1)(2)证明见解析，【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）设直线MN方程为，联立方程组，得到，根据，整理得到，求得，得到直线MN过定点，再由直线MN的斜率不存在时，设直线方程为，得到过定点，再由，即可求解.【详解】（1）解：由题意，双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为，可得，解得，所以双曲线方程.（2）解：由（1）知，当直线MN斜率存在时，设直线MN方程为，联立方程组，整理得，，即，设，由韦达定理可得因为，所以，可得，即，即，整理得，即，即，可得，解得，将代入直线，此时直线过定点，不合题意；将代入直线，此时直线过定点，当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，因为，所以为等腰直角三角形，此时M点坐标为，所以（舍）或，此时过定点，综上可知，直线恒过定点，因为，此时存在以AP为斜边的直角三角形，所以存在定点Q为AP中点满足，此时．【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.6．（23-24高二上·山东淄博·期末）已知双曲线（，）的离心率为2，且经过点.(1)求双曲线的方程；(2)点，在双曲线上，且，，为垂足.证明：①直线过定点；②存在定点，使得为定值.【答案】(1)；(2)①证明见解析；②存在定点.【分析】（1）由给定的点和离心率求出即可得双曲线的方程.（2）设出点的坐标，在斜率存在时设方程为，联立直线与双曲线方程，结合已知求得的关系，进而得直线恒过定点，验证直线斜率不存在的情况，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置.【详解】（1）由双曲线的离心率为2，得，则，由双曲线过点，得，于是，所以双曲线的方程为.（2）①设点，当直线斜率存在时，设直线的方程为，由消去得，，显然，即，，由，得，而，则，整理得，即，整理得，显然直线不过点，即，因此，即，符合题意，直线：过定点，当直线斜率不存在时，点，，而，显然，解得，直线：过点，所以直线过定点.②由①知，直线过定点，而点，线段中点，又，当点与不重合时，点是以线段为斜边的直角三角形的直角顶点，则，当点与重合时，，所以存在定点，使得为定值.【点睛】方法点睛：（1）引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；（2）特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．7．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线交双曲线右支于两点，当直线与轴垂直时，．过作直线分别交双曲线两支于两点，且的最小值为．(1)求双曲线的方程；(2)设线段的中点分别为，记的面积为，的面积为（为双曲线的中心），若直线的斜率分别为且，求证：为定值，并求出这个定值．【答案】(1)(2)证明见解析，【分析】（1）根据和的最小值为可求出，则双曲线的方程可求；（2）设出直线和的方程，结合题目所给信息，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出中点的坐标，推出直线的方程，此时问题转化为点与点到直线的距离之比即可解决.【详解】（1）由已知当直线与轴垂直时，，即①，又的最小值为，即②，所以由①②得，所以双曲线的方程为；（2）由（1）得，因为，所以，设直线的方程为，设直线的方程为，联立，消去并整理得此时，不妨设，则，此时，，所以，同理得，设直线的斜率为，则所以直线的方程为，即所有直线恒过点，所以点与点到直线的距离之比为所以.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．8．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知点在双曲线上，双曲线的离心率为.(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线交双曲线于不同于点的两点，直线和直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是定值，且为【分析】（1）代入点以及离心率列方程求解即可；（2）该直线斜率必不为零，设出直线方程，与双曲线联立，利用韦达定理，代入直线和直线的斜率计算即可.【详解】（1）由已知得，解得，故双曲线的方程为；（2）由题意可得直线斜率必不为零，故设直线的方程为：，即，设Ax1,y联立，消去得，解得或，且所以，所以所以.所以直线和直线的斜率之和为定值，且为.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理，计算，并在计算推理的过程中消失变量，从而得到定值.9．（23-24高二上·广东广州·期末）已知双曲线：与圆的一个交点为.(1)求双曲线E的方程；(2)设点A为双曲线E的右顶点，点B，C为双曲线E上关于原点O对称的两点，且点B在第一象限，直线与直线交于点M，直线与双曲线E交于点D.设直线与的斜率分别为，，请问是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)为定值，且该定值为【分析】（1）将点代入方程后计算即可得；（2）设出点坐标，由点坐标可求得，的表达式，借助点坐标在双曲线上满足双曲线方程，则可化简，从而得解.【详解】（1）由题意可得，即有，则有，整理得，即，即（舍去）或，，故双曲线E的方程为；（2）设，，，则，则，令，则，即，则，代入，故，化简得，则有，即，故，即，则，，由在双曲线上，故有，即，则，即，即为定值，且该定值为.【点睛】关键点睛：本题关键在于借助在双曲线上，得到，从而化简，得到，从而得解.10．（23-24高二上·安徽黄山·期末）如图，已知曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点O为中心，为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线C称为“月蚀圆”．设.

(1)求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程；(2)过点作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H为BE的中点．问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为(2)是定值，为，理由见解析【分析】（1）设椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为，根据在曲线上、焦点坐标可得答案；（2）设直线的方程为，，直线的方程与椭圆方程、双曲线方程分别联立，利用韦达定理求出、，由转化为化简可得答案.【详解】（1）设椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为，因为，所以可得，，解得，，所以椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为；（2）是定值，为，理由如下，由（1）椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为，因为直线与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，所以直线的斜率不为0，设直线的方程为，，双曲线的渐近线方程为，所以，可得，，直线的方程与椭圆方程联立，整理得，所以，所以，直线的方程与双曲线方程联立，整理得，所以，所以，所以，所以是定值.【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是由转化为，再利用韦达定理.11．（23-24高二上·江苏泰州·期末）已知双曲线：过点，离心率为.(1)求的方程；(2)过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值.【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线可得，联立直线与椭圆方程得关于的一元二次方程，由韦达定理得；联立方程和渐近线方程求出，得到，由题易得，即，联立求出的关系式，再由定义表示出，将所有未知量全部代换成即可求证.【详解】（1）因为双曲线：过点，离心率为，所以有；（2）设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线得，即，联立，得，得，即，，因为在第一象限，双曲线渐近线方程为，联立，得，即，联立，得.即，所以，因为，所以，所以①，又②，①②得，，所以，所以，因为所以，为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.12．（23-24高二上·浙江·期末）已知离心率为的双曲线与x轴交于A，B两点，B在A的右侧．在E上任取一点，过点B作直线QB垂直PA交于点Q，直线PB、QA分别交y轴于不同的两点M，N．(1)求双曲线E的方程；(2)求证：直线与直线的斜率乘积为定值；(3)三角形MNB的外接圆是否过x轴上除B点之外的定点，若是，求出该定点坐标：若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)证明见解析；(3)过定点，坐标为【分析】（1）根据离心率和双曲线方程可得，可求出双曲线E的方程；（2）分别表示出，再由化简可得斜率乘积为定值2；（3）求出三角形MNB的外接圆圆心坐标为，写出圆的标准方程并令可解得符合题意，即可得外接圆过定点.【详解】（1）由离心率为可得，又易知，所以，可得双曲线E的方程为；（2）易知，如下图所示：易知的斜率均存在，且满足，可得，又易知，所以，因此直线与直线的斜率乘积为定值2；（3）由（2）可知直线的方程为，直线的方程为；因此可得，所以三角形MNB的外接圆圆心在线段的垂直平分线上，即；线段的中点坐标为，易知线段的垂直平分线为，联立两直线方程可得圆心坐标为，所以外接圆半径为，圆的标准方程为，令可得，解得（舍）或因此可得三角形MNB的外接圆过x轴上除B点之外的定点，该定点坐标为.【点睛】关键点点睛：求解三角形MNB的外接圆过定点时，关键是写出外接圆的标准方程，再令纵坐标即可求得定点坐标为.13．（23-24高二上·重庆·期末）已知双曲线的渐近线为，双曲线与双曲线C的渐近线相同，过双曲线的右顶点的直线与，在第一、四象限围成三角形面积的最小值为8．(1)求双曲线的方程；(2)点P是双曲线上任意一点，过点P作依次与双曲线C和交于A，B两点，再过点P作依次与双曲线C和交于E，F两点，证明：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设直线方程为，联立求出交点坐标，从而求出围成的三角形面积为，当直线方程斜率不存在时，求出围成的三角形面积为，从而得到，，得到双曲线方程；（2）设直线，直线，并得到，联立方程，求出的坐标，从而求出，，从而得到为定值.【详解】（1）由已知可设双曲线，其渐近线为，右顶点为，设过右顶点的直线斜率为k，则或，直线方程为，联立，解得，联立，解得，故直线与在第一、四象限的交点的纵坐标之差为，围成三角形面积为，∴当斜率不存在时，直线方程为，将代入中，得到交点坐标为，围成三角形的面积为，故围成的三角形面积的最小值为，∴，故双曲线的方程为；（2）设点Px0,y0，直线，则直线，则，所以，联立，由，故，所以，故点，联立得点，同理联立得点，联立得点，∵，而，的定值为．【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.14．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知双曲线的渐近线方程为，且点在上．(1)求的方程；(2)点在上，且为垂足．证明：存在点，使得为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设双曲线的方程为，利用待定系数法求出即可得解；（2）分直线的斜率是否为零两种情况讨论，根据，可得，双曲线方程可变形为，再由直线的方程可得，代入变形后的双曲线方程，再利用韦达定理即可得出间的关系，进而可求出直线所过的定点，即可得出结论.【详解】（1）设双曲线的方程为，因为点在上，所以，解得，所以的方程为；（2）设Ax当直线的斜率为时，则，因为点在上，所以，则，由，得，即，，解得或（舍去），故直线的方程为，当直线的斜率不等于时，设直线的方程为，当的斜率不存在时，则的斜率为，此时直线的方程，直线的方程为，联立，解得（舍去），联立，解得（舍去），所以，则，所以直线的方程为，令，则，故直线过点，同理可得当的斜率不存在时，则的斜率为，此时直线的方程为，直线过点，当直线的斜率都存在且都不等于零时，因为，所以，由，得，所以，由，得，则，所以，所以，整理得即，所以所以，所以直线得方程为，所以直线过定点，综上所述，直线过定点，因为，所以存在的中点，使得.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.双曲线中最值问题1．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值.【答案】(1)(2)12【分析】（1）利用待定系数法及双曲线的定义，结合双曲线中三者的关系即可求解；（2）设直线方程为，Ax1,y1，Bx2,y2【详解】（1）法一：设双曲线的标准方程为由题知：，故其左右焦点分别为，.由，解得.从而，双曲线的标准方程为.法二：设双曲线方程为，由题知：得到.又，得到.得到，解得（舍）或，双曲线的标准方程为.（2）由题意，设作出图形如图所示，

显然直线与轴不垂直，设，Ax1,y1联立故，.由于，均在双曲线右支上，故，即，解得.由双曲线的对称性知的中点为，故，代入韦达定理得令，则易知随的增大而减小，当时，.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线方程为，，为双曲线的左、有焦点，离心率为2，点为