安徽省蚌埠市2026届高三数学第一次教学质量检查考试试题含解析

安徽蚌埠市2026届高三数学第一次教学质量检查考试试题

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在

本试卷上无效．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1.已知集合，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】化简集合，再根据并集的概念求解.

【详解】，又，

所以，即，

故选：A.

2.已知i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】由已知得到，再根据复数的几何意义求解.

【详解】由，即得，

根据复数的几何意义复数对应复平面内的点，位于第三象限，

故选：C

3.某高中为了解在校学生的身高发育情况，在高一、高二、高三年级中各随机抽取了的学生，并分别

统计了三个年级所抽取学生的平均身高，列表如下：

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年级高一高二高三

样本容量383230

平均身高

则估计该校全体学生的平均身高为（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据均值的定义判断．

【详解】由题意平均身高为，

故选：D．

4.已知非零向量与的夹角为，则“”是“为锐角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】为锐角时，，因此是必要的，

时，，满足，但不是锐角，因此不充分，故是必要不充分条件，

故选：B．

5.已知，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

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【分析】根据平方关系和商数关系求出，再由二倍角公式求解，利用诱导公式化简

求值.

【详解】因为，，所以，

由，解得，

因为，所以，，

由，即解得，

所以.

故选：B.

6.已知点是椭圆上的一点，为的左焦点，则以PF为直径的圆与圆的

位置关系是（）

A.内含B.内切C.相交D.外切

【答案】A

【解析】

【分析】通过椭圆的定义和三角形中位线定理，得出两圆的圆心距，再比较它与的大

小判定两圆的位置关系.

【详解】因为椭圆方程为，所以，得，

以为直径的圆，圆心为的中点，设为，半径为，

设为右焦点，则原点为的中点，如下图：

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根据椭圆定义，

则，

圆，圆心为，半径，

则，即两圆圆心距小于两半径之差，

所以两圆内含，

故选：A.

7.已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差数列的性质，将转化为前项和的比值进行计算。

【详解】根据等差中项性质，，

所以.

又因为等差数列前项和，

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所以.

已知，令，则，

因此，，

故选：C.

8.已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，

则不等式的解集是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数奇偶性以及导函数性质可得，求导并利用基本不等式可判断

的单调性，解不等式可得结果.

【详解】由题意知，两边同时求导，即是奇函数，

令，

则，可得，

令，

可得，

易知，当且仅当时，等号成立；

即函数在上单调递减，又是奇函数，可得,

当时，,单调递增，当时，,单调递减，

因函数是偶函数，则，

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可知不等式等价于，即，

即，即可得，解得或,

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知，且，则（）

A.B.C.D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据不等式的性质及基本不等式的应用，需逐一分析选项，结合已知条件且

进行判断.

【详解】A选项，因为，所以，

由于，则，所以，A选项正确；

B选项，，

因为（当且仅当时取等号），

所以，则，B选项正确；

C选项，，由，可得，

所以，C选项错误；

D选项，因为，所以，

函数在上单调递增，所以，即，D选项正确.

故选：ABD.

10.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于点．

连接BF并延长交于点，点为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A.B.存在直线，使为直角

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C.D.直线MB与ME斜率之和零

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A，设过点的直线方程并联立抛物线，利用韦达定理得到，进而推出；对

B，假设为直角，通过数量积推出，与抛物线的性质矛盾，从而判定为错误；对C，

利用抛物线焦点弦的性质求出点的坐标，计算数量积，判定为正确；对D，求出直线与

的斜率表达式，代入点坐标化简后，发现两者斜率互为相反数，和为零.

【详解】对于A：设直线，由得，

由韦达定理可得，所以，A正确；

对于B：由抛物线方程可知焦点，则，

若为直角，则，即，

解得，但抛物线上的点满足，B错误；

对于C：点在直线上，由抛物线焦点弦的性质，所以，，

，C正确；

对于D：直线的斜率，直线的斜率，

又，

所以，

所以，D正确；

故选：ACD.

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11.某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客

第一次抽奖的中奖概率为，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为，若前

一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为．记顾客第次抽奖的中奖概率为，则（）

A.B.某顾客消费200元，则其中奖概率为

C.的最大值为D.当时，越大，越小

【答案】AC

【解析】

【分析】对A，根据抽奖规则建立递推公式，代入算出验证选项；对B，用对立事件概率公式计算两

次抽奖至少中奖一次的概率进行判断；对C，将递推公式变形构造等比数列，求出通项后分奇偶

讨论验证选项；对D，根据通项公式分析奇偶项的单调性，进行判断.

【详解】对于A：由题意可得，

所以，A正确；

对于B：第一次未中奖的概率为，在第一次未中奖的条件下，第二次也未中奖的概率为，

因此，两次均未中奖的概率为，由对立事件的概率可得其中奖概率为：，B错误；

对于C：由得，所以等比数列，

首项为，公比为，

所以.

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当为奇数时，；

当为偶数时，随增大而减小，当时取得最大值，

综上，最大值为，C正确；

对于D：当为奇数时，，随的增大而增大；

当为偶数时，随增大而减小，D错误；

故选：AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知函数若，则________________.

【答案】

【解析】

【分析】求出，再代入求值即可

【详解】因为，所以，

因为，所以且，得.

故答案为：

13.若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆台的体积为______________.

【答案】

【解析】

【分析】设上底面半径为，结合题意得母线，下底面半径为，再结合侧面积求得，最

后计算体积即可.

【详解】如图，根据题意，，，

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所以，在中，，，

设上底面半径为，则下底面半径为，

所以圆台的侧面积为，解得

所以圆台的体积为

故答案为：

14.干支纪年是中国的一种纪年法，分别排列出十天干与十二地支如下：

天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与

第二个地支“丑”配出“乙丑”，…，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一

个地支开始循环使用．若2026年即丙午年为第1年，则第年是____________年（用干支纪年表示）．

【答案】丙午

【解析】

【分析】将问题利用二项式定理解决整除问题求解.

【详解】由题意可知干支纪年排列的周期为.

，

由二项式定理，

，

则除最后一项外，其余各项都能被整除，

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而，

则除最后一项外，其余各项都能被整除，

所以被除所得余数为，即第年与第一年的干支纪年相同，

故答案为：丙午.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知且．

（1）求；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）方法一：根据正弦定理将条件中的角转化为边，再结合余弦定理得出

，进而即可得出结论.

方法二：根据，将条件转化为角之间的关系，求出.

（2）根据三角形的面积公式求解.

【小问1详解】

方法一：由条件及正弦定理，，所以，

由余弦定理，，

，化简得，

所以，可得，

，又，所以．

方法二：由题意，所以，

又由，得，故

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，

即，

解得，从而．

【小问2详解】

由（1）知，，

的面积为．

16.某市科协开展“科技大篷车”进校园活动，为了解此次活动的效果，对某校参与活动的480名同学进行了

问卷调查，得到如下列联表：

对活动的评价满意不满意合计

男生24040280

女生12080200

合计360120480

（1）根据小概率值的独立性检验，分析对活动的评价是否与性别有关；

（2）在对活动评价“不满意”的学生中抽取2名男生和4名女生，从中任选3人了解不满意的原因，记选中

的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．

附：，

0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

【答案】（1）与性别有关

（2）分布列见解析，1

【解析】

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【分析】（1）提出零假设，计算出的值并比较大小即可得出结论；

（2）易知的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应概率即可求得分布列和期望.

【小问1详解】

零假设为：对活动的评价与性别无关，

根据表中数据可得，，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对活动的评价与性别有关，该推断犯

错误的概率不超过0.001.

【小问2详解】

的所有可能取值为0，1，2，

，

故的分布列为

012

.

17.如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为棱上

一点．

（1）当时，求证：平面；

（2）已知平面平面，当二面角的大小为时，求

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．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】（1）取的中点，证明四边形是平行四边形，可得，利用线面平行的判

定定理证明；

（2）法1，由题易得平面，，以为原点，所在直线分别为轴，

轴，轴建立空间直角坐标系，设，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解；

法2，作于点于点，即得，运算得解.

【小问1详解】

由条件得，是的中点，取的中点，连接，，（如图1），

则，

在菱形中，为的中点，所以，

所以，且，所以四边形是平行四边形，

则，而平面平面，

所以平面.

【小问2详解】

由为的中点，则，

而平面平面，平面平面平面，

所以平面.

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（方法一）底面是菱形，，所以为正三角形，则，

以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图2），

则，

设，其中，则，

，

设平面的法向量为，所以，

即，取，可得，

又平面即平面的法向量为，

由二面角的大小为，则，

即，化简得，

又，所以，即.

（方法二）作于点于点，连（如图3），

依题意，平面，

故平面，从而，故，

设，则，

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而，故，

又，故，解得，即.

18.已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，为坐标

原点，直线经过点与双曲线的右支交于M，N点，为MN的中点．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）直线平行于，且与双曲线的右支相切于点．

（i）求证：O，P，Q三点共线；

（ii）设直线与两条渐近线相交于A，B点，直线与两条渐近线相交于C，D点，记的面

积分别为，求的最大值．

【答案】（1）

（2）（i）证明见解析（ii）

【解析】

【分析】（1）依题意可得、，结合，即可求出、；

（2）（i）设直线方程为，联立直线与双曲线方程，消元，

列出韦达定理，即可求出，再设直线的方程为，计算出，即可证明；

（ii）记与轴的交点为，则，结合的范围计算可得.

【小问1详解】

双曲线的渐近线方程为，

依题意可得，即，又，，

解得，

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所以双曲线的标准方程为．

【小问2详解】

（i）设直线方程为，

联立方程，，得，

则，

所以，

则.

可知直线的斜率为，

设直线的方程为，

联立方程，得，

由，得，

所以，解得，从而，

可知直线的斜率．

由，为公共点，所以，，三点共线．

（ii）记与轴的交点为，由（i）知点坐标为．

因为直线平行于，所以，

所以，又，

所以的最大值为

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19.已知函数．

（1）若直线与函数的图象均相切，求直线的方程；

（2）记．

（i）求的单调区间；

（ii）若，其中，求证：