高斯公式及其应用

高斯公式及其应用摘要：高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分的关系.高斯公式为计算（闭）曲面积分提供了新的方法.它能简化曲面积分的计算.这个公式建立了曲面积分和重积分之间的联系，有了这个公式，曲面积分和重积分不再被孤立地加以研究，从而可以从他们之间的互相联系去研究.关键词：高斯公式；曲面积分；重积分；阿基米德浮力定律设密闭区域Ω由分片光滑的闭区域Σ围成，函数P（x,y,z）,Q(x,y,z),R(x,y,z)在Ω有一阶连续偏导数，则有高斯公式=或=这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα，cosβ，cosγ是Σ上点（x,y,z）处的法向量的方向余弦.高斯公式表达了空间闭曲面的曲面积分和曲面所围空间区域上三重积分的关系，它有明确的物理背景：通量和散度.高斯公式的证明.分别证明以下三个式子同时成立，从而证明高斯公式的成立.而且，我们发现只要证明三个式子中的任何一个，其他两个式子可以类似证明.证：设空间区域Ω在xoy平面上的投影为，并且假设区域Ω的边界曲面与任意平行坐标轴的直线至多相交于两点.Ω：z1（x,y）<z<z2(x,y),(x,y)∈D+柱面三部分组成.Σ1：z=z1(x,y)(取下侧）Σ2：z=z2(x,y)(取上侧）Σ3：母线平行于z轴的圆柱（取外侧）由三重积分的计算法投影法（先一后二法）==条件不改变，由曲面积分的计算法Σ1取下侧，Σ2取上侧，Σ3取外侧.于是由此而得.同理可证合并三式，可得即证得高斯公式成立.若区域Ω的边界曲面和任一坐标轴直线的交点多于两个，可通过添加辅助曲面的方式将Ω划分成有限个闭区域，使得每个闭区域满足条件.并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等但是符号相反，相加时结果为0.因此高斯公式对这样的闭区域仍然是成立的.由两类曲面积分的关系知高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分的关系.高斯公式为计算（闭）曲面积分提供了新的方法.它能简化曲面积分的计算.这个公式建立了曲面积分和重积分之间的联系，有了这个公式，曲面积分和重积分不再被孤立地加以研究，从而可以从他们之间的互相联系去研究.应用高斯公式计算曲面积分第二型曲面积分的计算是比较复杂的，但利用高斯公式将封闭曲面上的积分化为三重积分，可以简化计算.高斯公式应用广泛，应用时要注意满足一下两个条件（1）曲面S必须是封闭曲面：（2）P，Q，R要在区域Ω有一阶连续偏导数.但是对于非封闭曲面上的第二型曲面积分有时也可以应用高斯公式进行解决，有时甚至在被积函数不满足一阶导数连续的条件也可以设法应用高斯公式.我们将对这几种情况进行分类讨论.应用高斯公式解决封闭曲面上曲面积分.例1：计算解:已知Σ是闭曲面，可用高斯公式来计算.因为P=，Q=，R=在Σ包裹的区域内有一阶连续导数，可以应用高斯公式.所以=,,.=3=3.应用高斯公式可以比较简便的得到答案.例2：计算曲面积分其中S为球心在原点，半径为a的球面外侧.解：S为封闭曲面，且P=-2xy,Q=+2yz,R=(z-2x+1)z在S包围的区域内有一阶连续导数，可以应用高斯公式得到.这样比直接计算第二型曲面积分远要简单的多.应用高斯公式解决非封闭曲面上的第二型曲面积分问题上面提到对于非封闭曲面上的一些第二型曲面积分也可以用高斯公式来计算.这比封闭曲面上的曲面积分的计算要复杂一点，需要增加辅助曲面，使之与原曲面一起构成封闭曲面，然后再利用高斯公式进行计算.所要增加的曲面也要根据情况而定.例3计算曲面积分其中S为圆锥，（0≦z≦1）的外侧.我们可知S是一个顶点位于z=1，底面半径为1的圆锥的侧面，并非封.闭曲面.我们需要做辅助曲面来帮助我们计算.解：作辅助曲面υ:z=0,,即xy面上的单位圆.S+υ是一个封闭曲面，满足高斯公式的条件，故可以应用高斯公式得到==.三重积分即为圆锥的体积.但是要得到S上的积分，还需要减去υ上的积分.要引起注意的是，应用高斯公式时，曲面积分是沿外侧的，因此这里υ的积分，法向量应该向下，设D是υ在xy面上的投影.我们已经讨论了封闭曲面上高斯公式的用法和部分第二型曲面积分在非封闭曲面上高斯公式的应用.那么对于被积函数并不满足一阶偏导数连续的条件，是否也可以设法应用高斯公式解决问题呢？接下来，我们根据给出的例子进行尝试.例4：计算曲面积分，其中r=,S为椭球面的外侧.解：对于这个问题，由于曲面复杂，直接应用第二型曲面积分进行解答是很困难的.想用高斯公式进行解答，在P,Q=0处间断，不满足高斯公式的应用条件，需要我们挖掉奇点，以原点为球心，ε为半径的球面S1，取ε充分小，使得该球完全包含在椭球里面，则S和S1所夹的部分设为Ω，在区域Ω上可以应用高斯公式，这时作为区域Ω的内边界的S1，其法向量应该指向球心.这里，最后一步是用体积公式得出来的，Ω的体积是椭球的体积减去小圆的体积，然后再计算小球面S1上的积分，我们注意到小球面上r=ε为常数，另设法向量指向球外的小球面,S1与仅法向量相反，所包含的小球为Ω1.应用高斯公式计算三重积分高斯公式是连接空间闭区域上的三重积分和其区域曲面上的曲面积分的纽带，但是大家在利用高斯公式解题时往往是将第二型曲面积分转化为三重积分，而将三重积分化为曲面积分的计算，鲜有提及.追根溯源，是在该计算过程中存在局限，让我们看清问题，尝试应用高斯公式来计算三重积分.例5：用高斯公式来计算三重积分其中Ω是由平面x=0,y=0,z=0,z=1以及圆柱面围在第一卦限内的立体.解：Ω的边界曲面Σ是由五个曲面封闭而成，它们分别为：Σ1：x=0；Σ2：y=0；Σ3：z=0；Σ4：z=1；Σ5：.由高斯公式可得，原式=（1）因为.由对称性可知，又=，所以原式子的结果为.这里，有两个疑问.其一，在上述计算，我们假设了，，，.现在，我们取P=Q=R=xyz，但是事实上是存在一定差异的.即P=xyz+f(y,z),Q=xyz+g(z,x),R=xyz+h(x,y).那么，原式（2）为了于（1）相对应，必须有（3）第二个疑问，即为，，的取值发生变化，比如取，，，计算的结果是否相同呢？接下来，让我们对这两个疑问进行一一证明.为了简便计算，我们假设空间区域Ω既是XY型，又是YZ型，还是ZX型.因为复杂的区域总可以剖分为简单区域，因此，命题结论也是成立的.对于命题1，我们设空间Σ是分片光滑的，并且h(x,y),f(y,z),g(z,x)是Σ上的连续函数，则证：先证明假设空间闭曲面所围成的区域Ω是XY型的，即Ω{（x,y,z）|(x,y）∈Dxy,z1(x,y)≦z≦z2(x,y)},则闭曲面Σ由Σ1，Σ2，Σ3三部分构成.Σ1：z=z2(x,y),(x,y)∈DxyΣ2：z=z1(x,y),(x,y)∈DxyΣ3：z1(x,y)≦z≦z2(x,y),(x,y)∈Dxy.取外侧，则Σ1的法向量朝上，Σ2的法向量朝下，Σ3的法向量垂直于z轴，所以由可得.同理可以证明得到显然，即第三式是正确的，排除第一个疑点.下面让我们来证明下一个疑点设空间Ω是由分片光滑的闭曲面Σ围成，函数u(x,y,z),P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，且u(x,y,z),则证明：先证明我们令Ω为YZ型，即Ω{（x,y,z）|(y,z)∈Dyz,x1(y,z)≦x≦x2(y,z)}，则闭曲面Σ由Σ1，Σ2，Σ3三部分构成.分别为Σ1：x=x2(y,z),(x,y)∈DyzΣ2：x=x1(y,z),(y,z)∈DyzΣ3：x1(y,z)≦x≦x2(y,z),(y,z)∈Dyz.取外侧，则Σ1的法向量朝前，Σ2的法向量朝后，Σ3的法向量垂直于x轴，令P(x,y,z)=+t(y,z),不妨记=s(x,y,z),则有P(x,y,z)=s(,x,y,z)+t(y,z)由命题1可知0，所以=+==+====.同理可证，命题2告诉我们，在计算时，视u(x,y,z)为，完全根据计算的需求而定，其结果是相同的，这就排除了前面的第二个疑点.至此，我们从理论上证明了高斯公式的可行性.高斯公式在普通物理学中的应用数学中高斯公式是场论中的一个基本公式，它建立了空间某一区域v上的体积分与其边界曲面s上面积分的关系，即在物理学中常用它的矢量形式其中在普通物理学中，利用高斯公式可以简单明了的证明某些重要理论.下面我们就用他来证明著名的阿基米德浮力定律.在普通的物理教科书中通常不对阿基米德浮力定律做严格的数学证明，仅对它做一个说明.现在应用高斯公式给出一个证明设物体的体积为V，处在z处的面元dA，考虑到z本身具有负号，该面元受到的压力大小为dF=ρgzdA,方向与该面元法向量相反，故压力为dF=ρ0gz三个分量的方向为现依次球这三个力的合力==0.其中表示该向量在x轴的分量，其他类似，同理=ρ0gV.通过证明我们可以看出处于液体中的物体所受的浮力大小和形状无关，且方向垂直于液面.GaussFormulaandItsApplicationSunJiping(SchoolofMathematicalSciences,DezhouUniversity,DezhouShandong)Abstract:Gaussformulaexpressestherelationshipbetweenthetripleintegralontheclosedregionofspaceandthesurfaceintegralontheboundarysurface.Gaussformulaprovidesanewmethodforthecalculationofthe(closed)surfaceintegral.Itcansimplifythecalculationofthesurfaceintegral.Thisformulaestablishestheconnectionbetweenthesurfaceintegralandthedoubleintegral.Withthisformula,thesurfaceintegralandthedoubleintegralarenolongerstudiedinisolation,sothatTostudyfromtheirmutualconnectionKeywords:GaussFormula;Surfaceintegral;Multipleintegral;Archimedeslawofbuoyancy参考文献：蒋定华.高斯公式的应用[J].电视大学.1984:1-4.谭金锋.利用高斯公式求三重积分的数学思考[J].工科数学.1998,(4).张万超.阿基米德定律的验证[J].中国教育技术装备.2009,(23).姜培华；邓寿年.从一道习题谈高斯公式应用的问题[J].高等数学研究所.2011.(14).王静；李应歧；于宁莉.研究性教学在高斯公式教学中的应用[J].河南教育学院学报