建筑力学3-平面力系

第三章平面力系的合成与平衡1，平面力系——力都作用于同一平面内的力系。所谓平面力系是指各力的作用线都在同一平面内的力系。其实是人为的把力归在同一平面内，或是设计时就有意识的把力放在同一平面内。2，平面力系的简化——将一些力简化为同一力系的力。如：钢筋混凝土梁板结构的简化。图3.13，平面力系的种类：1）平面汇交力系：在平面力系中，若各力的作用线交于一点，则称为平面汇交力系(图3.1)；2）平面平行力系：若各力的作用线相互平行，则称为平面平行力系(图3.2)；图3.23）平面一般力系：若各力的作用线既不完全交于一点也不完全相互平行，则称为平面一般力系(图3.3)。图3.33.1平面汇交力系3.1.1力在坐标轴上的投影设力F作用于物体的A点，如图3.4所示。图3.4若已知力F的大小及其与x轴所夹的锐角α，则力F在坐标轴上的投影Fx和Fy可按下式计算

Fx=±Fcosα

Fy=±Fsinα力在坐标轴上的投影有两种特殊情况：

(1)

当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等于零。

(2)

当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于力的大小。如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则力F的大小和方向可由下式确定：力F的指向可由投影Fx和Fy的正负号来确定(见表3.1)。如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分力是沿该轴的正向还是负向。表3.1力的方向与其投影的正负号

图3.6(a)所示为一平面汇交力系F1、F2、F3，各力的作用线汇交于A点。为将该力系合成，可首先以A点为坐标原点取直角坐标系Axy，然后将各力分别沿x轴和y轴方向分解(图3.6(b))，得各分力的大小为

F11=F1cosα1,F21=F2cosα2,F31=F3cosα3

F12=F1sinα1,F22=F2sinα2,F32=F3sinα3再将沿同一坐标轴的各个分力合成，分别得合力R1、R2(图3.6(c))，其大小分别为

R1=F11+F21-F31

R2=F22+F32-F12

3.1.2平面汇交力系的合成图3.6合力R在两个坐标轴上的投影分别为

Rx=R1=F1x+F2x+F3x

Ry=R2=F1y+F2y+F3y如果平面汇交力系包含有n个力，则上面两式中右边将各有n项，即

Rx=F1x+F2x+…+Fnx

Ry=F1y+F2y+…+Fny上式可简写为

Rx=∑Fx

Ry=∑Fy由以上分析可知：平面汇交力系合成的结果是一个合力R，合力R的作用线通过原力系的汇交点，合力R的大小和方向可由下式确定：上式表明了合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。我们称之为合力投影定理。平面汇交力系合成的结果是一个合力，若合力等于零，则物体处于平衡状态。反之，若物体在平面汇交力系作用下处于平衡，则该力系的合力一定为零。因此，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系的合力等于零。可知：欲使R=0,必须且只需

∑Fx=0∑Fy=0

3.1.3平面汇交力系的平衡于是得平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件为：力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和都等于零。上式称为平面汇交力系的平衡方程。【例3.1】一平面刚架在B点受一水平力P=20kN的作用，尺寸及约束情况如图3.8（a）所示。刚架的自重不计，试求A与D两处的约束反力。【解】取刚架为研究对象刚架的受力图如图3.8（b）所示。选直角坐标系如图所示，列平衡方程求解RA和RD。由∑Fx=0,P+RAcosα=0得RA=-P/cosα因为cosα=AD/AC=2/√5所以RA=-20×√5/2kN=-22.36kN再由∑Fy=0,

RAsinα+RD=0得RD=-RAsinα而sinα=CD/AC=1/√5所以R

D=-(-22.36)×1/√5kN=10kN

RD为正值，表示该力的实际指向与受力图中所假设的指向相同。图3.8通过以上各例的分析，现归纳求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤如下：（1）选取研究对象弄清题意，明确已知力和未知力，选取能反映出所要求的未知力和已知力关系的物体作为研究对象。（2）画受力图在研究对象上画出它所受到的全部主动力和约束反力。（3）选取适当的坐标系。最好使某一坐标轴与一个未知力垂直，以便简化计算。（4）列平衡方程求解未知量。列方程时注意各力投影的正负号。当求出未知力是正值时，表示该力的实际指向与受力图上所假设的指向相同；如果是负值，则表示该力的实际指向与受力图上所假设的指向相反。

设在刚体上的A点作用着一个力F（图3.9（a）)，现欲将其平移到刚体的任一点O。为此，在O点加上一对平衡力F′和F″，并使其作用线与力F平行、大小与力F的大小相等，即令F′=-F″=F，如图3.9（b)所示。若要把作用在A点的力F平移到O点而保持对刚体的作用效应不变，就必须附加一个力偶（F，F″)，由图3.9(b)可见，力偶（F,F″）的力偶矩等于原力F对O点之矩，即

m=Fd=mO(F)3.2.5力的平移定理图3.9

由以上分析可得如下结论：作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对新作用点O之矩。这就是力的平移定理。为什么不允许用一只手扳动扳手呢（图3.10（a))?因为作用在扳手AB上一端的力F与作用在O点的一个力F′和一个力偶矩为m的力偶（图3.10(b)）等效。这个力偶使丝锥转动，而这个力F′却将引起丝锥弯曲，这就很容易将螺纹攻坏；如果用力过大，丝锥就可能折断。因此，这样操作是不允许的。图3.102.3平面一般力系（1）主矢和主矩设在刚体上作用一平面一般力系F1、F2、…、Fn（图3.11(a))。在力系所在的平面内任取一点O，该点称为简化中心。根据力的平移定理，将力系中的各力都平移到O点，于是就得到一个汇交于O点的平面汇交力系F1′、F2′、…、Fn′和一个力偶矩分别为m1、m2、…、mn的附加力偶系（图3.11(b)）。3.3.1平面一般力系向任一点简化

对平面汇交力系F1′、F2′、…、Fn′可以合成为作用在O点的一个力R′（图3.11(c))，这个力R′称为原平面一般力系的主矢。对所得的附加力偶系可以合成为一个力偶（图3.11（c)），这个力偶的力偶矩MO称为原平面一般力系对简化中心O点的主矩。由平面力偶系合成的理论可知，主矩MO为

MO=m1+m2+…+mn而m1=mO(F1),m2=mO(F2),…,mn=mO(Fn)

所以

MO=mO(F1)+mO(F2)+…+mO(Fn)=∑mO(F)即主矩等于原力系中各力对简化中心O点之矩的代数和。

综上所述，可得如下结论：平面一般力系向作用面内任一点O简化后，可得到一个力和一个力偶。这个力称为原力系的主矢；这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心O点的主矩。图3.11

平面一般力系向作用面内任一点O简化后，一般可以得到一个力和一个力偶，但实际上根据主矢和主矩是否存在，可能出现下列四种情况：

(1)R′=0,

MO≠0;

(2)R′≠0,

MO=0;

(3)R′≠0,

MO≠0;

(4)R′=0，MO=0。3.3.2平面一般力系的合成（1）平面一般力系合成为一个力偶的情形当R′=0和MO≠0时，说明原力系不论向哪一点简化，它都与一个力偶等效，即原力系合成为一个合力偶，合力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。显然，当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的位置就无关了，因为力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。（2）平面任意力系合成为一个力的情形当R′≠0和MO=0时，说明原力系与作用在简化中心的一个力等效，即原力系合成为一个合力，这个合力就是原力系的主矢。当R′≠0和MO≠0时，可根据力的平移定理的逆过程，将这个力R′和力偶矩为MO的力偶进一步合成为一个力R，合成的过程如图3.12所示。

平面力系的合力矩定理：平面力系的合力对作用面内任一点之矩，等于力系中各力对同一点之矩的代数和。

图3.12(1)平衡方程的基本形式

∑Fx=0∑Fy=0∑mO(F)=0由此可见，平面一般力系平衡的必要和充分条件也可叙述为：力系中各力在两个坐标轴上的投影的代数和分别等于零，同时各力对任一点之矩的代数和也等于零。3.3.3平面一般力系的平衡方程【例2.15】梁AB上作用一集中力和一均布荷载（均匀连续分布的力），如图3.13（a)所示。已知P=6kN，荷载集度（受均布荷载作用的范围内，每单位长度上所受的力的大小）q=2kN/m，梁的自重不计，试求支座A、B的反力。【解】取梁AB为研究对象，画其受力图如图3.13(b)所示。取坐标系如图3.13(b)，由∑Fx=0,RAx-Pcos60°=0得RAx=Pcos60°=3kN由∑mA(F)=0,RB×4-Psin60°×3-q×2×1=0得RB=4.9kN由∑Fy=0,RAy-q×2-Psin60°+RB=0得RAy=4.3kN图3.13通过以上各例的分析，现将应用平面一般力系平衡方程解题的步骤总结如下：

（1）确定研究对象。根据题意分析已知量和未知量，选取适当的研究对象。

（2）画受力图。在研究对象上画出它所受到的所有主动力和约束反力。

（3）列方程求解。以解题简捷为标准，选取适当的平衡方程形式、投影轴和矩心，列出平衡方程求解未知量。

（4）校核。总结：一，概念：1，平面一般力系2，平面力系的合成：

——主矢量Ro与主力偶矩Mo3，关于主矢量Ro与主力偶矩Mo特例的讨论：1）Ro≠0,Mo=0；原力系向o点简化后得一个力Ro，Ro即为原力系的合力；2)Ro=0,Mo≠0；原力系向o点简化后得一个力偶Mo，Mo即为原力系的合力偶矩Mo；3)Ro=0,Mo=0；原力系为一平衡力系。

二，力系的平衡1，一般力系的平衡：

Ro=0,Mo=0；2，一般力系的平衡方程：

ΣX=0ΣY=0ΣM=0平面一般力系平衡的充分必要条件：力系中的各力在直角坐标系的xOy两坐标轴上的投影的代数和为零，且力系中的各力对坐标平面内的任意点（A点）的力矩的代数和为零。３，平面力系平衡方程的另两个表示方法：１）两矩式

ΣX=0ΣMA=0ΣMB=o2)三矩式

ΣMA=0ΣMB=0ΣMC=03.4平面平行力系的平衡方程在工程实际中，有些结构所受的力系，常可以简化为平面平行力系。