河北省名校联考2026届高三数学上学期11月期中测试含解析

2025-2026学年高三上学期11月期中调研检测

数学试题

一、单选题

x2y2

1．双曲线Γ:1的实轴长为m，焦距为n，则mn（）

45

A．1B．1C．2D．4

∣∣2

2．已知集合Axylog0.5x，集合Byyx,x1，则AB（）

A．0,1B．0,1C．0,1D．0,1

1ix1iy

3．已知x,yR,i为虚数单位，则“xy”是“”为纯虚数的（）

i

A．必要不充分条件B．充要条件

C．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件

4．从110这10个正整数中任选3个正整数，所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率（）

15111

A．B．C．D．

661212

5．已知m,n,l为三条不同的直线，,,为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A．若m//n,n，则m//

B．若,l,ml，则m

C．若,,l，则l

D．若,l，则l//

6．已知实数x,y满足2x4y4，则xy的最小值为（）

A．1B．2C．4D．8

3ab

7．已知a0,b0，则的取值范围为（）

a2b2

13

A．,1B．,1C．1,2D．3,2

22

8．已知关于x的方程x2axlnaa2xalnx(a0且a1)在0,上恰好有两个不等的实数根，则实数a的

取值范围为（）

A．1,B．1,ee,

C．e,D．e,ee,

二、多选题

9．下列说法中不正确的是（）

1

A．若随机变量XB9,，则EX2DX1

3

B．若三个随机事件A､B､C两两独立，则PABCPAPBPC

C．一组数据是90,85,80,70,60,55,50,40，则该组数据的第三四分位数是82.5

D．在线性回归分析中，两个变量的相关系数越大，变量之间相关性越强

2*

10．已知数列an的前n项和为Sn，且Snn10nnN，则下列说法正确的是（）

A．数列an为等差数列

B．a29,a33,a41成等比数列

C．Sn有最小值

10nn2,n5

D．数列的前n项和为

an2

n10n50,n5

11．已知曲线E:x2y2x2y21x，点Px,y是曲线E上的动点，下列说法正确的是（）

A．曲线E关于直线y0对称

B．点P到原点的距离可能比2大

C．曲线E上恰有4个格点（横纵坐标均为整数的点）

3333

D．点P纵坐标的取值范围为,

44

三、填空题

π

12．已知tan2，则sincos.

2

x

13．曲线fx2在0,f0处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为log2m，则正实数m.

1

14．设随机变量满足Pi（其中i1,2,3,4），直线yx2与抛物线Γ:yax2a0的公共点

4

7

个数为随机变量X，若X的数学期望EX，则抛物线Γ的焦点坐标为.

4

四、解答题

15．记ABC内角A､B､C的对边分别是a､b､c，已知sin2Bsin2C2sinBsinBC且BC.

a

(1)求的值；

b

(2)若c3，求ABC面积的最大值.

16．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC2,B1C1A1C.

(1)证明：A1CAB1；

10

(2)当BC为何值时，平面AB1C与平面A1B1C夹角的余弦值为.

4

310

17．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点M1,2和点N,.

22

(1)求椭圆Γ的标准方程；

(2)斜率为2的直线l与椭圆Γ分别交于A,B两点（均异于点M），求△MAB面积的最大值.

43*

18．已知正项数列an满足a1,an1anan22annN,Sn是数列an前n项和.

3

(1)证明：an1；

(2)证明：数列an为递减数列；

an115

(3)比较与的大小，并证明Snn2.

an16

19．已知区间D1和区间D2，我们把含有x,m的代数式记作“fx,m”.现有如下定义：

定义1：若mD1,xD2，使得fx,m0，则称“fx,m”是“任意m存在x型”代数式；

定义2：若xD2,mD1，使得fx,m0，则称“fx,m”是“存在x任意m型”代数式.

p2pp

(1)写出命题“mR,x0Z，使得mx0”的否定形式，并判断命题的真假；（直接写出结果即

可，不用说明理由）

(2)若xR,R，使得5cosxcos5xb，求实数b的最小值；

mx2x1

(3)已知区间D10,1,D20,，代数式fx,m1mD,xD，请判断“fx,m”是

2ex12

“任意m存在x型”代数式？还是“存在x任意m型”代数式，并说明理由.

参考答案

1．C

x2y2

【详解】由1知双曲线的焦点在x轴上，且a24,b25.

45

∴a2，ca2b23，

所以m=2a=4，n2c6，mn2.

故选：C.

2．D

【详解】由log0.5x0，即0x1，则A0,1；

由yx2x1，虽然x1，但当x1时y1，所以B0,.

所以AB0,1.

故选：B.

3．A

1ix1iyxyixy

【详解】由xyxyi为纯虚数，

ii

xy0

得，即xy0，

xy0

1ix1iy

所以“xy”是“”为纯虚数的必要不充分条件，

i

故选：A.

4．B

【详解】由题意知：110中的素数为2，3，5，7，共4个，

C35

6

所以所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率：P13，

C106

故选：B.

5．C

【详解】A选项，当m时，m//不成立，故A错误；

B选项，当m时，可以符合ml，而不符合m，故B错误；

C选项，设a，b；

在内过l上一点P作直线pa，则p，故pl；

再作直线qb，则q，故ql；

由于p与q相交于P，l，故C正确；

D选项，当l时，l//不成立，故D错误；

故选：C.

6．B

【详解】令xyt，则xyt，

2

则由2x4y4，得到2y2t2y40，

令m2y0，

则m22tm40，存在正根，

t

mm202

又12，所以只需2t160，

m1m240

解得：t2，当x3,y1时，取等号，

所以xy的最小值为2，

故选：B

7．C

【详解】由题意知：点a,b位于第一象限，

π

设点a,b在角的终边上，则acos,bsin0，

2

3ab3ab

由三角函数的定义知

a2b2a2b2a2b2

π

3cossin2sin，

3

πππ5π

0，，

2336

1ππ

sin1，12sin2，

233

3ab

即的取值范围为1,2．

a2b2

故选：C．

8．B

22

【详解】对x2axlnaa2xalnx得xalnxaaxlnax，

而函数yx2lnx在0,上为增函数，

所以xaax，对xaax两边同时取自然对数，

lnalnx

得alnxxlna，即，

ax

lnalnx

所以y与fx图象恰好有两个交点，

ax

1lnx

又fx，则fx在0,e单调递增；在e,单调递减，

x2

1

而fe，当x0时，fx，当x时，fx0，

e

lna1

故0，

ae

故实数a的取值范围为1,ee,.

故选：B.

9．BD

11

【详解】因为随机变量XB9,，那么n9,p，

33

112

所以EXnp93，DXnp1p92，

333

则EX2DXEX4EX4341，所以A正确；

三个随机事件A､B､C两两独立，且A､B､C相互独立才有PABCPAPBPC，所以B错误；

将数据90,85,80,70,60,55,50,40从小到大排序为40,50,55,60,70,80,85,90，

8085

因为n80.756，则该组数据的第三四分位数是第6项与第7项的平均数82.5，所以C项正确；

2

在回归分析中，相关系数的绝对值越大，变量之间的相关性越强，而不是相关系数越大，变量之间相关性

越强，

因为相关系数有正负之分，正相关系数表示正相关，负相关系数表示负相关，所以选项D错误；

所以错误的选项为BD.

故选：BD.

10．ABD

2

【详解】对于A选项，当n1时，a1S11109，

22

当n2时，anSnSn1n10nn110n12n11，

*

由于当n1，a121119，因此可得：an2n11nN，

*

又因为anan12n112n1112nN,n2，

得证：数列an为等差数列，首项a19，公差d2.故A选项正确；

对于B选项，由a292211916，

a33231138，a41241114，

a33a411

由于，可得：a29,a33,a41成等比数列.故B选项正确；

a29a332

22

对于C选项，由Snn10nn525，

*

可知：当n5，nN时，Sn单调递增；

*

当n5，nN时，Sn单调递减，因此当n5时，Sn取得最大值；无最小值.

故C选项错误；

对于D选项，设数列an的前n项和为Tn，

*

由an2n11可得：当n5，nN时，an0，当n5，an0.

*2

因此可得：当n5，nN时，TnSn10nn，

*

当n5，nN时，Tna1a2a5a6a7an

2

2a1a2a5a1a2a3an2S5Snn10n50，

10nn2,n5

综上可得：数列的前n项和为，故D选项正确；

anTn2

n10n50,n5

故选：ABD

11．ACD

【详解】用y替换曲线E中的y得到的曲线仍为E，所以曲线E关于直线y0对称，故A正确；

令rx2y2，将其代入曲线E，可得xr2r；

2

而曲线E:x2y2x2y2x，所以r2ry2rr2r，即y22r3r4，

由y20得0r2，且当x2,y0时，r2，故点P到原点的最大距离为2，从而B错误；

2

注意到：曲线过原点，所以22的取值范围为，从而111，

Erxy0,2xr,2

244

将x0代入曲线E得y0,1,1；

15

将x1代入曲线E得y2Z；

2

将x2代入曲线E得y0；

所以曲线E上的格点为0,0,0,1,0,1,2,0，故C正确；

令y22r3r4fr（0r2），

则fr6r24r32r232r，

33

由fr00r；由fr0r2.

22

33

所以fr在0,单调递增；在,2单调递减，

22

327227

而f0f20,f，所以y的取值范围为0,，

21616

3333

即y的取值范围为,，故D正确.

44

故选：ACD

2

12．/-0.4

5

π

sin

π2cos1

【详解】由题意有：tan2tan，

2πsin2

cos

2

1

sincostan22

所以sincos2，

sin2cos2tan2115

1

2

2

故答案为：.

5

13．e

【详解】由题意有：f0201，fx2xln2，f0ln2，

1

所以切线方程为：y1xln2，令x0,y1，令y0,x，

ln2

1

所以切线与坐标轴的交点为：0，1，,0，

ln2

1111lnm1

所以切线与坐标轴围成的三角形面积为：S1logmlnmme，

2ln22ln22ln22

故答案为：e.

14．0,2

【详解】设分别取1,2,3,4时，对应的直线与抛物线Γ的交点个数分别是m1,m2,m3,m4，

则mi0,1,2，其中i1,2,3,4，

1

从而PXmPi，

i4

7mmmm

所以EX1234，故mmmm7，

441234

因为mi0,1,2，所以必有三个mi取值为2，一个mj取值为1，

设直线yjx2与抛物线yax2相切，

yjx2222

由2得axjx20，由Δj8a0得8aj，

yax

对于其余ij的三个值，直线yix2均与抛物线有两个交点，则Δi28a0

所以i2j2，在i,j1,2,3,4中，只有当j1时，其余i2,3,4均满足i2j2，

1

因此，只有直线yx2与抛物线yax2相切，即m1，故a，

18

所以抛物线方程为x28y，故焦点坐标为0,2.

故答案为：0,2.

15．(1)2

(2)3

1cos2B1cos2C

【详解】（1）由题意得2sinBsinBC

22

1

即cos2Bcos2C2sinBsinBC

2

1

即2sinBCsinBC2sinBsinBC

2

即sinAsinBC2sinBsinBC

a

因为BC，所以sinBC0，故sinA2sinB，即2.

b

（2）由（1）知a2b，当c3时，

2222

1121abc

ABC面积为absinCab1cosCab1

2222ab

2222

5b95b92

24944528192

b12b12bbb593

4b4b1681616

当b25，即a25,b5时，ABC的面积最大，且ABC面积的最大值为3.

16．(1)证明见解析

(2)6

【详解】（1）因为AA1AC，所以由直三棱柱的性质知四边形AA1C1C为正方形，所以A1CAC1，

而B1C1A1C,B1C1AC1C1，B1C1,AC1平面AB1C1，所以A1C平面AB1C1，

而AB1平面AB1C1，所以A1CAB1；

（2）由题意知B1C1A1C,B1C1CC1,A1CCC1C，A1C,CC1平面AA1C1C，

所以B1C1平面AA1C1C，而A1C1平面AA1C1C，

所以B1C1A1C1，故C1A1,C1B1,C1C两两垂直，

x,y,z

以C1为坐标原点，C1B1,C1A1,C1C方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，

设BCaa0，

则C10,0,0,A10,2,0,A0,2,2,B1a,0,0,C0,0,2，

从而CA0,2,0,CB1a,0,2,A1C0,2,2，

设平面AB1C的一个法向量为mx1,y1,z1，

mCA02y10

则，即，可取m2,0,a，

ax2z0

mCB1011

设平面A1B1C的一个法向量为nx2,y2,z2，

nA1C02y22z20

则，即，可取n2,a,a，

ax2z0

nCB1022

mna2410

故cosm,n，

mn4a22a244

平方化简得a26，又a0，所以a6，故BC6.

y2x2

17．(1)1

42

(2)2

【详解】（1）设椭圆Γ的方程为sx2ty21s0,t0,st

1

s2t1s

2

则35，解得

st11

42t

4

y2x2

故椭圆Γ的标准方程为1

42

（2）设直线l的方程为l:y2xm,Ax1,y1,Bx2,y2，

y2xm

22

由x2y2得4x22mxm40

1

24

2

22mm4

故Δ88m0得0m28,xx,xx，

122124

2

2

22mm46

22，

AB1(2)x1x23x1x24x1x2348m

242

m

点M到直线l的距离h，

3

2

12|m|28m2

所以22，

SMABABhm8m2

2442

当且仅当m8m2，即m24（满足Δ0）时取得最大值，

从而△MAB面积的最大值为2.

18．(1)证明见解析

(2)证明见解析

a15

(3)n1，证明见解析

an16

2

32

【详解】（1）证明：由an0及an1anan22an得an1an2，

an

2

21aa1a2

所以22nnn

an11an12an1an1

ananan

4

若a中存在某项an1，则anan1a11，这与已知条件a矛盾，

n00013

a

所以an0且n1；

2

an1an24

故恒大于0，所以an11，而a11，故an1

an3

a1a2a2

（2）证明：因为22nnn，

an1ananan2

anan

而an1，所以an1an与an2同号

a2a22a1

因为22nnn，

an12an22

anan

所以an12与an2同号

而a120，所以an20，所以an1an0，故anan1，

综上，数列an为递减数列.

2

a1a2

（3）由（1）知nn，且

an11an1

an

an11an1an22

故an1，

an1anan

44

由（2）知数列a是递减数列，而a，所以1a；

n13n3

24

而函数yx1是1,上的增函数，

x3

an112435*

所以an121nN

an1an346

2n1n1

从而55515；

an1an11an21a11

66636

n1

所以15*

an1nN

36

n

5

1n

165