贵州省县中联盟2025-2026学年高二上学期12月自主命题考试数学

贵州省县中联盟高二上学期12月自主命题考试数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．3．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（

）A．外离 B．相交 C．外切 D．内含4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5．将一个半径为3的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上､下底面边长分别为2和4，则它的高为（

）A． B． C． D．6．已知直线的倾斜角为，点，圆，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．7．近年来，虽然电动汽车已经进入了千家万户，但是燃油车还是牢牢占有一席之地.燃油车的启动主要靠本身的蓄电池供电.已知某品牌汽车蓄电池的与电池相关的常数与放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（

）A． B． C． D．8．已知函数的定义域为为奇函数，且函数的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知复数满足，则下列选项正确的是（

）A．B．复数的虚部为C．在复平面内对应的点在第二象限D．10．已知直线，则下列选项正确的是（

）A．过点且垂直于直线的直线方程为B．直线过定点C．当时，D．当时，两直线之间的距离为11．如图，在棱长为4的正方体中，是棱上的动点，且，为的中点，则下列选项正确的是（

）

A．三棱锥的体积为定值B．当时，点到平面的距离为C．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为D．若过点的平面截正方体所得的截面为平行四边形，则的取值范围为三、填空题12．已知直线经过点，则直线的一般式方程为.13．在空间直角坐标系中，向量在平面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为.14．已知函数，则的最大值为.四、解答题15．甲､乙两位同学参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，茎叶图记录如下：已知这两组数据的中位数相等，且平均值也相等.(1)求茎叶图中的和的值；(2)分别计算甲､乙两位同学成绩的平均数和方差，并根据计算结果判断选派谁参加数学竞赛更合适，请说明理由.16．在中，内角的对边分别为，已知为锐角，为边的中点，且.(1)求；(2)若，求的面积.17．已知直线过点，圆.(1)若直线与圆相切，求的方程；(2)若直线的斜率为3，设与圆的交点为，，求以线段为直径的圆的标准方程.18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面底面，且为等边三角形.(1)证明：.(2)求平面与平面所成角的余弦值.19．已知函数是定义在上的奇函数，且指数函数的图像过点.(1)求的解析式；(2)若函数在内有2个不同的零点，求实数的取值范围；(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.

1．D先求出集合,再根据交集的定义求解即可.【详解】因，，故.故选：D.2．D根据给定条件，利用正切函数的定义及二倍角的正切公式计算得解.【详解】由角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，得，所以.故选：D3．B分别求出两个圆的圆心和半径，再判断两个圆的位置关系.【详解】圆的圆心为半径为，圆的圆心为半径为，则，，因为，所以圆与圆相交.故选：B.4．C根据线面平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解.【详解】对于A，若，可得或与相交，所以A不正确；对于B，由，可得或，所以B不正确；对于C，由，可得，因为，所以，所以C正确；对于D，在如图所示的正方体中，设平面为平面，平面为平面，则，再设为直线，为直线，则平面，此时，所以D不正确.故选：C5．B利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可．【详解】球的体积为，设铁锭的高为，则正四棱台的体积为，由，可得，解得．故选：B6．C先求出直线的方程，并将圆化为标准方程，求出点关于直线对称的点，即可根据圆心和半径写出方程.【详解】由题意知，直线的方程为，即，圆可化为，故圆心，半径为，设点关于直线对称的点为，则，，解得，因为圆与圆关于直线对称，所以，又圆的半径为，故圆的标准方程为.故选：C7．A先根据已知条件表示出，代入公式，结合指数和对数运算公式可求答案.【详解】由题意可得，因为当放电电流时，放电时间，所以;当放电电流时，放电时间为.故选：A8．D本题可先根据为奇函数得出的对称中心，再根据的图象关于直线对称得出的对称轴，进而推出的周期，最后根据函数性质求出、、、的值。【详解】因为为奇函数，所以，令，则，即.令,得，且关于点中心对称，因为的图象关于直线对称，令，所以，又，即,令，则，说明关于直线轴对称，由轴对称，中心对称，得，令，则，进而，即，即的周期为12，由和周期，得，所以，,，，所以、、的值不一定为0，，故.故选：D.9．AD对A，由复数除法求得，根据共轭复数的概念判断；对B，根据复数的虚部的概念判断；对C，计算，根据复数的几何意义判断；对D，根据计算判断.【详解】对于A：由得，所以，A正确；对于B：复数的虚部是，B错误；对于C：，对应的点为，在第四象限，C错误；对于D：，D正确；故选：AD.10．ABD设所求直线方程为，将点代入，求得，可判定A正确；化简直线为，求得直线过定点，可判定B正确；结合两直线垂直的判定方法，可判定C不正确；由求得，得出的方程，结合两平行线间的距离公式，可判定D正确.【详解】对于A，设过点且垂直于直线的直线方程为，将点代入，可得，解得，所以所求直线为，所以A正确；对于B，直线，可化为，联立方程组，解得，所以直线恒过定点，所以B正确；对于C，当时，可得直线，此时，所以与不垂直，所以C不正确；对于D，当时，则满足，解得，此时，则两平行线间的距离为，所以D正确.故选：ABD.11．ACD证明平面，结合三棱锥的体积求法判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断BD；利用球面的性质求出交线长度判断C.【详解】对于A，在正方体中，平面，平面，则平面，点到平面的距离为定值，而的面积是定值，因此三棱锥的体积为定值，A正确；以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：对于B，，，有，则是平面的法向量，而，，因此点到平面的距离，B错误；对于C，令为球面与侧面交线上的点，由侧面，得，而，，则，球面与侧面的交线是以点为圆心，2为半径的圆的，长度为，C正确；对于D，，当过点的平面截正方体所得的截面为平行四边形时，平面与棱必相交，设交点，，而，即，解得，又，则，而，因此，D正确.故选：ACD12．利用直线方程的两点式，写出方程，化简可得答案.【详解】由题意可得直线，化简可得.故答案为：.13．先由投影向量的概念求出的坐标，再利用向量夹角的余弦公式求解即可.【详解】向量在平面上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为，则，因，则.故答案为：.14．/先根据二次根式有意义的条件确定函数的定义域，然后通过换元法将函数转化为含根式的函数，再利用三角换元进一步转化为三角函数，最后结合三角函数的性质求出函数的最大值.【详解】由已知条件得：，所以，即，解得定义域为：，令，则，，代入得：，即求在上的最大值，令，其中，则代入得：，利用三角恒等变换：，因此：，因为：的最大值为1，当，即（此时）时取得，因此，综上，的最大值为.故答案为：.15．(1)(2)；选派甲参加数学竞赛更合适，理由见解析（1）利用一组数据得中位数和平均数的计算方法列方程求解即得；（2）利用平均数和方差的计算公式列式计算，在均值相等时，根据方差较小的一组作为选派对象即可.【详解】（1）由茎叶图可知，甲组数据从小到大排列为：，则中位数为，平均值为：；而乙组数据从小到大排列为：，则中位数为，平均值为：，依题意，有，解得；（2）由（1）得，则甲组数据的方差为：；而乙组数据的方差为：，因，两同学成绩平均水平相当，但甲同学的成绩更稳定，故根据计算结果判断选派甲参加数学竞赛更合适.16．(1)(2)（1）根据、诱导公式以及倍角公式化简即可求出，再结合角的范围即可求出；（2）将平方即可求出，再利用三角形的面积公式即可.【详解】（1）因为，所以，即，则，即，得或，因为为锐角，所以，则；（2）因为为边的中点，所以，则，因为，所以，即，得（负值舍去），则的面积为.17．(1)或；(2).（1）分斜率存在与不存在讨论求解；（2）分别求得线段的长度和中点坐标，得到圆的标准方程.【详解】（1）圆，圆心，半径，若直线的斜率不存在，则，圆心到直线的距离，所以，即此时直线与圆相切；若直线的斜率存在，设，即，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，所以，即，综上，直线的方程为或；（2）若直线的斜率为，则，即，圆心到直线的距离，所以，所以以为直径的圆的半径为.因为直线的斜率为，所以圆心与线段中点连线的斜率为，其方程为，即，由得，即AB中点的坐标为，所以以为直径的圆的标准方程为.18．(1)证明见解析(2)（1）过作于，连接，通过求证平面，进而即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，由面面夹角公式求解即可.【详解】（1）过作于，因为为等边三角形，故为的中点，∵侧面底面，且侧面底面，平面内，∴平面，连接，∵底面是菱形，且，∴，又，平面，所以平面，因为平面内，所以；（2）以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，则设平面的法向量为，则，令，得，即，设平面的法向量为，则，令，得，即，设平面与平面所成角为，则，即平面与平面所