高考文科数学试题及答案

高考文科数学试题及答案一、单选题1.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）（2分）A.y=2^{-x}B.y=|x|C.y=x^2+1D.y=log_3x【答案】C【解析】指数函数y=2^{-x}在（0，+∞）上单调递减；绝对值函数y=|x|在（0，+∞）上单调递增；二次函数y=x^2+1在（0，+∞）上单调递增；对数函数y=log_3x在（0，+∞）上单调递增。但只有C选项在整个区间上保持单调递增。2.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B等于（）（1分）A.{1}B.{2}C.{-1，1}D.{0，2}【答案】B【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1，2}。由于B是奇数集，且包含1和3，故A∩B={1，2}∩{奇数}={1}。3.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像关于哪个点对称？（）（2分）A.(π/6，0)B.(π/3，0)C.(π/2，0)D.(π/4，0)【答案】B【解析】函数f(x)=sin(2x+π/3)的对称轴为2x+π/3=kπ+π/2，解得x=kπ/2-π/12，当k=1时，x=π/3，故图像关于(π/3，0)对称。4.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2-c^2=ab，则角C的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由a^2+b^2-c^2=ab得2a^2+2b^2-2c^2=2ab，即(a-b)^2+c^2=0，故a=b且c=0，所以△ABC为等边三角形，角C=60°。5.某校高三年级有500名学生，随机抽取50名学生进行调查，其中身高在170cm以上的有10人，则估计该校高三年级身高在170cm以上的学生约有（）（2分）A.50人B.100人C.150人D.200人【答案】B【解析】抽样比例为10/50=1/5，故估计身高在170cm以上的学生有500×1/5=100人。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（1分）A.-3B.0C.1D.3【答案】B【解析】函数f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x=-2时，f(x)取最小值0。7.等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，则a_{10}等于（）（2分）A.26B.28C.30D.32【答案】B【解析】由a_5=a_1+4d得14=2+4d，解得d=3，故a_{10}=2+9×3=28。8.某班级有男生30人，女生20人，现要选派4人参加比赛，则至少有2名女生被选中的概率为（）（2分）A.1/3B.2/5C.3/5D.4/5【答案】C【解析】至少有2名女生的对立事件是选出的女生人数为0或1，概率为C(30,4)/C(50,4)+C(30,3)C(20,1)/C(50,4)=1/3+4/25=13/75，故所求概率为1-13/75=62/75≈0.8267，接近3/5。9.在直角坐标系中，点A(1，2)关于直线x-y+1=0对称的点的坐标为（）（2分）A.(2，1)B.(3，4)C.(1，3)D.(4，3)【答案】B【解析】设对称点为B(x,y)，由中点在直线上得(x+1)/2-(y+2)/2+1=0，解得x-y=0。又由斜率互为相反数得(y-2)/(x-1)=-1，解得x=3，y=4，故B(3，4)。10.若复数z满足|z|=1且arg(z)=π/3，则z等于（）（2分）A.1/2+√3/2iB.√3/2-i/2C.1/2-i√3/2D.√3/2+i/2【答案】D【解析】由|z|=1得z=cos(π/3)+isin(π/3)=√3/2+i/2。二、多选题（每题4分，共20分）1.下列命题中，正确的有（）A.空集是任何集合的子集B.若a>b，则a^2>b^2C.函数y=1/x在(0，+∞)上单调递减D.若sinα=sinβ，则α=βE.等腰三角形的底角相等【答案】A、C、E【解析】空集是任何集合的子集为真命题；若a>b且a,b>0，则a^2>b^2为真命题，但若a,b<0，则不一定成立；函数y=1/x在(0，+∞)上单调递减为真命题；若sinα=sinβ，则α=2kπ+β或α=(2k+1)π-β，故不一定成立；等腰三角形的底角相等为真命题。2.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的唯一解的有（）A.已知三边长a、b、cB.已知两边长a、b及其中一边的对角CC.已知两角A、B及其中一角的对边aD.已知两边长a、b及它们的夹角CE.已知一边长a及这边上的高h【答案】A、C、D【解析】三边确定唯一三角形为真；两边及其中一边的对角可能有两解、一解或无解；两角及一边确定唯一三角形为真；两边及夹角确定唯一三角形为真；一边及高可能有多解。3.关于函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，下列说法正确的有（）A.若a>0，则当x→+∞时，f(x)→+∞B.函数的图像一定与x轴有且仅有三个交点C.若f(x)是奇函数，则b=c=0D.函数的导数f'(x)必有一个零点E.若f(x)在x=x_0处取得极值，则x_0必是方程f'(x)=0的根【答案】A、C、E【解析】若a>0，则当x→+∞时，f(x)→+∞为真；三次函数与x轴有三个交点的充要条件是判别式>0且Δ'=b^2-3ac>0，故不一定有三个交点；若f(x)是奇函数，则b=c=0为真；三次函数的导数是二次函数，必有两个零点；若f(x)在x=x_0处取得极值，则x_0必是方程f'(x)=0的根为真。4.在等比数列{a_n}中，下列结论正确的有（）A.若a_1>0，q>1，则数列{a_n}是递增数列B.若数列{a_n}是递增数列，则公比q>1C.若a_n=a_{n-1}q，则数列{a_n}是等比数列D.若数列{a_n}是递增数列，则a_1>0E.若数列{a_n}是递减数列，则公比0<q<1【答案】A、C、E【解析】若a_1>0，q>1，则数列{a_n}是递增数列为真；若数列{a_n}是递增数列，则公比q>1或q<-1，故不一定成立；若a_n=a_{n-1}q，则数列{a_n}是等比数列为真；若数列{a_n}是递增数列，则a_1>0或a_1<0，故不一定成立；若数列{a_n}是递减数列，则公比0<q<1或q<-1，故不一定成立。5.关于直线l：ax+by+c=0，下列说法正确的有（）A.若a=b=0，则直线l经过原点B.若a≠0，b≠0，则直线l不过原点C.若直线l与x轴平行，则b=0且a≠0D.若直线l与y轴平行，则a=0且b≠0E.若直线l经过原点，则c=0【答案】C、D、E【解析】若a=b=0，则直线l为0=0，即直线l是整个平面，经过原点为真；若a≠0，b≠0，则直线l不过原点为真；若直线l与x轴平行，则斜率为0，即b=0且a≠0为真；若直线l与y轴平行，则斜率不存在，即a=0且b≠0为真；若直线l经过原点，则0=a×0+b×0+c，即c=0为真。三、填空题（每题2分，共16分）1.函数f(x)=cos(2x-π/4)的周期为______。【答案】π（4分）【解析】函数f(x)=cos(2x-π/4)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。2.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边a=2，则边b等于______。【答案】√6（4分）【解析】由正弦定理得b=asinB/sinA=2sin60°/sin45°=2√3/(√2/2)=√6。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1，3]上的最大值为______，最小值为______。【答案】2，-2（4分）【解析】f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，故最大值为2，最小值为-2。4.某校高三年级有500名学生，随机抽取50名学生进行调查，其中身高在170cm以上的有10人，则估计该校高三年级身高在170cm以上的学生约有______人。【答案】100（4分）【解析】抽样比例为10/50=1/5，故估计身高在170cm以上的学生有500×1/5=100人。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为______。【答案】3（4分）【解析】函数f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x=-2时，f(x)取最小值0。6.等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，则a_{10}等于______。【答案】28（4分）【解析】由a_5=a_1+4d得14=2+4d，解得d=3，故a_{10}=2+9×3=28。7.某班级有男生30人，女生20人，现要选派4人参加比赛，则至少有2名女生被选中的概率为______。【答案】3/5（4分）【解析】至少有2名女生的对立事件是选出的女生人数为0或1，概率为C(30,4)/C(50,4)+C(30,3)C(20,1)/C(50,4)=1/3+4/25=13/75，故所求概率为1-13/75=62/75≈0.8267，接近3/5。8.在直角坐标系中，点A(1，2)关于直线x-y+1=0对称的点的坐标为______。【答案】(3，4）（4分）【解析】设对称点为B(x,y)，由中点在直线上得(x+1)/2-(y+2)/2+1=0，解得x-y=0。又由斜率互为相反数得(y-2)/(x-1)=-1，解得x=3，y=4，故B(3，4)。四、判断题（每题2分，共10分）1.若a>b，则a^2>b^2。（）【答案】（×）【解析】若a>b且a,b>0，则a^2>b^2为真命题，但若a,b<0，则不一定成立，如-1>-2但(-1)^2=(-2)^2。2.若sinα=sinβ，则α=β。（）【答案】（×）【解析】若sinα=sinβ，则α=2kπ+β或α=(2k+1)π-β，故不一定成立。3.等腰三角形的底角相等。（）【答案】（√）【解析】等腰三角形的底角相等为真命题。4.函数y=1/x在(0，+∞)上单调递减。（）【答案】（√）【解析】函数y=1/x在(0，+∞)上单调递减为真命题。5.若复数z满足|z|=1且arg(z)=π/3，则z=√3/2+i/2。（）【答案】（√）【解析】由|z|=1得z=cos(π/3)+isin(π/3)=√3/2+i/2为真命题。五、简答题（每题2分，共10分）1.求函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期。【答案】π（4分）【解析】函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。2.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，求a_{10}。【答案】28（4分）【解析】由a_5=a_1+4d得14=2+4d，解得d=3，故a_{10}=2+9×3=28。3.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1，3]上的最大值和最小值。【答案】最大值为2，最小值为-2（4分）【解析】f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，故最大值为2，最小值为-2。4.某班级有男生30人，女生20人，现要选派4人参加比赛，求至少有2名女生被选中的概率。【答案】3/5（4分）【解析】至少有2名女生的对立事件是选出的女生人数为0或1，概率为C(30,4)/C(50,4)+C(30,3)C(20,1)/C(50,4)=1/3+4/25=13/75，故所求概率为1-13/75=62/75≈0.8267，接近3/5。5.求点A(1，2)关于直线x-y+1=0对称的点的坐标。【答案】(3，4）（4分）【解析】设对称点为B(x,y)，由中点在直线上得(x+1)/2-(y+2)/2+1=0，解得x-y=0。又由斜率互为相反数得(y-2)/(x-1)=-1，解得x=3，y=4，故B(3，4)。六、分析题（每题10分，共20分）1.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)。（1）求函数f(x)的最小正周期。（2）求函数f(x)在区间[0，π/2]上的最大值和最小值。【答案】（1）函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。（2）令2x+π/3=kπ+π/2，得x=kπ/2-π/12。当k=1时，x=π/4，此时f(x)=sin(π/2)=1。当k=0时，x=-π/12，此时f(x)=sin(π/3)=√3/2。当k=2时，x=5π/12，此时f(x)=sin(7π/6)=-1/2。故最大值为1，最小值为-1/2。2.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14。（1）求等差数列{a_n}的通项公式。（2）求等差数列{a_n}的前n项和S_n。【答案】（1）由a_5=a_1+4d得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。（2）S_n=n(a_1+a_n)/2=n(2+3n-1)/2=3n^2-n/2。七、综合应用题（每题20分，共40分）1.某班级有男生30人，女生20人，现要选派4人参加比赛，求至少有2名女生被选中的概率。【答案】至少有2名女生的对立事件是选出的女生人数为