第七讲GPS基线处理模型

2026/4/25GPS技术与应用17.1观测方程的线性化与平差模型在GPS定位解算中，基线向量可作为基本观测量。现假设在同一观测时段，只有两台接收机在一条基线上进行了同步观测工作。从这一条件出发，根据间接平差原理，讨论载波相位观测量不同线性组合的平差模型。这些模型易于推广到多台接收机观测情况。1.观测方程线性化及平差模型在协议地球坐标系中，若观测站Ti待定坐标的近似向量为Xi0=[Xi0Yi0Zi0]T,其改正数向量为

Xi=[

Xi

Yi

Zi]T，则观测站Ti至所测卫星sj的距离按泰勒级数展开并取其一次微小项2026/4/25GPS技术与应用2可得上式中Xj(t),Yj(t),Zj(t)为卫星sj于历元t的瞬时坐标2026/4/25GPS技术与应用3任取两观测站T1和T2，并以T1为参考站，对载波相位单差模型有：可得单差观测方程线性化形式取符号（1）单差模型2026/4/25GPS技术与应用4相应的误差方程为若两观测站同步观测卫星数为ns,则误差方程组为：或2026/4/25GPS技术与应用5若进一步假设同步观测同一组卫星的历元数为nt，则相应的误差方程组为相应的法方程式及其解其中P为单差观测量的权矩阵。2026/4/25GPS技术与应用6两观测站，同步观测卫星sj和sk，并以sj为参考卫星，则双差观测方程线性化的形式为（2）双差模型2026/4/25GPS技术与应用7上式中若取符号则得误差方程式：若同步观测卫星数为nj,则有误差方程组2026/4/25GPS技术与应用8若在基线两端同步观测同一组卫星的历元数为nt，则相应的误差方程组为2026/4/25GPS技术与应用9相应的法方程式及其解可表示为其中P为双差观测的权矩阵。2026/4/25GPS技术与应用10假设于基线两端，同步观测GPS卫星的历元为t1、t2，则三差方程线性化形式为上式中（3）三差模型2026/4/25GPS技术与应用11其中若取则得误差方程2026/4/25GPS技术与应用12当同步观测卫星数为nj，并以某一卫星为参考卫星时，可得误差方程组为2026/4/25GPS技术与应用13如果两观测站对同一组卫星同步观测历元数为nt，并以某一历元为参考历元，则误差方程组为：相应法方程组及其解为：其中P为相应三差观测量的权矩阵。2026/4/25GPS技术与应用14一般，两个观测量之间的相关性分为物理相关和数学相关。例如：两个观测站同步观测同一卫星，所得观测量在物理上是相关的，而在数学上是不相关的，因此认为两观测量是相互独立的。这里所说的观测量之间的相关性一般均指其间的数学相关性，同时假设独立观测量的误差属于正态分布，数学期望为零，方差为

2。2.观测量线性组合的相关性2026/4/25GPS技术与应用15由两观测站于历元t同步观测卫星sj的观测量之差为若同一历元同步观测另一卫星，则有上两式可表示为以矩阵形式表示（1）单差观测量的相关性2026/4/25GPS技术与应用16如果

(t)的方差阵为D

(t)，根据方差与协方差传播定律，可得观测量单差的方差阵考虑E(t)为单位矩阵。则表明两观测站同步观测两不同卫星所组成的单差，其间仍不相关。该结论可推广到一般情况。2026/4/25GPS技术与应用17如果在基线两端同步观测nj颗卫星，观测历元数为nt，则由此组成单差的方差和协方差阵形式为：其中，相应的权矩阵为2026/4/25GPS技术与应用18假设在观测站1、2于历元t同步观测卫星i、j、k，并取i为参考卫星，则有用矩阵表示为（2）双差观测量的相关性2026/4/25GPS技术与应用192026/4/25GPS技术与应用202026/4/25GPS技术与应用21如果同步观测的历元数为nt，则相应双差的权矩阵为一般，不同历元同步观测的卫星数可能不同，因而上式中相应每一观测历元的双差权阵维数，只与相应历元观测的卫星数有关。关于三差观测量相关性的推导与双差类似。2026/4/25GPS技术与应用22在观测站1和卫星j之间，载波相位的变化为当整周未知数确定后，测相伪距与测码伪距的观测方程在形式上将一致，此时只要同步观测的卫星数不少于4，即使观测一个历元，也可获得唯一定位结果。因此，在载波相位观测中，如果能预先消去或者快速地解算整周未知数，将大大缩短必要的观测时间。7.5整周未知数的确定方法2026/4/25GPS技术与应用23如果整周未知数作为待定量，与其它未知参数一起在数据处理中一并求解，则根据情况，将需要长达1-3小时的观测时间。因为在同步观测4颗卫星的情况下，为解算整周未知数，理论上至少观测3个历元。如果同步观测时间很短，所测卫星的几何分布变化很小，使站星距离变化也很小，将降低不同历元观测结果的作用，在平差计算中，法方程的性质将变坏，影响解的可靠性。准确快速地解算整周未知数，无论对保障相对定位精度，还是开拓高精度动态定位应用领域，都有重要意义。2026/4/25GPS技术与应用24Theoneatleftshowstheresultswithoutresolvingtheambiguities,theso-called'floatsolution'.Thespreadinpositionamountsuptotenmeters,Intheplotatright,theintegerambiguitieshavebeensuccessfullyresolved('fixedsolution').Theprecisionofthepositionisnowatthemillimeterlevel.

2026/4/25GPS技术与应用252026/4/25GPS技术与应用26按解算时间长短划分：经典静态相对定位法和快速解算法。经典静态相对定位法：将其作为待定量，在平差计算中求解，为提高解的可靠性，所需观测时间较长。快速解算法包括：交换天线法、P码双频技术、滤波法、搜索法和模糊函数法等，所需观测时间较短，一般为数分钟。按接收机状态区分；静态法和动态法。前述的快速算法，虽然观测时间很短，仍属静态法，动态法是在接收机载体的运动过程中确定整周未知数的方法。整周未知数解算方法分类：2026/4/25GPS技术与应用27该方法在长距离静态相对定位中是一种常用方法，其数学模型有单差和双差模型。也可采用三差模型，首先消除整周未知数，在观测站坐标确定后，再根据单差和双差模型，求解相应的整周未知数。在平差计算中，整周未知数的取值分两种情况：整数解（固定解）：将平差计算所得的整周未知数取为相近的整数，并作为已知数代入原方程，重新解算其它待定参数。当观测误差和外界误差（或残差）对观测值影响较小时，该方法较有效，一般应用于基线较短的相对定位中。非整数解（实数解或浮动解）：如果外界误差影响较大，求解的整周未知数精度较低(误差影响大于半个波长)，将其凑成正数，无助于提高解的精度。此时，不考虑整周未知数的整数性质，平差计算所得的整周未知数，不再进行凑整和重新计算。一般用于基线较长相对定位中。1.确定整周未知数的经典静态相对定位法2026/4/25GPS技术与应用28基本原理在观测之前，先在基准站附近5-10m处选择一个天线交换点，将两台接收机天线分别安置在该基线两端，同步观测2-8个历元后，相互交换天线，并继续观测若干历元；最后将两天线恢复到原来位置。此时固定站与天线交换点之间的基线向量视为起始基线向量，利用天线交换前后的同步观测量，求解基线向量，进而确定整周未知数。2.交换接收天线法2026/4/25GPS技术与应用29假设在固定站1和天线交换点2的接收机，于历元t1同步观测了卫星j、k，在忽略大气折射影响的情况下，可得单差观测方程：相应的双差观测方程为上式中2026/4/25GPS技术与应用30当两接收机交换天线后，于历元t2同步观测相同卫星j、k，则单差观测方程为：相应的双差观测方程为21Sj(t1)Sk(t1)1Sj(t2)Sk(t2)2T1T2T1T22026/4/25GPS技术与应用31取相应历元t1、t2的双差之和，则有其中上述模型与静态三差模型相类似，区别在于上式是根据不同历元同步观测量的双差之和而建立的。由于所选起始基线很短，此时卫星轨道误差和大气折射误差对该模型的影响可忽略不计。上式的求解条件与双差相同。根据上式确定起始基线向量后，可根据双差模型确定整周未知数。该方法观测时间短（数分钟），精度较高，操作方便，在准动态相对定位中得到应用。2026/4/25GPS技术与应用32所谓P码双频技术也称扩波技术是指通过P码与载波相位观测量的综合处理，来确定整周未知数的方法。（1）双频载波相位观测量的线性组合假设相应载波L1、L2的相位观测量分别为

L1(t)和L2(t)，经过电离层折射改正后，可得载波信号的传播时间：2.确定整周未知数的P码双频技术2026/4/25GPS技术与应用33若取上述载波相位观测量的线性组合其中m、n为任意整数值，则有其中相应组合波的频率和波长分别为若以符号NL1、NL2分别表示载波L1、L2相位的整周未知数，则组合波的相位整周未知数为2026/4/25GPS技术与应用34当载波L1、L2相位观测量误差为

时，则组合量的误差为由于电离层影响与频率有关，由此引起的电磁波信号延迟或时间延迟不同。假设电离层对载波L1、L2相位观测量的影响分别为

IL1、IL2,则对组合波的影响可表示为电离层对载波影响的一般形式（已知）为2026/4/25GPS技术与应用35于是，电离层引起的组合波相位延迟和时间延迟分别为可见，系数m、n的不同取值，可得到具有不同波长的组合波。但对实际，只有以下两种取值情况具有重要意义。2026/4/25GPS技术与应用36•n=1,m=-1：相应的组合波称为宽波，若以下标w表示，其特征量为电离层引起的相位延迟和时间延迟分别为2026/4/25GPS技术与应用37•n=1,m=1：相应的组合波为窄波，其相应的特征量，若以下标n表示，有电离层折射引起的相位延迟和时间延迟为2026/4/25GPS技术与应用38电磁波频率波长时间延迟主项L1154f00.190m-CI/f1L2120f00.244m-CI/f2LW34f00.862m+CI/(f1f2)LN274f00.107m-CI/(f1f2)对GPS而言，组合波的特征量如下表

F0为基准频率10.23

106Hz,CI=1.343610-7N

，N

为电磁波传播路径上的电子总量2026/4/25GPS技术与应用39由于电离层的弥散性质，对码信号与载波信号的传播影响不同，直接利用码信号的原始观测量与载波信号观测量相比较，不利于准确解算整周未知数。为此与载波相位观测量相类似，需讨论P码相位观测量的线性组合。假设相应载波L1、L2的P码相位观测量分别为

PL1(t)和PL2(t)，fP为P码信号频率。同时定义虚拟P码相位观测量如下（2）P码相位观测量的线性组合2026/4/25GPS技术与应用40类似可取线性组合的一般形式为电离层对该虚拟码相位组合量的影响（相位延迟和时间延迟）为：若定义2026/4/25GPS技术与应用41相应电离层折射影响分别为：码信号观测量的不同组合，电离层引起的时间延迟数值相等符号相反。2026/4/25GPS技术与应用42利用载波相位和P码相位观测量的线性组合量，解算整周未知数的综合方法。载波L1、L2的观测方程为可得（3）整周未知数的确定2026/4/25GPS技术与应用43或表示为根据测码伪距观测方程，相应L1和L2可得由于可得2026/4/25GPS技术与应用44由此得虚拟码相位观测量的线性组合形式或将上式与虚拟载波相位观测量的线性组合比较可得2026/4/25GPS技术与应用45于是对GPS卫星，则有当宽波的整周未知数确定后，即可利用相关观测量方程，求解其它待定参数。在具有P码双频接收机的条件下，只要观测一个历元便可解算宽波的整周未知数。增加观测历元，只是增加多余观测量。该方法对缩短相对定位的观测时间，加快作业速度和开拓在动态相对定位中的作用有重要意义。2026/4/25GPS技术与应用46由于P码的保密性，使得P码双频技术的应用受到了限制。同时由于多路径效应的大小与波长成正比，实际分析表明：多路径效应对测相伪距的影响约为数厘米，而对P码伪距的影响达数米。对于静态GPS用户，慎重确定观测站位置、选择适宜天线、并适当延长观测时间，可减弱多路径效应的影响。2026/4/25GPS技术与应用471990年E.Frei和G.Beutler提出了一种快速解算整周未知数的方法（fastambiguityresolutionapproach——FARA）。基本思想：以数理统计理论的参数估计和假设检验为基础，利用初始平差的解向量（点的坐标和整周未知数的实数解）及其精度信息（方差与协方差和单位权中误差），确定在某一置信区间整周未知数可能的整数解的组合，然后将整周未知数的每一组合作为已知值，重复进行平差计算，其中使估值的验后方差（或方差和）为最小的一组整周未知数就是所搜索的整周未知数的最佳估值。3.确定整周未知数的搜索法2026/4/25GPS技术与应用48现以载波相位观测值双差模型为例：假设在基线两端对同一组卫星（卫星数为nj）进行同步观测，观测历元数为nt，相应的误差方程组已知为其中经过初始平差后，相应整周未知数解向量的协因数阵为QNN,单位权验后方差估算式：其中n为观测方程数，u为未知量个数，n-u为自由度。2026/4/25GPS技术与应用49则任一整周未知数经初始平差后实数解的中误差为在一定置信水平条件下，相应任一整周未知数的置信区间为

i=1,2,…,nj-1其中t(/2)为显著水平

和自由度的函数。当和自由度确定后，t(/2)值可由t值分布表中查得。例如：当取

=0.001，n-u=40时，得t(/2)=3.55。如果初始平差后得Ni=9.05,mNi=0.78,则Ni的置信区间为6.28

Ni11.8。其置信水平为99.9%，在上述区间整数Ni的可能取值为6、7、8、9、10、11、12。2026/4/25GPS技术与应用50设Ci为Ni的可能取值数，由向量N=(N1,N2,…,Nnj-1),可得整数组合的总数如果观测的卫星数为nj=6,而每个整周未知数在其置信区间内均有7个可能的整数取值，按上式可能的组合数为75=16807，对双频接收机则为33614。将上述整周未知数的各种可能组合，依次作为固定值，代入相应的误差方程组中，进行平差计算，最终取坐标值的验后方差为最小的一组平差结果，作为整周未知数的最后取值。2026/4/25GPS技术与应用51在双差平差模型中，整周未知数的可能取值数量，在置信水平确定的情况下主要取决于初始平差后所得的整周未知数方差的大小以及所观测的卫星数量。当同步观测时间较短，经初始平差后，所得整周未知数的方差较大，计算工作量将会很大。为了减少整周未知数可能的整数取值，即在置信水平确定的条件下，缩小其置信区间，以提高搜索整周未知数最佳估值的速度，一般有如下两种方法：2026/4/25GPS技术与应用52利用初始平差所获得的整周未知数的实数解及其方差，对所取的整周未知数的整数解进行检验，剔除那些不能通过检验的整周未知数的组合，缩小搜索整周未知数最佳估值的范围。仍以载波相位观测的双差模型为例。假设经初始平差后所得的整周未知数的实数解向量为在置信水平（1-

）条件下，每一个Ni的整数取值为2026/4/25GPS技术与应用53取符号则在置信水平为（1-

）的情况下，整周未知数整数解之差应满足凡不能满足上述条件的整周未知数的组合，均剔除，有效地缩小搜索范围。2026/4/25GPS技术与应用54利用对双频观测数据的检验，缩小搜索整周未知数最佳估值范围。假设NL1、NL2为相应载波L1、L2的整周未知数的实数解向量，NIL1、NIL2为相应载波L1、L2的整周未知数的整数向量，并取在置信水平（1-

）的情况下，应满足2026/4/25GPS技术与应用55上式中mL为

NR的后验均方差。经过上述检验，剔除不满足条件的整周未知数界的各种可能组合，使搜索范围进一步缩小。该方法在Leika公司开发的SKI软件系统中得到有效应用。实践表明，在基线小于15km，根据数分钟的双频观测结果，即可精确确定整周未知数的最佳估值，相对定位精度达到厘米级或更好水平。目前在快速静态定位中得到广泛应用。2026/4/25GPS技术与应用56前述的各种快速确定整周未知数方法，共同特点是需要通过对GPS卫星的静态观测来实现，只是静态观测时间较短，仍属于静态法。在高精度动态相对定位中，为确定运动载体的实时位置，要求接收机在预先确定初始整周未知数或初始化后，必须至少保持对4颗卫星连续跟踪。而在载体运动过程中，一旦所测卫星失锁，则必须停下，采用某种适宜方法，重新确定整周未知数或重新初始化，严重限制了载波相位法在高精度动态定位中的应用。4.确定整周未知数的动态法2026/4/25GPS技术与应用571993年Leica公司开发了一种动态确定整周未知数法（AmbiguityResolutionOntheFly—AROF）或动态初始化法。基本思想：根据运动过程中GPS接收机对卫星载波信号的短时间观测值，与参考站的同步观测值一起，利用快速解算整周未知数技术（如搜索法），确定初始整周未知数。在上述初始化所进行的短时间观测过程中，载体的瞬时位置则是根据随后确定的整周未知数，利用所谓逆向求解方法来确定。该方法的特点是当载体在运动过程中所观测的卫星一旦失锁，为重新确定整周未知数，运动载体不再需要停下来重新进行初始化，而是在载体运动过程中实现。2026/4/25GPS技术与应用58参考站0秒200秒出发整周未知数被确定瞬间正向推算逆向求解2026/4/25GPS技术与应用59假设在高精度动态相对定位中，流动站与参考站同步观测的卫星数为nj，观测的历元数为nt，则双差的误差方程组为2026/4/25GPS技术与应用60对某一流动站来说，待求的未知数总数为3nt+(nj-1)，双差观测方程总数为(nj-1)nt，为得到确定解，需满足可见，为动态确定整周未知数，所必须观测的历元数与卫星数有关，同步跟踪的卫星数至少为5，而观测历元数不少于4。实际中为增加解的可靠性和准确性，观测的历元数明显大于上述理论值。1994年Leica公司推出的软件系统要求的观测时段长度约为200秒。2026/4/25GPS技术与应用61LAMBDA方法英文全称：Least-squaresAMBiguityDecorrelationAdjustmentmethod

双差模糊度之前存在较强的相关性

LAMBDA方法目的：消除或降低双差模糊度之间的相关性结果：模糊度搜索超椭球的拉长，搜索更快、更有效2026/4/25GPS技术与应用62LAMBDA：流程

浮点解整数最小二乘估计整周模糊度降相关实际整周模糊度估计（序贯条件平差、模糊度搜索、确认）2026/4/25GPS技术与应用63LAMBDA：解算方法

整数最小二乘估计目标函数：无标准解（不是普通最小二乘问题）最简单的情况：如果方差矩阵是对角阵，直接凑整，也就是所有模糊度是完全不相关的2026/4/25GPS技术与应用64LAMBDA：解算方法整数最小二乘估计（续）也就是说，如果进行了降相关处理，问题就变为相互独立模糊度的搜索问题：现在，直接凑整！2026/4/25GPS技术与应用65

目标：替代所有拥有较小子集的整数Zm

的空间，基于前面的目标函数，确定一个超椭球凑整域结果：模糊度搜索空间的中心位于浮点解上；它的形状依方差矩阵而定，大小取决于选择的正常数整