【解析】北京西城13中学高三上学期期中考试数学（文）试题

北京市第十三中学学年度高三数学（文）期中测试一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合或，，则等于（）． A．或 B． C． D．或【答案】B【解析】．故选．2．下列函数中，既是偶函数又在区间内单调递减的是（）． A． B． C． D．【答案】C【解析】不是偶函数在内单调递增，项符合要求．故选．3．已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】项错，如取，，，项错，，，正负无法判断，故与大小无法判断，项错，，无法判断正负，项对，恒为正．故选．4．已知函数，（其中，）的部分图象，如图所示，那么的解析式为（）． A． B． C． D．【答案】A【解析】周期，∴，，∵，，∴．故选．5．一个四棱锥的三视图如图所示，这个四棱锥的体积为（）． A． B． C． D．【答案】B【解析】四棱锥底面积，高为，体积．故选．6．实数，满足，则的取值范围是（）． A． B． C． D．【答案】D【解析】如图阴影部分，设，设阴影部分交点为，，，设，，，在处，取得最大值，，在处，取得最小值，，∴．故选．7．已知直线，和平面，且．则“”是“”的（）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，若，则直线可能在平面内，可能，但当，时，可得，故“”是“”的必要不充分条件．故选．8．如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，、是单位圆上的两点，是坐标原点，，，，，则的范围为（）． A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，，，∵，∴，，∴．故选．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数，则复数的模等于__________．【答案】【解析】，．10．直线的倾斜角是__________．【答案】【解析】直线为，倾斜角，．11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为__________．【答案】【解析】时，，继续，时，，继续，时，，停止，输出．12．函数的定义域是__________；最小值是__________．【答案】【解析】满足①，②，解出．13．直线与直线平行，则的值为__________．【答案】【解析】两直线平行，则有，解出或，当时，两直线为和，当时，两直线为和重合（舍），故舍去则．14．设函数其中．①若，则__________．②若函数有两个零点，则的取值范围是__________．【答案】① ②【解析】①当时，，，∴．②有个解，∵函数与在定义域上是单调递增函数且，．由题可得．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本小题共分）已知直线经过点．（=1\ROMANI）点到直线的距离为，求直线的方程．（=2\ROMANII）直线在坐标轴上截距相等，求直线的方程．【答案】（=1\ROMANI）或 （=2\ROMANII）或【解析】（=1\ROMANI）当直线斜率不存在时，即符合要求，当直线斜率存在时，设直线为，整理得，到直线的距离：，解出，整理得．（=2\ROMANII）由题知，直线斜率一定存在且，直线，当时，，当时，，∴，解出或，即直线为或．16．（本小题共分）已知函数．（=1\ROMANI）求的最小正周期．（=2\ROMANII）求在上的最大值和最小值．【答案】（=1\ROMANI）最小正周期为 （=2\ROMANII）最大值为，最小值为【解析】（=1\ROMANI），，，，∴．（=2\ROMANII）∵，，，，即在上，最小值为，最大值为．17．（本小题满分分）已知是等差数列，是正项的等比数列，且，，．（=1\ROMANI）求、的通项公式．（=2\ROMANII）求数列中满足的各项的和．【答案】（=1\ROMANI）， （=2\ROMANII）【解析】（=1\ROMANI）∵在等差数列中，，，，又∵在等比数列中，，∴．（=2\ROMANII）∵即，解出，即，，，，即为求，，，∴，．18．（本小题满分分）在中，角，，的对边分别为，，，且，．（=1\ROMANI）求角的大小．（=2\ROMANII）若，，求和的面积．【答案】（=1\ROMANI） （=2\ROMANII），【解析】（=1\ROMANI），∴，∵，∴，∴．（=2\ROMANII）∵，，，解得或（舍），∴，，．19．（本小题共分）如图，等腰梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置（如图），使．（=1\ROMANI）求证：平面．（=2\ROMANII）求三棱锥的体积．（=3\ROMANIII）线段上是否存在点，使得平面，若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】（=1\ROMANI）见解析 （=2\ROMANII） （=3\ROMANIII）存在，为中点【解析】（=1\ROMANI）∵，故，∵在等腰梯形中，，∴在四棱锥中，，又∵，∴平面，∵平面，∴，∵等腰梯形中，，，且，∴，，，∴，∴，∵，∴平面．（=2\ROMANII），∵平面，∴，．（=3\ROMANIII）存在点，为中点，使得平面，证明：取，中点为，，连接，，，∵，是，中点，∴，∵，∴，∴是平行四边形，∴，∵面，面，∴平面．20．（本小题满分分）已知函数．（=1\ROMANI）若，求曲线在点处的切线方程．（=2\ROMANII）求函数的最大值，并求使成立的取值范围．【答案】（=1\ROM