河北省邯郸市魏县六校2025-2026学年高二上学期12月联考试题数学

河北省邯郸市魏县六校高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．直线的斜率为（

）A． B． C． D．2．已知空间中三点共线，则（

）A．2 B．0 C．1 D．13．已知数列，则该数列的一个通项公式为（

）A． B．C． D．4．若直线与互相垂直，则（

）A． B． C．4 D．15．已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（

）A．10 B．2 C．2或10 D．146．在四面体中，.设，则（

）A． B．C． D．7．一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（

）A． B．C． D．8．阿基米德在数学方面贡献巨大.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则“阿基米德三角形”面积的最小值为（

）A．18 B．24 C．27 D．36二、多选题9．关于椭圆，下列选项正确的是（

）A．椭圆的长轴长为B．椭圆的一个顶点为C．椭圆的焦距为D．椭圆的离心率为10．已知是空间的一个单位正交基底，则下列向量可以做基底的是（

）A． B．C． D．11．关于的方程有唯一解，则的取值可能是（

）A． B．1 C． D．5三、填空题12．若圆上到直线的距离为5的点刚好有3个，则，直线被圆截得的弦长为.13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为.14．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆上点处的曲率半径公式为.若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆的标准方程为.四、解答题15．如图，在长方体中，.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求到平面的距离；(3)求直线与平面所成角的正弦值.16．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)已知直线交曲线于两点，且的中点为，求直线的方程.17．已知是等差数列的前项和，.(1)求的通项公式；(2)求的最值；(3)设，求数列的前20项和.18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面和平面都垂直于平面，，分别为，的中点，直线与相交于点.(1)证明：平面.(2)判断与是否垂直，并说明理由.(3)求平面与平面夹角的余弦值.19．已知双曲线的离心率为，虚半轴长为．(1)求双曲线的方程．(2)过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，证明：为定值．(3)已知坐标原点为，定点为双曲线上两个不重合的动点，直线，分别与轴交于点，点在直线上，且.试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点和；若不存在，请说明理由．

1．A利用直线的斜率公式计算即可.【详解】由题意可知直线可化为，则其斜率为.故选：A2．B由三点共线可得，进而根据空间向量平行的坐标表示求解即可.【详解】因为三点共线，所以，因为，所以，解得.故选：B3．D根据题意中一组数的规律归纳出数列的通项公式即可.【详解】将数据代入各个选项中，验证可知，该数列的一个通项公式为.故选：D.4．C根据两直线垂直的充要条件列式求解.【详解】由题意知，所以.故选：C.5．A根据双曲线的定义求解即可.【详解】因为双曲线，所以，故，即，由双曲线的定义知，，所以或，当时，,不合题意，舍去.故.故选：A6．C利用空间向量的运算进行求解即可.【详解】.故选：C7．B求出入射点坐标，以及关于直线对称的点的坐标，再根据反射光线经过所求两点即可求解反射光线所在直线方程．【详解】入射光线所在直线的方程为，即，由解得，即入射点的坐标为，设关于直线对称的点为，则，解得，即，因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线的方程为，即．故选：B．8．D设出直线的方程及，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出直线的方程，与抛物线方程联立，利用根的判别式得到方程，求出的方程，同理可得的方程，联立与的方程可得，求出的中点的坐标，得到两点横坐标相同，不妨设，求出，由基本不等式求出面积最小值.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为.显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由得，则.设直线的方程为，由得.因为直线与抛物线相切，所以，所以，即直线的方程为.同理直线的方程为，联立与可得，，又，所以.设的中点为，则的坐标为.故两点横坐标相同，即与轴平行，不妨设，所以，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为36.故选：D9．BD根据椭圆的方程可得a，b的值，即可判断A、B的正误，根据a，b，c的关系，可得c值，即可判断C、D的正误.【详解】由椭圆的方程可得，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误；短轴端点为，则一个顶点为，故B正确；因为，所以椭圆的焦距为，故C错误；离心率为，故D正确.故选：BD10．BD根据基底的概念，以及空间向量的共面定理，可得答案.【详解】因为，所以共面，故A不符合题意；因为方程，化简可得，由题意易知方程无解，所以不共面，故B符合题意；因为，所以共面，故C不符合题意；因为方程，化简可得，由题意可得，易知该方程组无解，所以不共面，故D符合题意.故选：BD.11．ABC由题意转化为函数与图象只有一个公共点，数形结合求解即可.【详解】关于的方程有唯一解，即曲线（以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分）与直线有唯一公共点，如图，当直线经过点时，；当直线经过点时，4.若直线与曲线相切，则，得，数形结合可知，的取值范围是.故选：ABC12．10先求出圆心C到直线l的距离，由题意，分析可得，代入弦长公式，即可得答案.【详解】由题意，圆心，则圆心C到直线l的距离，因为圆上到直线的距离为5的点有且仅有3个，所以，则直线被圆截得的弦长为.故答案为：10；13．利用向量的数量积公式及投影向量的模的计算公式，即可求解.【详解】因为向量，，所以向量在向量上的投影向量，其模为.故答案为：14．根据题意得，进而，再根据得，进而得，所以可得曲率半径的最大值与最小值，列方程组确定的值，从而得椭圆的方程.【详解】因为点在椭圆上，则，即，所以，因为，所以，则，所以，则，，所以，故椭圆的标准方程为.故答案为：.15．(1)(2)(3).（1）建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由异面直线对应向量的数量积求得异面直线的夹角的余弦值；（2）设平面的法向量，利用向量的数量积求得平面法向量，然后利用向量的投影求得点到面的距离；（3）由直线的方向向量和平面法向量，利用向量的数量积求得线面角的正弦值.【详解】（1）以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则，.因为，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.（2）设平面的法向量为，则，令，得.设到平面的距离为，则，即到平面的距离为.（3）设直线与平面所成的角为，∵，∴，即直线与平面所成角的正弦值为.16．(1)(2)（1）由题意可得动点到点的距离与它到直线的距离相等，进而利用抛物线的定义计算即可；（2）利用点差法结合点斜式计算即可.【详解】（1）由题意知，动点到点的距离比它到直线的距离小2，则动点到点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则，两式相减得，整理得，因为的中点为，所以，则，所以直线的方程为，即.又直线过点，故直线与抛物线相交，满足条件.17．(1)(2)最小值为42，无最大值.(3)106（1）根据等差数列的求和公式建立方程组可得答案；（2）根据通项公式的特点可求最小值，没有最大值；（3）先求出的通项公式，根据等差数列求和公式可得答案.【详解】（1）设数列的首项为，公差为，则解得，故的通项公式为.（2）因为，所以单调递增.因为，所以的最小值为，无最大值.（3）由（1）可知，，所以易知为等差数列.设的前项和为，则，所以数列的前20项和为18．(1)证明见解析(2)与不垂直，理由见解析(3).【详解】（1）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.同理，平面，所以，所以直线两两垂直，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.因为，所以因为平面平面，所以平面（2）设，因为，所以，得，所以.因为，所以，故与不垂直.（3）设平面的法向量为，因为，所以，令，得.设平面的法向量为，因为，所以，令，得因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.19．(1)(2)证明见解析(3)存在，使为定值【详解】（1）因为虚半轴长为，所以.因为离心率为，所以，