湖南省长沙市2025-2026学年高一数学上学期1月期末试题含解析-1

湖南省长沙市2025-2026学年高一数学上学期1月期末试题

时量：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项是符合题目要求的．

1.设集合为奇数，则（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】由交集的定义运算即可得解.

【详解】由已知得，

故选：C

2.（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】由诱导公式与特殊角的三角函数值可得.

【详解】.

故选：D.

3.若，则为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题即可得到答案.

【详解】由命题的否定法则得，若，则为．

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故选：C.

4.若一个扇形的圆心角为，半径为7，则其弧长为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用扇形弧长公式求解即可.

【详解】设扇形的弧长为，圆心角为，半径为，所以．

故选：A

5.已知，若，则（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用二倍角即可求解.

【详解】由已知得，，所以．

故选：D

6.下列是的必要不充分条件的是（）

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要条件定义即可得答案.

【详解】对于A，由不等式的性质知，是的充要条件，所以A错误；

对于B，因为，且，所以是的必要不充分条件，所以B正确；

对于C，显然，但当时，，所以是的充分不必要条件，所以C错误；

对于D，若，则，所以，所以，反之，所以是的充分不

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必要条件，所以D错误．

故选：B

7.美国生物学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的

“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知

描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物

的高为1米，经过1年，该植物的高为3米，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】代入数据得到方程组，解出即可.

【详解】依题意可得则解得．

故选：A.

8.已知，若，则（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据，构造函数，研究单调性可得，构造函数

，

利用单调性的定义可得在上单调递增即可求解，

【详解】因为，所以，

令，则在上单调递增，所以，所以，

所以，令，取，所以，

则，即，所以在上单调递增，

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则

所以，

所以．

故选：C

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.下列说法正确的是（）

A.函数的定义域为B.函数的零点为

C.D.

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A，结合具体函数的定义域求解即可；对于B，解一元二次方程即可求解；对于C，利用对数

的计算即可求解；对于D，结合指数函数的单调性求解即可.

【详解】A.函数的定义域为，所以A错误；

B.令，解得或，所以B正确；

C.因为，所以，所以C错误；

D.由底数大于1的指数函数单调递增得，成立，所以D正确．

故选：BD

10.若函数的图象为曲线，则（）

A.曲线关于点对称

B.将曲线沿着轴向右平移个单位长度得到曲线

C.将曲线沿着轴向下平移2个单位长度得到曲线

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D.将曲线上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线

【答案】ABC

【解析】

【详解】根据正弦型函数的对称中心可判断A；根据三角函数的图象变换，可判断B、C、D.

对于A：因为，所以曲线关于点对称，故A正确；

对于B：将曲线沿着轴向右平移个单位长度得到曲线，故B正确；

对于C：将曲线沿着轴向下平移2个单位长度得到曲线，故C正确；

对于D：将曲线上所有点的横坐标压缩到原来的一半（纵坐标不变）得到曲线，与

选项D中曲线的方程不符，故D错误．

故选：ABC.

11.若函数是定义域为的奇函数，当时，，则（）

A.

B.当时，

C.当时，单调递增区间为和

D.当时，的单调递增区间为和

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，由奇函数的性质即可得解；对于B，运用函数的奇偶性即可得解；对于C，运用对

勾函数的单调性即可得解；对于D，由与在上单调递增，再结合的奇偶

性，即可判断.

【详解】对于A：因为函数为奇函数，且定义域为，所以，所以，所

以，故A正确；

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对于B：当时，，，故B正确；

对于C：当时，由对勾函数图象的性质得，的单调递增区间为和，故C错

误；

对于D：当时，对于，易知与在上单调递增，

故在上单调递增，

进一步由奇函数的图象关于原点对称，在区间上也单调递增，故D正确．

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则

___________．

【答案】

【解析】

【分析】由正切函数的定义即可得解.

【详解】．

故答案为：.

13.函数（，且）的图象必经过的定点是__________.

【答案】

【解析】

【分析】由对数函数图像过定点直接得到结论.

【详解】当x=1时,y=1，所以函数必经过的定点是.

故答案为：

14.在研究集合时，我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数．设

集合，若

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，则实数的取值集合用列举法表示为___________．

【答案】

【解析】

【分析】求出集合，判断出的值，再根据根的个数讨论的取值即可.

【详解】因为，所以，

因为，所以或．

，

当时，或；

当时，且，

关于的方程有3个不同的实数根，

且是方程的解，且，

若是方程的解，则，

此时方程的解集只有2个元素，与矛盾；

若是方程的解，

则有，即，无解，

若关于的方程只有一个解且不为和，

则，解得．

当时，的解为1，此时，符合题意；

当时，的解为，此时，不符合题意．

综上，实数的取值集合用列举法表示为．

故答案为：

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.设实数x，y满足．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）当x，y均为正实数时，求的最小值，并求取得最小值时的值．

【答案】（1）

（2）最小值为，此时

【解析】

【分析】（1）由，可得，代入，解不等式，即得答案；

（2）将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案.

【小问1详解】

因为，所以，

又，即，化简得，

所以，

故的取值范围为．

【小问2详解】

因为，

所以

，

当且仅当且，即时取等号，

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故的最小值为，此时．

16.（1）已知实数a，b满足：，求值；

（2）已知，求值．

【答案】（1）；（2）20

【解析】

【分析】（1）根据对数运算法则和换底公式进行计算即可；

（2）根据指对式互化和同底数幂的乘法法则进行计算即可.

【详解】（1）因为，所以，所以，

所以，

所以；

（2）因为，所以，

因为，所以．

17.已知函数为奇函数．

（1）求实数的值；

（2）求证：在上单调递增；

（3）若在区间上有解，求实数的取值范围．

【答案】（1）

（2）证明见解析（3）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数的性质求参数即可.

（2）根据函数单调性的定义和指数函数的单调性证明即可.

（3）根据函数单调性解不等式即可.

【小问1详解】

因为函数是定义在上的奇函数，

所以，即，解得，

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此时，则，满足题意，

故实数的值为．

【小问2详解】

由（1）可得，

任取，且，

则，

因为，且指数函数在定义域上单调递增，

所以，即，

又因为，所以，

因此，即，

故根据函数单调性的定义得，函数在上单调递增．

【小问3详解】

由（2）可得，要使得在区间上有解，

只需，

而当时，，所以，

所以，所以，

故实数的取值范围为．

18.已知函数．

（1）把化为的形式；

（2）求的单调递减区间和图象的对称轴方程；

（3）令，求实数的取值范围．

【答案】（1）；

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（2）；；

（3）.

【解析】

【分析】（1）运用辅助角公式化简函数即可得解；

（2）利用正弦型函数的性质，利用整体代入法计算其单调区间与对称轴即可；

（3）先计算出在上的值域，再利用二次函数的单调性计算出的值域，再将

转化为，最后解不等式求解参数范围即可.

【小问1详解】

由题意得

.

【小问2详解】

令，

解得，

则的单调递减区间为.

令，所以，

故图象的对称轴方程为.

【小问3详解】

因为，所以，

则，可得，

故是关于的开口向上的二次函数，

其中，对称轴为，

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故由二次函数的性质得.

若，，

因此有，化简得，

由指数函数性质得，故，解得，

即实数的取值范围为.

19.对于函数，若其定义域内满足，则称为“弱奇函数”，为函数

的“弱奇函数点”．

（1）设，证明：为“弱奇函数”；

（2）设，若为定义在区间上的“弱奇函数”，且在上

存在两个“弱奇函数点”．

（i）求实数的取值范围；

（ii）证明：．

【答案】（1）证明见解析

（2）（i）；（ii）证明见解析

【解析】

【分析】（1）结合“弱奇函数”的定义求解即可；

（2）（i）由化简可得为方程的根，

当时，方程化简为，当时，方程

化简为，

结合韦达定理可得在和上各存在一个“弱奇函数点”，分和两情况讨论根

的情况即可求解；

（ii）由（i）得，，且，，化简，令

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函数，利用函数单调性即可求解.

【小问1详解】

若，则，

所以，所以，

取