河南省三门峡市2026届高三数学上学期期末检测试题含解析

2025—2026学年度上学期期末检测

高三数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置．

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用

0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4．考试结束后，将答题卡交回．

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的．

∣，，∣

1.已知集合Axx3kkNB{xx12}，则AB（）

A.3，6，9B.0，3，6，9C.1，3，6，9D.0，3，6，9，12

【答案】B

解析：因为A0，3，6，9，12，…，B{x∣x12}，

所以AB0，3，6，9，

故选：B

2i

2.复数z2在复平面内对应的点位于（）

1i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

2i2i1

1

解析：z2i，其对应的点为,1

1i2i22

故其在复平面内对应的点位于第三象限.

故选：C

7

3.在12x的展开式中，含x2项的系数是（）

A.21B.84C.-21D.-84

【答案】B

解析：7展开式的通项为：k7kkkkk，

12xTk1C712x2C7x

令，则222，系数为2．

k2T32C7xC7421484

故选:B.

4.已知ABC的外接圆圆心为O，且OAOBOC，则CB在CA上的投影向量为（）

3311

A.CAB.CAC.CAD.CA

2222

【答案】D

解析：由OAOBOC知OBOCOA，即CBAO，

又A,B,C三点构成ABC，所以ABC，所以四边形AOBC是平行四边形，如图：

又ABC的外接圆圆心为O，所以OAOBOC，

所以平行四边形AOBC是菱形，且OAB60,ACB120，即CB与CA的夹角为ACB120°，

设菱形AOBC的边长为a.

CBCACAaacos120CA1

则CB在CA上的投影向量为CA.

CACAaa2

故选：D.

*

5.已知数列an满足a11，an1ranr，(nN，rR，r0)，则“r1”是“数列an为等

差数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

解析：当r1时，an1ranran1an1，所以数列an为公差为1的等差数列，即充分性成立；

2，所以若数列为等差数列，则2或

an1ranr,a11a22r,a32rran4r12rr,r1

1

r，即必要性不成立，

2

综上，“r1”是“数列an为等差数列”的充分不必要条件，

故选A

1

6.Sigmoid函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为Sx，记Sx为函数Sx

1ex

的导函数，则下列说法正确的是（）

A.函数Sx是单调减函数B.SxSx1Sx

2026

C.函数Sx的最大值是1D.SkSk2026

2

k0

【答案】B

ex

Sx0

解析：对于选项A：因为Sx的定义域为R，且2，

1ex

所以函数Sx在定义域R内单调递增，故A错误；

11ex

对于选项B：因为Sx1Sxx1x2Sx，故B正确；

1e1e1ex

ex111

对于选项C：因为Sx2xx，

1exee22exex24

当且仅当exex，即x0时，等号成立，

1

所以函数Sx的最大值是，故C错误；

4

11ex1

对于选项D：因为SxSx1，

1ex1ex1ex1ex

2026

所以SkSk2027，故D错误；

k0

故选：B.

7.在平面直角坐标系中，过点P1,1作圆C:x2y22x2y0的两条切线PA，PB，切点为A，B，

已知M是圆C上的动点，则MAMB的最大值为（）

A.422B.42C.222D.221

【答案】C

22

解析：由圆C:x2y22x2y0,得x1y12,

则圆心C(1,1),半径r2,

过点P(1,1)作圆C的两条切线PA,PB,切点为A、B，

根据切线的性质,可得点A,B在以PC为直径的圆上,如图:

圆心为(0,1)，半径为1，所以其方程为x2(y1)21，

x2y22x2y0

所以为两圆的交点，联立，

A,B22

x(y1)1

解得A(0,2),B(0,0)，设圆C上的动点Mx0,y0，

则MAx0,2y0,MBx0,y0，

22

所以MAMBx0x02y0y0x0y02y0,

又是圆上的动点，所以22，即22，

MCx0y02x02y00x0y02x02y0

则22，

MAMBx0y02y02x02y02y02x0

又在圆上，所以,

Mx0,y0C12x012

所以，即，

2222x0222222MAMB222

所以MAMB的最大值为222．

故选：C．

ππ

8.已知函数fxsinx0在处取到最小值，且在区间0,上存在极大值，的最

636

小整数解是（）

A.2B.8C.10D.14

【答案】B

πππ

解析：因为fx在处取到最小值，所以sin1，

336

πππ

所以2kπ,kZ，所以26k,kZ，

362

又0，所以k0.

πππππ

当x0,，所以x，

66666

ππππ

又因为fx在区间0,上存在极大值，所以,

6266

ππ

所以，所以2，即26k2，解得k0，

63

所以26k,kZ且k1，

当k1时，8，所以的最小整数解是8.

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.记等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，若S432,S672，则（）

S

A.d4B.a16C.S52D.n2

55n2

【答案】AD

S44a16d32a2

解析：由题意可得：，解得1，故A正确；

S66a115d72d4

na1ann24n22

因为an24n14n2，S2n，

n22

S

所以n2，故D正确；

n2

且a545218，S5S4a550，故BC错误.

故选：AD

10.近年来，中国新能源汽车产业实现跨越式发展，连续多年产销量位居全球第一．某国产新能源汽车企

业为提高自动驾驶安全性，自主研发了一款智能控制芯片．若该企业生产的芯片优秀率为0.8，现从生产流

水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为X，另一随机变量Y~N4,1，则（）

A.D2X13.2B.EXEY,DXDY

C.PX3PY4D.PXk随k的增大先增加后减小

【答案】ABD

解析：由题意知X~B5,0.8，

所以EX50.84,DX50.810.80.8，

所以D2X14DX3.2，故A正确；

因为Y~N4,1，所以EY4,DY1，

所以EXEY,DXDY，故B正确；

因为PX31PX4PX5，

4455

而PX4C50.810.80.4096，PX5C50.80.32768，

所以PX310.40960.327680.26272，

由Y~N4,1知PY40.5，所以PX3PY4，故C错误；

因为005，

PX0C50.810.80.00032

114，

PX1C50.810.80.0064

223，

PX2C50.810.80.0512

332，

PX3C50.810.80.2048

由上知PX40.4096，PX50.32768，

所以PXk随k的增大先增加后减小，故D正确．

故选：ABD.

11.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（）

A.平面

A1PACD1

B.DP//平面AB1D1

C.三棱锥PAB1D1的体积不变

13

D.直线D1P与平面ACD1所成角的正弦值的取值范围是,

33

【答案】BCD

解析：对于选项A：在正方体ABCDA1B1C1D1中，C1D1//AB，C1D1AB，

所以四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD1//BC1，

同理可证AC//A1C1，

因为AD1平面ACD1，BC1平面ACD1，则BC1//平面ACD1，

因为AC平面ACD1，A1C1平面ACD1，则A1C1//平面ACD1，

Ç=

因为A1C1BC1C1，且A1C1,BC1平面A1C1B，所以平面A1C1B//平面ACD1，

因为A1P平面A1C1B，所以A1P//平面ACD1，故A错误；

对于选项B：由选项A可知：AD1//BC1，

且AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，则BC1//平面AB1D1，

在正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1//BB1，DD1BB1，

所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD//B1D1，

且B1D1平面AB1D1，BD平面AB1D1，则BD//平面AB1D1，

又因为BDBC1B，且BD,BC1平面BC1D，所以平面BC1D//平面AB1D1，

因为DP平面BC1D，所以DP//平面AB1D1，故B正确；

对于选项C：因为BC1//平面AB1D1，且点P在线段BC1上运动，

可知点P到平面AB1D1的距离为定值，

且AB1D1的面积为定值，所以三棱锥PAB1D1的体积不变，故C正确；

对于选项D：不妨设正方体的边长为2，

2

△3

因为ACD1是边长为的等边三角形，则S2223，

22ACD1

4

设点P到平面ACD1的距离为d，

114

则，解得423，

VPACDS△ACDd23dd

13133233

d

设直线D1P与平面ACD1所成角为，则sin，

D1P

23

当点P与点C重合时，DP取最小值，此时sin取最大值3；

11sin3

max23

23

当点P与点B重合时，DP取最大值，此时sin取最小值1；

1sin3

min233

13

且正弦值具有连续性，所以直线D1P与平面ACD1所成角的正弦值的取值范围是,，故D正确；

33

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

2

12.已知P为抛物线x4y上一点，若P到抛物线焦点的距离是P到x轴的距离的2倍，则点P的纵坐标

为___________．

【答案】1

解析：由抛物线x24y得其焦点F0，1，准线方程为：y1，

，

设Px0y0y00．由题意得y012y0，

1

解得y1或y（舍去），

003

故答案为：1

lgx,x0

13.已知函数f(x)，若方程有且仅有3个根，则实数a的取值范围为

xxfxax0

2,x0

______.

【答案】(0,1]

解析：方程xfxax0即xfxa0，

显然x0为方程xfxax0的一个根，

由题意方程fxa0有2个非零根，则函数yfx与ya有两个交点，

画出函数fx的图象，如图所示：

由图可知0a1，故实数a的取值范围为(0,1].

故答案为：(0,1]

14.一个箱子里有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次，每次取出1个球，

并记录其号码．设这三次的号码之和为S，若S为偶数，则三次号码都是偶数的概率为___________．

4

【答案】

31

解析：数字1,2,3,4,5中有2个偶数，3个奇数，

记事件A：三次的号码之和为偶数，事件B：三次号码都是偶数，

则事件B就是积事件AB，事件A即三次号码都为偶数或2奇1偶:

当三次号码都为偶数时，每次都有2种取法，所以共有2228种取法；

当三次号码为2奇1偶时，从三次取球中选一次取偶数，有1种选法，

C3

这一次取到偶数有2种取法，另外两次取奇数，每次都有3种取法，

根据分步乘法计数原理，这种情况共有1种取法.

C323354

方法一：所以nA85462,nAB8.

nAB84

所以PB|A,

nA6231

4

故答案为：.

31

8546288

方法二：所以PA,PAB，

555125555125

8

PAB4

由条件概率公式知PB|A125，

PA6231

125

4

故答案为：.

31

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2accosBbcosC0，

（1）求B的大小；

（2）已知b3，BD为AC边上的高，求BD的取值范围．

2

【答案】（1）B

3

1

（2）0,

2

解析：

（1）

由2accosBbcosC0，

用正弦定理得2sinAcosBsinCcosBsinBcosC0，

化简得：2sinAcosBsinBC0，

又ABC,sin(BC)sinA,

从而2sinAcosBsinA0，sinA0，

12

得cosB，又0B,B.

23

（2）

bc3

2

由正弦定理得:sinBsinC3,

2

所以c2sinC,

在RtΔABD中，BDABsinA2sinCsinC

3

312

2sinCcosCsinC3sinCcosCsinC

22

311

sin2C(1cos2C)sin2C

2262

5

因为0C，所以2C，

3666

11

所以sin2C1，即BD0,．

262

16.已知各项均不为零的等差数列的前项和为，且满足2，．

annSn2SnannR

（1）求的值；

1113

的…

（2）若bn2an1，数列bn前n项和为Tn，求证：．

T1T2Tn4

【答案】（1）1（2）证明见解析

解析：

（1）

当时，由2，得2，

n22Snann2Sn1an1n1

两式相减得22，则22，

2ananan12ananand

2

即2d2and，因为an0，

2d20d1

所以，解得，

2

d01

当时，2，解得，

n1a12a110a11

ann；

（2）

由（1）知：bn2an12n1，

n32n1

则Tnn2，

n2

11111

所以，

Tnnn22nn2

111

所以…，

T1T2Tn

111111

1...，

2324nn2

11113

1.

22n1n24

17.如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，AD//BC，ABAD，PA1，AB3，BC1，

AD2，M是PD的中点.

（1）求证：CM//平面PAB；

（2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；

221BQ

（3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不

7BD

存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见详解；

（2）3；

4

BQ1

（3）存在，.

BD2

解析：

（1）

取PA中点E，连接EM、EB，

1

又M是PD的中点，所以EM//AD，且EMAD，

2

又AD//BC，BC1，AD2，所以EM//BC，且EMBC，

所以四边形EMCB为平行四边形，所以MC//EB，

又EB平面PAB，MC平面PAB，

所以CM//平面PAB；

（2）

因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，

所以PAAB，PAAD，

又ABAD，所以以A为坐标原点，以AP为z轴，以AB为x轴，以AD为y轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，

则P0,0,1，A0,0,0，B3,0,0，C3,1,0，D0,2,0，

所以AP0,0,1，AB3,0,0，PC3,1,1，PD0,2,1，

nAP0z0

令平面PAB的法向量为nx,y,z，则，即，

nAB03x0

令y1，则x0，z0，所以平面PAB的法向量为n0,1,0，

mPC03xyz0

令平面PCD的法向量为mx,y,z，则，即，

mPD02yz0

33

令y1，则x，z2，所以平面PAB的法向量为m,1,2，

33

π

设平面PAB与平面PCD所成角为0，

2

3

01102

nm313

所以cos，

nm244

3

02120212223

3

3

所以平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为；

4

（3）

BQ

设且0≤≤1，则BQBD，由（2）可得，AB3,0,0，BD3,2,0，AP0,0,1，

BD

所以AQABBQABBD33,2,0，

z0

n1AP0

设平面PAQ的法向量为n1x,y,z，则，即，

33x2y0

n1AQ0

3333

的

令x3，则y，z0，所以平面PAQ法向量为n13,,0，

22

221

又PD0,2,1，点D到平面PAQ的距离为，

7

33

03210

n1PD22211

所以221，即，解得，

2

n723372

13

2

221BQ1

所以在线段BD上存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为，且.

7BD2

x2y2

18.已知椭圆C：1ab0的短轴长为2，椭圆C上的点到一个焦点的距离的最大值为

a2b2

21．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点P0,2作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线QA与直线QB的

斜率之和为0．

（i）求点Q的坐标；

（ii）求ABQ的面积的最大值．

x2

【答案】（1）y21

2

132

（2）（i）Q0,；（ii）

28

解析：

（1）

短轴长2b2b1，椭圆上点到一焦点最大距离ac21，

又a2b2c21c2，

解得a2，c1，

x2

椭圆方程为y21

2

（2）

（i）设过P(0,2)的直线方程为ykx2，设Ax1,y1、Bx2,y2，

x2

代入椭圆方程得(kx2)21(12k2)x28kx60，

2

23

由0可得4k260，即k;

2

8k6

依据韦达定理可得xx，xx；

1212k21212k2

y1ty2t

设Q0,t，由kQAkQB0可得0，

x1x2

xx

12

将y1kx12和y2kx22代入，化简后得2k(2t)0，

x1x2

8k611

将和代入，解得，故，．

x1x2x1x2tQ0

12k212k222

1

02

（ii）Q到直线的距离为23，

ABd

k212k21

22

弦长2，其中16k2424k6；

AB1kx1x2xx

1212k212k2

1124k26334k26

则2，

SABQABd1k2SABQ2

2212k21k22(12k)

u26

令u4k26(u0)