河北省石家庄市2025-2026学年高三数学上学期9月摸底考试

石家庄市2026届高三统一摸底考试

数学试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡

上指定位置，在其他位置作答一律无效。

3．本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．集合A{xR∣zx2i的实部为0}，B{y|y|x|,xA}，C{mZ||m|3}，i

ð

为虚数单位，则CB为（）

A．{2,1,1,2}B．{2,1,1}C．{1,1}D．{2,2}

2．设i为虚数单位，复数z0在复平面内对应的点为Z0(1，2)，且z0·z＝3＋i，则|z|＝

()

A．1B．2C．3D．2

3．作用于原点的两个力F1(1,1)，F2(2,3)，为使它们平衡需要增加力F3，则力F3的大

小为

A．(3,4)B．(3,4)C．5D．25

4．已知函数fxtanx（0）的图象的相邻两支截直线y所得线段长为，则

44

f的值是

4

3

A．0B．C．1D．3

3

5．已知抛物线y28x的焦点为F，准线为l，则焦点F到准线l的距离是（）

A．2B．4C．6D．8

+1,>2,

6．已知函数=2则2=()

�+3,2,

�−�

���

���≤

A．4B．3C．2D．无意义

7．在四面体OABC中，OAOBOAOCOBOC0,OAOC2，若直线OC与平面

ABC所成角为30，则OB（）

A．1B．2C．3D．2

3fx

8．已知fxalnx1x34x2，gxxexlnxx，若不等式0的解集中

4gx

只含有2个正整数，则a的取值范围为（）

25729

A．,B．,0

ln5ln6ln3

92572

C．,0D．,

ln2ln4ln5

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

5

9．在2+1的展开式中,下列说法正确的是()

3

A．x的系�数为�10

B．第4项的二项式系数为10

C．没有常数项

D．各项系数的和为32

x2y2

10．已知双曲线C:1(a0,b0)的左，右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别

a2b2

为A，B．Px0,y0为双曲线C在第一象限上的点，设PA，PB的斜率分别为k1，k2，且

3

kk．过点P作双曲线C的切线与双曲线的渐近线交于M，N两点，则（）

124

|PA|7

A．的值随着x0的增大而减小B．双曲线C的离心率为

|PB|2

C．k1k23D．|PM||PN|

A．ABC周长为57

B．ABC三个内角A，C，B满足关系AB2C

221

C．ABC外接圆半径为

3

19

D．ABC中线CD的长为

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

1

12．已知函数yfx的图像在点M1，f1处的切线方程是yx2，则f1f1

2

＝．

13．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几

何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，EF//平面ABCD，ADE和

△BCF均为等边三角形，且EF2AB6．则这个几何体的外接球的体积为．

y2

14．双曲线C:x22的虚轴长为，以C的左焦点为圆心，1为半径的圆的标准

7

方程为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

*

15．已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且存在实数λ满足2an+1=λan+4,n∈N.

(1)求λ的值及通项an;

(2)求数列{2}的前n项和Sn.

16．在△ABC中，�内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，延长BC至M，使得MC＝3BC＝

�−�

6，CA⊥AM，且3atan∠BAC＝bcos∠ACB＋ccosB．

(1)求的值；

𝐴

(2)求△𝐴ABM的面积．

17．如图①所示，在Rt中，=90，=30，=2，为中点.过点作

，垂足为.现将沿翻折至∘的位∘置，如图②所示，连接，，

△𝐴���������

过点作，垂足为，且=1.

𝐸⊥𝐴�△�𝐸𝐸2△�𝐸𝐴��

�𝑃⊥�����

图①图②

（1）若平面平面=，求证：//；

（2）求二面角的正弦值.

�𝑃∩𝐴�����

x1lnxa1

18．已知函数f�−x��−�,aR,且函数f(x)有两个极值点.

x

(1)求a的范围;

(2)若函数f(x)的两个极值点为x1,x2(x1x2)且3x1x2，求lnx1lnx22a的最大值.

2226

19．已知F，F分别为椭圆:+=1>>0的左、右焦点，点P,1在椭圆

1222C

��3

�����

1

上，离心率为．

2

(1)求椭圆C的方程；

182

(2)设A为椭圆C的左顶点，过点F2的直线l交椭圆C于D,E两点，S△，求直

ADE7

线l的方程．

x0xy0y

(3)若过椭圆上一点0,0的切线方程为1，利用上述结论，设d是从椭圆中

a2b2

���2

心到椭圆在点Q处切线的距离，当Q在椭圆上运动时，判断dQF1QF2是否为定值．若是

求出定值，若不是说明理由．

数学答案

1.A2.B3.C4.A5.B6.C7.B8.C

9.BC10.ABD11.ABD

12．313．36π14．214；(x4)2y21.

15．(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),

*

由2an+1=λan+4(n∈N),①

*

得2an=λan-1+4(n∈N,n≥2),②

①-②得,2d=λd.

又因为d≠0,所以λ=2.

将λ=2代入①,

可得an+1-an=2,即d=2.

又因为a1=1,所以an=1+(n-1)×2=2n-1.

nn+1

(2)由(1)可得a2n-n=2(2-n)-1=2-(2n+1),

n

所以S=(22+23+…+2n+1)-[3+5+…+(2n+1)]=4(1-2)-n(3+2n+1)=2n+2-n2-2n-4.

n1-22

16．(1)由正弦定理得3sin∠BACtan∠BAC＝sinBcos∠ACB＋sin∠ACBcosB＝sin(B＋

∠ACB)，

因为B＋∠ACB＝π－∠BAC，

所以sin(B＋∠ACB)＝sin(π－∠BAC)＝sin∠BAC，且sin∠BAC≠0，

所以tan∠BAC＝3.

3

因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝π.

6

BCABABAM3

在△ABC中，π＝＝，化简可得＝.

sinsin∠ACBAMAB2

66

(2)设AB＝2x，则AM＝3x.在△ABM中，由余弦定理得AB2＋AM2－2AB·AMcos∠BAM＝BM2，

即4x2＋9x2－12x2·-1＝64，解得x2＝64，

219

所以S＝1·2x·3x·3＝33×64＝963.

△ABM2221919

17．（1）在题图①中，BC=2，∠BAC=30∘，所以AB=4，AC=23，

因为E为AC的中点，EF⊥AB，所以AE=3，AF=3.

2

因为FG=1，所以点G在题图①中AB的中点位置，所以EG//BC，

2

在题图②中，因为EG⊂平面PEG，BC⊄平面PEG，

所以BC//平面PEG，

因为BC⊂平面PBC，平面PEG∩平面PBC=l，所以BC//l.

（2）在题图②中，因为EF⊥PF，EF⊥BF，PF∩BF=F，PF，BF⊂平面PBF，

所以EF⊥平面PBF，

又EF⊂平面EFBC，所以平面PFB⊥平面EFBC，

因为平面PFB∩平面EFBC=FB，PG⊥FB，PG⊂平面PFB,所以PG⊥平面EFBC.

22

由（1）知AF=3，即PF=3，又GF=1，所以PG=3-1=2，

22222

过点G在平面GECB内作Gy⊥EG，

以G为坐标原点，GE,Gy,GP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则P0,0,2，E1,0,0，C1,3,0，B-1,3,0，

所以PC=1,3,-2，EC=0,3,0，BP=1,-3,2.

→

n1⋅PC=x+3y-2z=0,

设平面PEC的法向量为n1=x,y,z，则→

n1⋅EC=3y=0,

令x=2，解得z=2，

所以n1=2,0,2.

→

n2⋅PC=m+3n-2a=0,

设平面PBC的法向量为n2=m,n,a，则→

n2⋅BP=m-3n+2a=0,

令n=2，解得a=3，所以n2=(0,2,3)，

n1⋅n26125

所以cosn1,n2===，所以sinn1,n2=，

⟨⟩n1⋅n26⋅55⟨⟩5

所以二面角E-PC-B的正弦值为25.

5

xlnxa

18．（1）由题得，f(x),(x0)，

x2

令h(x)xlnxa,(x0)，

则函数f(x)有两个极值点，即方程h(x)0有两个正实数根.

1x1

因为h(x)1，

xx

所以当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递减，

当x(1,)时，h(x)0，h(x)单调递增，

所以，h(x)minh(1)1a，

且当x0时，h(x)，x时，h(x).

所以方程h(x)0有两个正实数根，

只需h(1)1a0，解得a1，

即函数f(x)有两个极值点时，a的范围为(1,).

x

2

（2）由0x1x2且3x1x2，令t，则t(1,3]，

x1

由（1）知，h(x1)h(x2)0，

即ax1lnx1x2lnx2，

x2

则x2x1lnlnt，

x1

lnt

即tx1x1lnt，解得x，

1t1

tlnt

所以xtx.

21t1

lnttlnt(t1)lnt

则lnxlnx2axx，

1212t1t1t1

(t1)lnt

令(t),t(1,3]，

t1

t11

(lnt)(t1)(t1)lnt2lntt

则tt，

(t)22

(t1)t1

1

令P(t)2lntt，

t

21(t1)2

则P(t)10,t(1,3]

tt2t2

所以函数P(t)在(1,3]上单调递增，

又P(1)0，所以P(t)P(1)，则P(t)0.

当t(1,3]时，(t)0，

所以(t)在(1,3]上单调递增，

则当t3时，(t)max(3)2ln3.

即lnx1lnx22a的最大值为2ln3.

c1

19．（1）设F(c,0)，F(c,0)，e，故a2c，

12a2

26241

点P,1在椭圆C上，则，

221

39ab

241

1

22224122

bac，故得1，即9a21

9a2a2c2aa

2

x2y2

解得a2,b3，故椭圆C的方程为1．

43

（2）由（1）知，A(2,0)，F2(1,0)，若直线l的斜率不存在，

1y23

则x1，代入椭圆方程可得1，故y，

432

11182

此时S2yAF33,故直线有斜率，

ADE2227

直线l的斜率为k，则l的方程为yk(x1)，

yk(x1)

2222

由x2y2,消去y得(4k3)x8kx4k120，①

1

43

8k24k212

显然0，设D(x1,y1)，E(x2,y2)，则xx,xx，

124k23124k23

于是，

113232

SyyAF3kxxk2xxk2xx4xx

ADE221222122122121

22242

328k4k12kk182

k41