西北工业大学附属中学2026届高三下学期第十一次适应性训练数学试卷

西北工业大学附属中学2026届高三下学期第十一次适应性训练数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]已知集合,则(

)A. B. C. D.答案：A解析：因为,且注意到,从而.故选:A.2．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]已知数据的分位数是7,则实数(

)A.4 B.5 C.6 D.7答案：C解析：共5个数,,则第分位数是第4个和第5个数的平均数,因为第分位数是7,则必有一数小于7,一数大于7,故,得.故选:C3．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]直线被圆所截得的弦长为(

)A.1 B. C. D.2答案：A解析：圆的圆心,半径,点C到直线的距离,所以所求弦长为.故选:A4．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]等差数列的前n项和为,且,,则(

)A.45 B.49 C.56 D.63答案：D解析：由题意,,解得,故.故选:D5．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]已知单位向量在单位向量上的投影向量为,则(

)A. B. C. D.1答案：B解析：因为向量在向量上的投影向量为,所以确定与的夹角为,所以,所以,所以.故答案为:B.6．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]当前,AI已从一个研究领域变成一类赋能技术.在医药健康领域,AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面,显著提升了科研效率.假设某实验室AI辅助新药分子筛选,事件A是“AI模型筛选出候选分子M”,事件B是“AI模型筛选出候选分子N”.已知,,,则(

)A. B. C. D.答案：A解析：因为,所以.所以.由,得.所以.7．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]记函数的最小正周期为T.若,且的图象关于点中心对称,则(

)A.1 B. C. D.3答案：A解析：由函数的最小正周期T满足,得,解得,又因为函数图象关于点对称,所以,且,所以,所以,,所以.故选:A8．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]已知O为坐标原点,双曲线的左、右焦点分别为,,过作C的一条渐近线的垂线,垂足为A,线段与交于点B,若,的面积相等,则C的离心率为(

)A. B. C. D.答案：C解析：设,其中,又双曲线的渐近线方程为,如图,取,即,设到直线的距离为d,则,所以,则,因为,的面积相等,又,则,得到,又直线方程为,则,解得,所以,又点B在双曲线上,所以,整理得到,所以.二、多项选择题9．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]任何一个复数（其中,i为虚数单位）都可以表示成的形式,通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:,我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息,下列说法正确的是(

)A.B.的实部为C.D.若,时,若n为偶数,则复数为纯虚数答案：AC解析：对于A,因为,,则,所以,又,所以,故A正确,对于B,令,则,所以的实部为,故B错误,对于C,令,则,所以,故C正确,对于D,若时,则,当n为偶数时,设,,所以且为奇数时,为纯虚数;且为偶数时,为实数,故D错误.10．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]设函数,则(

)A.是偶函数 B.C.在区间上单调递增 D.为的极小值点答案：BD解析：的定义域为,故为非奇非偶函数,故A错误,由于,且,故当时,,此时,当时,,此时,当时,,因此,B正确,对于C,,当时,,此时,因此在单调递减,故C错误,对于D,,当时,,故,当时,,此时,因此在单调递减,在单调递增,为的极小值点,D正确,故选:BD11．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]一个棱长为2的正方体内有一个内切球,若球与正方体的三个面和球相切,球与正方体的三个面和球相切,依次类推,球与正方体的三个面和球相切,设球的半径为,体积为,则下列结论不正确的是(

)A. B.数列为等比数列C. D.答案：C解析：因为正方体棱长为2,所以内切球的半径（内切球直径等于正方体棱长）,对于球:球与正方体的三个面相切,故其球心坐标为;球与球相切,两球心距离为,该距离等于,由此得到递推关系:,整理得,所以是首项,公比的等比数列.对于A:,A正确;对于B:以上已证明,B正确;对于C:等比数列前n项和,因为,所以,所以,C错误;对于D:球的体积,,因为是首项为,公比为的等比数列,所以所以,D正确;故选:C.三、填空题12．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]的二项展开式中的系数是______.（用数字作答）答案：60解析：二项式的通项公式为,令,所以的系数是,故答案为:6013．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]已知,为锐角,若,,则______;答案：解析：设,两边平方相加得.又因为,,所以,所以,又,为锐角,所以,所以,所以.14．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]已知抛物线的焦点为F,其准线l与坐标轴交于点K.P为E上一点,的平分线与y轴交于点M,则点M纵坐标的最大值为______.答案：解析：抛物线的准线方程为,所以.当点P在原点时,易知.当点P不在原点时,设,则..由角平分线定理,得.设,则.,因为,所以,当且仅当,即时,等号成立.所以,所以,所以.即,即,解得.所以点M纵坐标的最大值为.四、解答题15．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]在中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知.（1）求角C;（2）若,点D在边AB上,CD为的平分线,且,求边长a的值.答案：（1）;（2）4解析：（1）,由正弦定理得,又,所以,即,因为,所以,故,即,又,所以;（2）由（1）知,,又CD为的平分线,故,其中,由三角形面积公式得,,又,显然,即,解得.16．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]甲参加围棋比赛,采用三局两胜制,若每局比赛甲获胜的概率为,输的概率为,每局比赛的结果是独立的.（1）当时,求甲最终获胜的概率;（2）为了增加比赛的趣味性,设置两种积分奖励方案.方案一:最终获胜者得3分,失败者得分;方案二:最终获胜者得1分,失败者得0分,请讨论选择哪种方案,使得甲获得积分的数学期望更大.答案：（1）（2）答案见解析解析：（1）记“甲最终以获胜”为事件,记“甲最终以获胜”为事件,“甲最终获胜”为事件C,于是,A与B为互斥事件,由于,,则,即甲最终获胜的概率为.（2）由（1）可知,,若选用方案一,记甲最终获得积分为分,则可取,,则X的分布列为:X3p则,若选用方案二,记甲最终获得积分为分,则可取1,0,,则Y的分布列为:Y10p则,所以,由于,则,于是时,两种方案都可以选,当时,,应该选第二种方案,当时,,应该选第一种方案.17．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]如图,三棱柱的所有棱长都为2,,M是的中点,.（1）证明:平面平面;（2）求与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明:取的中点O,连接,因为M是的中点,所以,又因为三棱柱的所有棱长都是2,所以四边形为菱形,所以,所以,因为,且,平面,所以平面,又因为平面,所以,在等边中,因为O为的中点,所以,又因为,且平面,所以平面,因为平面,所以平面平面.（2）连接,因为三棱柱的所有棱长都为2,且,可得为等边三角形,且O为的中点,所以,由（1）知:平面平面,平面平面,且平面,所以平面,所以两两垂直,以为坐标原点,以所在的直线分别为x轴,y轴和z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则,所以,设平面的法向量为,则,取,可得,所以,因为,设与平面所成的角为,则,所以与平面所成的角的正弦值为.18．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]已知椭圆（）M,N分别为E的上顶点、右顶点,,坐标原点O到直线MN的距离为（1）求E的方程.（2）若为E上不同的两点,的面积为直线的斜率均存在且分别为.（i）证明:为定值;（ii）设P为线段的中点,点,求面积的最大值.答案：（1）;（2）（i）,证明见解析;（ii）.解析：（1）由题可知,,,即,解得,则椭圆.（2）（i）①若直线的斜率不存在,设点,则,又因为,可解得,由对称性,不妨取,即,此时;若取,同样可求得;②若直线的斜率存在,可设直线,点,联立直线与椭圆,整理得,而,得,根据韦达定理且直线的斜率均存在,有,则,得到,得,整理得,则,因,故,.综上所述,,得证.（ii）①若直线的斜率不存在,由（i）可知,,则,此时;②若直线的斜率存在,由题可知,直线,,,故,又因为,故,点到直线的距离,因此,由对称性,不妨假设,则,因此,令,则,则,要使得面积最大,则,,当且仅当,即时,等号成立,则的最大值为.综上所述,因为,故面积的最大值为.19．[2026春·高三·西北工业大学附中·月考]已知函数.（1）当时,讨论的单调性;（2）当时,若在上恒成立,求正整数m的最大值;（3）若在上有零点,求证:.（参考数据:,,）答案：（1）答案见解析;（2）1;（3）证明见解析.解析：（1）当时,①当时,在上单调递增;②当时,由,得,时,单调递减.