七年级数学下册第2讲 平行线的判定（核心考点讲与练）-（解析版）

第2讲平行线的判定（核心考点讲与练）

聚焦考点

一、平行公理及推论

i.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

要点诠释：

（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质.

⑵公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一.

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

二、直线平行的判定

判定方法L同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言:

Z3=Z2

.・.AB#CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

Z1=Z2

•••AB/7CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

•:Z4+Z2=180°

・•・AB〃CI）（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

名师点睛

考点一：平行公理及推论

【例题1】（2019春•余姚市期末）已知在同一平面内有三条不同的直线a,b,0,下列说法错

误的是（)

A.如果a〃4，a_Lc,那么8JLcB.如果A"a,c//a,那么力〃。

C.如果b_La,c_La,那么力JLcI）.如果〃_La,cJLa,那么b〃c

【分析】根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平面

内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可.

【解答】解：力、如果b,aA-c,那么b_Lc,说法正确；

B、如果Z?〃a,c//a,那么力〃c,说法正确；

C、如果。_La,c_La,那么Z?_Lc,说法错误；

〃、如果b_La,c_La,那么。〃c,说法正确；

故选：C.

【点评】此题主要考查了平行公理及推论，关键是熟练掌握所学定理.

【变式训练1】（2018春•杭州期中）下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；

②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若

aLb,c上b,贝Ua与c的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正

确的是①③⑤.

【分析】根据平行线的定义及平行公理和两点间的距寓定义进行判断.

【解答】解：两点之间的距离是两点间的线段的长度，①正确；

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，②缙误；

两点之间的所有连线中，线段最短，③正确；

在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，④错误；

只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，⑤正确；

故答案为：①③⑤.

【点评】本题主要考查了对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做

到对它们正确理解，对不同的儿何语言的表达要注意理解它们所包含的意义.

【变式训练2】（2020春•椒江区期末）如图，AB"CD,AR〃GE,Z/?=U0°,ZC=100°.Z

的T等于多少度？为什么？

【分析】由力〃〃徽AB"G晦CD〃GE,根据两直线平行，同旁内角互补得到

180°,ZOZ67^=180°,而N加=110°,NC=100°,可以求出//?/%和NQ*最后

可以求出/匕

【解答】解：N/?此等于30度，理由如下：

'：AB//GE,

跖。=180。，

VZ^=110°,

：・NBFG=18G0-110°=70°,

'：AB//CD,AB//GE.

:.CD//GE,

：,ZC+ZCFE=i80°,

yZC=100°.

.*.ZOT=180°-100°=80°,

：・/BFC=180°-/步G-N*=180°-70°-80°=30°.

【点评】本题考查了平行公理的推论和平行线的性质.解题的关键是掌握平行线的性质：

两直线平行，同旁内角互补；平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么

这两条直线也互相平行.

考点二：平行线的判定

【例题2】（2021秋♦平阳县期中）如图，下列条件中①/1=/2；②N3=N4；③N2+N5=

Z6；④N%*N2+N3=180°,能判断力。〃比的是（）

B

A.®@®B.①®@C.©@D.①②③④

【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行;

同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可.

【解答】解:①・・・/l=N2,

・•・//〃8G

②・・・N3=/4,

：.AB//CDx

③・・・N2+N5=N6,Z1+Z5=Z6,

AZ1=Z2,

：.AD//BCx

④•••NZZ48+N2+N3=180°,

：・/DA/NABC=180°,

：,AD//BCx

可以判断力0〃式的有①③@.

故选：A.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平厅线的判定方法，找出被截直线是解

题关键.

【变式训练1】（2021秋•余姚市期中）木条a、b、。如图用螺丝固定在木板a上且//身勺条°,

/DEM=70°,将木条小木条氏木条。看作是在同一平面a内的三条直线力。、DF、腑；若

使直线〃；宜线以达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（)

,L

A

A.木条。、c固定不动，木条〃绕点例页时针旋转20°

B.木条反。固定不动，木条a绕点右逆时针旋转160°

C.木条a、。固定不动，木条力绕点碘时针旋转20°

D.木条a、。固定不动，木条/端点创页时针旋转110°

【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可.

【解答】解：A.木条从c固定不动，木条石绕点例页时针旋转20°,

・•・/力蔗=500+20°=70°=/DEM,

：.AC//DF,

故力不符合题意；

B.木条氏c固定不动，木条a绕点碘时针旋转160°

：.4CBE=5G+20°=70°=4DEM,

:.AC//DF,

故坏符合题意；

C.木条a、。固定不动，木条/端点碘时针旋转20°,

••・NM"=70°-20°=50°=/ABE,

：.AC//DFt

故坏符合题意；

D.木条a、。固定不动，木条旅点创页时针旋转110°

，木条/）和木条C重合，月占以不平行，

故密合题意.

故选：D.

【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键.

【变式训练2】（2021春•拱嬖区期末）如图，已知/斤/代/=90°（其中NQNRM）,添

加一个以下条件：①NRN曲=180°；②NRN厂交=180°；③4FE/2/FGS

④N&7C-NQ90°.能证明勺是（）

【分析】条件①得到"条件②得到哥平行C〃，过点冰成的平行线"力结合条件③

可证力“〃），条件④的结果得到恒等式.

【解答】解：①・・・/4/加=180°,

:、AB//FG,故选项月不符合题意；

②•・・/斤//7宓=180°,

:・CD〃FE,故选项环符合题意；

③过点尸作加〃09,则：/HFG=/FGD,

V4F=4EF小4HFG,/RNFGD=90。,

：・4EF/2/FGD=9b0,

•：4FE/2/FGD=90°,

・•・/EFH=4FEB,

：.AB//FH,

：,AB//CI）,故选项漪合题意；

④•・•2%>//一90°,ZAZ/^-90°,

：.ZFGC-4F+ZF+ZFGD=900+90°,

:,/FGOr/FGD=W：故选项。不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的判定定理，“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补,

两直线平行”，以及邻补角的定义.本题的关键是通过作辅助线得到角相等，将已知条件

进行转化.

【变式训练3】（2021春•萧山区期末）如图，下列条件中能判断49〃阳的是（）

①N1=N2；②N3=N4；③N2+N5=N6；④N%8+N2+N3=180°.

C.①③D.①②③④

【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行;

同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可.

【解答】解:①・・・N1=N2,

：,AD//BQ

②・・・N3=N4,

：,AB//CI)x

③・・・/2+/5=/6,Z1+Z5=Z6,

AZ1=Z2,

：,AD//BCX

④：/加班N2+N3=180°,

工NDA班NABC=\8G",

:"D〃BC；

可以判断力〃〃阳3勺有①③©.

故选：A.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平吁线的判定方法，找出被截直浅是解

题关键.

【变式训练4】（2021春•怀安县期末）如图所示，点解〃的延长线上，下列条件中能判断力〃

〃。加勺是（）

A.Z3=Z/1B.Z1=Z2

C./!）=/DCED.ZZAZ/f6i9=180°

【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案.

【解答】解：4、/3=/力，无法得到，AB//CD,故此选项错误；

B、Z1=Z2,根据内错角相等，两直线平行可得：A3//CD,故此选项正确；

a4D=Z.DCE,根据内错角相等，两直线平行可得：BD//AC,故此选项错误；

D、Z^ZACD=18O°,根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD//AC,故此选项错误；

故选：B.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理.

【变式训练5】（2021•下城区一模）如图，直角三角形/吃的顶点/在直线加上，分别度量：①

Zl,Z2,NG②N2,Z3,/氏③N3,Z4,NC；@Z1,Z2,Z3.可判断直线卬

与直线〃是否平行的是（）

D.④

【分析】两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.据此可得结论.

【解答】解：A.度量：①Nl,Z2,ZG不能判断直线m与直线〃是否平行，不合题意；

B.度量：②N2,Z3,N8,可得N4的度数，结合N2的度数，即可判断直线勿与直线〃是

否平行，符合题意；

。.度量：③N3,Z4,NOK能判断直线西直线溪否平行，不合题意；

D.度量：④Nl,Z2,Z3,不能判断直线消直线〃显否平行，不合题意；

故选：B.

【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果同位

角相等，那么这两条直线平行.

【例题3】（2021春•椒江区期末）如图，/月=70°,徙力吐一点，直线勿与/L9的夹角/戈切

为75°,要:使0D〃AC,直线勿绕点雨逆时针方向至少旋转5度.

【分析】本题反向推理，若。〃旋转到勿'时，则如'〃/1C,求/〃=ZBOD-ABOD'

=75°-70°=5°,进而解决此题.

【解答】解：若如旋转到勿'时，则如'//AC.

V0!）'//AC,

：.ZW=/力=70°.

AZW=/BOD-/BOD'=75°-70°=5°.

・•・要使OD//AC,直线优点也逆时针方向至少旋转5度.

故答案为：5.

【点评】本题主要考杳平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解决本题的

关键.

【变式训练1】（2021春•郸州区期中）如图,下列条件中:①NBA》/486=180°；②N1

=Z2；③N3=N4；@ZBAD=ZBCD,能判定力。〃81的是一①②③.

【分析】①由/胡6/月比-180°,利用同旁内角互补得到力〃〃比；本选项符合题意;

②由N1=N2,利用内错角相等两直线平行得到本选项符合题意；

③由/3=N4,利用内错角相等两直线平行得到/M〃比；本选项符合题意；

④由/为〃=N8C〃，不能判定出平行，本选项不合题意.

【解答】解：①由NN物伊/力收=180°,得到/1〃〃比'，本选项符合题意；

②由N1=N2,得到力〃〃比；本选项符合题意；

③由N3=N4,得到力〃〃比；本选项符合题意；

④由NBAg/BCD,不能判定出平行，本选项不合题意.

故答案为：①@③.

【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.

【变式训练2】（2020秋•婺城区校级期末）如图，点£是财延长线上一点，在下列条件中：①

Z1=Z3；②N5=N/?；③N1=N4且月修分/加氏④N4+Na刀=180°,能判定

切的有③④.（填序号）

【分析】根据平行线的判定方法分别判定得出答案.

【解答】解：①中，・・・/l=N3,・・・力〃〃8c（内错角相等，两直线平行），不合题意；

②中，・・・/5=N氏.,•月〃〃砥（同位角相等，两直线平行），不合题意；

③中，•・・/1=/4且力件分/的8,AZ2=Z4,：.A8//CD,故此选项符合题意；

④中，Z^ZBCD=\80c,J.AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题

jsie.

尽；

故答案为：③©.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键.

【变式训练3】（2021春•奉化区校级期末）如图，点解初的延长线上，下列四个条件：①/

1=/2；②NGN/1比-180°；③NC=N砌?；④N3=N4,能判断力〃〃△l勺是①②（填

序号）.

【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可.

【解答】解：①由N1=N2,可以判定

②由/仆/力8。=180°,可以判定月

③由N4N67应，可以判定8074〃.

④由N3=N4,可以判定比'〃月”.

故答案为①②.

【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【变式训练4】（2021•柳南区校级模拟）如图把三角板的直角顶点放在直线。上，若Nl=40°,

则当当2=50度时,a//b.

1

h

【分析】由直角三角板的性质可知N3=180°-Z1-90°=50°,当N2=50°时，Z2

=Z3,得出a〃〃即可.

【解答】解:当N2=50°时，a〃力;理由如下：

如图所示：

VZ1=4O°,

AZ3=180°-90°-40°=50°,

当N2=50°时，Z2=Z3,

：.a//bx

【点评】本题考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是解

决问题的关键.

【例题4】（2021春•槐荫区期末）点8,£分别在力G〃上，BD,◎分别交加T点G,〃，ZAGB

【分析】由已知条件判断得到仍冗故EC〃初，利用平行线的性质与已知条件得

到NAN力做进而求证.

【解答】证明：'：4AGB=4EHF,4AGB=4DGF,

・•・ADGF=/EHF,

:.ECaBD,

:"C=/ABD,

vzr=ZA

:.Z.D=/ABD,

：,AC//DF.

【点评】本题考查了平行线的性质与判定，关键是找到合适的的同位角，内错角，进而判

断.

【变式训练1】（2021春•乾安县期末）已知：如图，直线/分别与直线//氏。相交于点P,。,

〃睡直于八Zl+Z2=90°.求证：AB//CD.

C/QD

【分析】先根据垂直的定义得出/加0/2=90°,再由Nl+N2=900得出/力々=/1,

进而可得出结论.

【解答】证明：•・•/¥_!_&（已知），

・•・/力尸炉/2=90°（垂直定义）.

VZ1+Z2=9O°（已知），

・・・N/UQ=N1（同角的余角相等），

・・・/坦〃切（内错角相等，两直线平行）.

【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行.

【变式训练2】（2020春•岱岳区期末）将一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C

作妤分交DE于点F.

（1）求证：CF//AB；

（2）求N所子的度数.

【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行进行判定即可;

（2）根据三角形以%的内角和为180°,求得/£咒的度数.

【解答】解：（1）•:CN分乙DCE,且/a方=90°,

・•・/拉»=45°,

•・•/胡C=45°,

・•・/BAC=/ECF、

:.CF〃AB\

(2)在△心冲，

•:/FCE+NE+NEFC=180°,

・・・N〃r=180。-4FCE-ZE,

=180°-45°-30°

=105°.

【点评】本题主要考查了平行线的判定以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：内错

角相等，两直线平行.解题的关键是熟知三角板的各角度数.

【变式训练3】（2020春•麻城市校级月考）根据要求完成下面的填空：

如图，直线4?,⑦被加所截，若已知N1=N2,说明月/?〃成的理由.

解：根据对顶角相等得/2=等3

又因为N1=N2,

所以以1=N3,

根据同位角相等，谀直线平行得:AB//CD.

【分析】先根据对顶角相等，得出N2=N3,再根据同位角相等，两直线平行，隔AB//CD.

【解答】解：根据对顶角相等，得N2=N3,

又因为N1=N2,

所以N1=N3,

根据同位角相等，两直线平行，得：AB//CD.

故答案为：对顶角相等，1,3,同位角相等，两直线平行，AB,CD

E、

1

A--------------------B

【点评】本题主要考查了平行线的判定与对顶角的性质，解题时注意：同位角相等，两直

线平行.

【变式训练4】（2020秋•温州月考）已知：如图，4ACH24B,C取分/ACD.求证：CE//

AB.

【分析】由行为角平分线，利用角平分线的定义得到一对角相等，再由已知--对角相等，

利用等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证.

【解答】证明：•・•必平分N4微

，4ACD=2/DCE,

•：£ACD=2乙B,

：.4DCE=/B,

:.ABaCE.

【点评】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.

【变式训练5】（2019春•秀洲区期中）如图，如果Nl+N3=180°,那么帕.与丽行吗，请

说明理由.

【分析】根据平角的定义得到N2+N3=180。，根据等量关系得到N1=N2,再根据同位

角相等，两直线平行得到45与平行.

【解答】解：丝与口?平行.

VZ1+Z3=18O°,Z2+Z3=180°,

/.Z1=Z2,

:.AB//CD.

【点评】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是根据等量关系得到N1=N2,根据

同位角相等，两直线平行，即可解答.

胞力提升

类型一、平行公理及推论

【例题5］在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只

有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条

直线与已知直线平行。其中正确的个数为：（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】正确的是：（1）（3）.

【总结升华】对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确

理解，对不同的几何语言的表达要注意区分不同表述之间的联系和区别.

【变式训练1】下列命题中正确的有（）

①相等的角是对顶角；

②若a〃b,b〃c,则2〃口

③同位角相等；

④邻补角的平分线互相垂直.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

类型一、两直线平行的判定

【例题6】下列图形中，由/1=/2能得到AB〃CD的是（）

【答案】B

【解析】如图所示:

VZ1=Z2（已知），

・・・AB〃CD（内错角相等，两直线平行），故选B

【总结升华】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键.

【变式训练1】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次

拐弯的角度可能是（）

A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°

B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°

C.第一次向右拐50°，第二次向右拐130"

D.第一次向左拐50。，第二次向左拐130°

【答案】A

提示：“方向相同”有两层含义，即路线平行口方向相同，在此基础上准确画出示意图.

图B显然不同向，因为路线不平行.

图C中，Zl=180°-130°=50°,路线平行但不同向.

图D中，Zl=180°-130°=50°,路线平行但不同向.

只有图A路线平行且同向，故应选A.

【例题7】如图所示，已知/B=25°,ZBCD=45°,ZCDE=30°,NE=10".试说明AB〃EF

的理由.

【思路点拨】利用辅助线把AB、EF联系起来.

【答案与解析】

解法L如图所示，在NBCD的内部作NBCM=25°,在NCDE的内部作NEDN=10°.

,/NB=25°,ZE=1O°（已知），

・•・ZB=ZBCM,NE=NEDN（等量代换）.

••・AB/7CM,EF〃DN（内错角相等，两直线平行）.

又,:ZBCD=45°,ZCDE=3O°（已知），

・•・ZDCM=20°,NCDN=20°（等式性质）.

・•・NDCM=NCDN（等量代换）.

・••CM〃DN（内错角相等，两直线平行）.

丁AB//CM,EF//DN（己证），

・•・AB〃EF（平行线的传递性）.

解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点.

'：ZBCD=45°,・•・ZNCB=135°.

,:ZB=25°,

工ZCNB=1800-ZNCB-ZB=20°（三角形的内角和等于180°）.

又丁ZCDE=30°,:、ZEDM=150°.

又•・•ZE=10°,

JZEMD=1800-ZEDM-ZE=20°（三角形的内角和等于180°）.

・•・NCNB=NEMD（等量代换）.

所以AB〃EF（内错角相等，两直线平行）.

【总结升华】判定两条直线平行的方法有四种，选择哪种方法要根据问题提供的条件来灵活选取.

【变式训练1】已知，如图，BE平分NABD,DE平分NCDB,且N1与N2互余,试判断直线AB、CD的位

置关系，请说明理由.

【答案】解：AB/7CD,理由如下：

•・•BE平分/ABD,DE平分NCDB,

:.ZABD=2Z1,ZCDB=2Z2.

又•・・Nl+/2=90°,

，ZABD+ZCDB=180).

/.AB〃CD(同旁内角互补，两直线平行).

【变式训练1】已知,如图,AB1BD于B,CD1BDTD,Zl+Z2=180°,求证：CD//EF.

.•・AB〃CD.

5CVZ1+Z2=18O°,

.\AB/7EF.

ACD//EF.

M分层提分

题组A基础过关练

一.选择题（共10小题）

1.（2021春•诸暨市期末）如图所示，下列条件能判断a〃方的有（)

T1

A.Zl+Z2=180°B.Z2=Z4C.Z2+Z3=180°D.Z1=Z3

【分析】根据平行线的判定即可判断.

【解答】解：力、・・・/1+/2=180°,不能判定a〃4错误：

B、VZ2=Z4,：.a//b,正确；

aVZ2+Z3=180°,不能判定错误；

D.VZ1=Z3,不能判定a〃。，错误；

故选：B.

【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，属于基础题.

2.（2021•乐平市一模）如图，下面哪个条件能判断以〃戊的是（）

A.Z1=Z2B.Z4=ZTC.Zl+Z3=180°D.Z3+Z6^180°

【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平

行，据此进行判断即可.

【解答】解：当N1=N2时，EF//ACx

当N4=NC时，EF//AC；

当Nl+N3=180°时，BC：

当/3+/C=18O°时，EF/ZACx

故选：C.

【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角

相等，两直线平行；向旁内角互补，两直线平行.

3.（2021春•上思县期末）如图所示，点斑力那延长线上，下列条件中能判断力%an）

BD

25737

2

4

A.Z1=Z2B.Z3=Z4

C.4D=4DCED./分乙忆9=180°

【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案.

【解答】解：力、根据内错角相等，两直线平行可得力5〃切，故此选项正确；

B、根据内错角相等，两直线平行可得放〃力C,故此选项错误；

G根据内错角相等，两直线平行可得做〃力G故此选项错误；

D、根据同旁内角互补，两直线平行可得物〃力6；故此选项错误；

故选:A.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找

同位角、内错角和同旁内角.

4.（2021春•柘城县期末）如图，点£在〃的延长线上，下列条件能判断48〃C加勺是（）

①N1=N2；②N3=N4；③NA=/DCE；④/外乙4折180°.

A.①@④B.①②@C.①②④D.②③④

【分析】根据平行线的判定定理即可直接作出判断.

【解答】解：①根据内错角相等，两直线平行即可证得/18〃8C：

②根据内错角相等，两宜线平行即可证得做〃力。，不能证力8〃s；

③根据同位角相等，两直线平行即可证得月4〃必；

④根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得力4〃C”

故选：A.

【点评】本题考杳了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同

旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同

位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行.

5.（2021春•奉化区校级期末）下列图形中，能由N1=N2得到,48〃砺勺是（）

【分析】根据同位角相等两直线平行可得答案.

【解答】解：由/1=/2得至%8〃C加勺是艇项,

VZ1=Z2,Z3=Z2,

AZ1=Z3,

:、AB"CD.

故选：D.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理.同位角相等，两

直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.

6.（2021春•娴桥区期末）如图，点碓灰的延长线上，则下列条件中，不能判定勿的是

（）

A.N9■/仅1Q18O°B.4B=ZDCE

C.Z1=Z2I）.Z3=Z4

【分析】力、利用同旁内角互补两直线平行，得到力/?与“平行，本选项不合题意；

B、利用同位角相等两直线平行，得到力"与3平行，本选项不合题意；

C、利用内错角相等两直线平行，得到力8.与切平行，本选项不合题意；

〃、利用内错角相等两直线平行，得到力。与比平行，本选项符合题意.

【解答】解：力、VZZHZW=180°,

/.AB//CD,本选项不合题意；

B、.:4B=4DCE,

AB//CD,本选项不合题意：

avzi=Z2,

:.AB”Cl）,本选项不合题意；

久VZ3=Z4,

：.AD//BQ本选项符合题意.

故选：D.

【点评】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行：内错

角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键.

7.（2021春•奉化区校级期末）如图，在平移三角尺画平行线的过程中，理由是（）

B.两直线平行，内错角相等

C.同位角相等，两直线平行

1）.内错角相等，两直线平行

【分析】由题意结合图形可知N加斗'=/8物；从而得出同位角相等，两直线平行.

解：'：4DPF=

・•・居〃口?（同位角相等，两直线平行）.

故选：C.

【点评】本题考查平行线的判定.正确理解题目的含义，是解决本题的关键.

8.（2021春•上城区校级期中）下列四个说法中，正确的是（）

A.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

B.两条直线被第三条宜线所截，同位角相等

C.不相交的两条直线是平行线

I）.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【分析】由对顶角的性质判断儿由平行线的性质和判定判断以C.I）.

【解答】解：力、对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，

例如30°的角都相等，但他们不一定是对顶角.故选项月错误；

B、由于8缺少平行条件，故选项庠昔误；

C、在同一平面上，不相交的两条直线是平行线，故选项型误；

D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故选项。正确.

故选：D.

【点评】本题考查了对顶角及平行线的性质和判定，掌握对顶角和平行线性质是解决本题

的关键.

9.（2021春♦拱墅区月考）如图，直线a、6被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）Zl=

Z5；（2）Z2+Z7=180°；（3）Z4=Z7；（4）Z3=Z6；其中能判定a〃〃的条件的

序号是（）

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(1)(4)D.(3)(4)

【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论.

【解答】解：(1)VZ1=Z5,

(2)・.・/2+/7=180°,Z2+Z3=180°,

AZ3=Z7,

：.a//bx

(3)由N4=N7得不到a〃庆

(4)由N3=N6得不到a〃6,

故选:A.

【点评】本题考查了平行线判定定理，熟练掌握平行线的判定定理即可得到结论.

10.(2021春•拱里区月考)下列说法中，正确的是()

(1)在同一平面内，不相交的两条直线是平行线；

(2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；

(3)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

(4)若直线aJ_b,blc,则直线a与严行.

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(1)(4)D.(3)(4)

【分析】利用两直线的位置关系、平行线的性质等知只分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：(1)同一平面内不相交的两条直线是平行线，故正确，符合题意；

(2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，符合题意；

(3)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内舛互补，故错误，不符合题意；

(4)在同一平面内，若直线a_L6,6_Lc,则直线a与c不相交，缺少条件“在同一平面内”

所以错误，不符合题意，

故选：A.

【点评】本题考杳了平行线的判定，解题的关键是能够了解两直线的位置关系、平行线的

性质等知识，难度不大.

二.填空题(共7小题)

11.经过直线外一点，有且只直一条直线与这条直线平行.

【分析】根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解答即可.

【解答】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

故答案为：有且只有.

【点评】本题考查了平行公理，牢记平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这

条直线平行是解题的关键.注意平行公理中“有且只有”的含义，从作图的角度说，它是

“能但只能画出一条”的意思.

12.下列说法中:

（1）在同一平面内，经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行；

（2）两个相等的角是对顶角；

（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°；

（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；

（5）三条直线两两相交，一定有三个交点.

正确的说法是（3）（4）.（填入你认为正确的说法的序号）

【分析】根据平行公理，可得（1）的结论，根据对顶角的性质可得（2）的结论，根据余

角与补角的关系，可得（3）的结论，根据垂线段的性质，可得（4）的结论，根据相交线

的性质，可得（5）的结论.

【解答】解：（1）在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，

故（1）错误；

（2）对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，故（2）错误；

（3）一个锐角的补角一定比这个角的余角大90°,故（3）正确：

（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故（4）正确；

（5）三条直线两两相交，有三个交点或一个交点，故（5）错误：

故答案为：（3）,（4）.

【点评】本题考查了平行公理及推论，利用了平行公理，余角与补角的关系，垂线段的性

质.

13.（2021春•奉化区校级期末）如图，当/1=70°,22=80°时，至少转3。度时,h

//a.。至少转60度时,bLa.

【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，得到需要的度数，然后再计算至少还需要转多

少度；计算出目前。与a的垂线的夹角的度数即为至少需要转的度数.

【解答】解：因为Nl=70°,

所以它的对顶角也等于70°.

当同旁内角互补的时候,6〃协

因为/2=80°,

所以180-80=100(度)，

所以至少还需要转100-70=30(度)；

将枷页时针旋转，与睡直.

90-80=10(度),

所以至少还需要转70-10=60(度).

故答案为：30,60.

【点评】这道题主要考查平行线的判定定理，垂直的定义，在角度计算这•类题中，要注

意运用周角，平角，直角，对顶角的度数.

14.(2021春•召陵区期末)如图,点隋/1版延长线.卜.对于给出的四个条件：

(1)Z3=Z4；(2)Z1=Z2：(3)/力=N加笈(4)ZZ^Z/1^=180°.

能判断力“〃切的有3个.

【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可.

【解答】解：(1)如果N3=/4,那么力。7微故(1)错误；

(2)Z1=Z2,那么月8〃勿；内错角相等，两直线平行，故(2)正确；

(3)4A=4DCE,那么ABHCD、同位角相等，两直线平行，故(3)正确；

(4)N6N力皮=180。，那么4?〃切；同旁内角互补，两直线平行，故(4)正确.

即正确的有(2)(3)(4).

故答案为：3.

【点评】此题考查的是平行线的判定定理，比较简单，解答此题的关键是正确区分两条直

线被第三条直线所截所形成的各角之间的关系.

15.（2024柳南区校级模拟）如图,下列条件中:

①；②/1=N2；③N3=N4；④/6=N5；

则一定能判定/伊〃勿的条件有①③④（填写所有正确的序号）.

【分析】根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得①能判定力8〃⑵

根据内错角相等，两直线平行可得③能判定48〃⑦：

根据同位角相等，两直线平行可得④能判定/必〃切.

【解答】解：①・.・/伊/8（7）=180°,

:、AB〃CIh

②・・・/l=N2,

：.AD//CBx

③,.・N3=N4,

：.AB//CDx

④・・・/8=/5,

：,AB//CD,

故答案为：①@④.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定定理.

16.（2020春•涟源市期末）如图，两直线&。被第三条直线。所截，若Nl=50°,Z2=130°,

则直线外力的位置关系是一平行.

【分析】因为N2与N3牯邻补角，由已知便可求出N3=N1,利用同位角相等，两直线平

行即可得出a,。的位置关系.

【解答】解：VZ2+Z3=180°,Z2=130°,

・・・N3=50°,

VZ1=5O°,

AZ1=Z3,

・・・a〃力（同位角相等，两直线平行）.

【点评】本题考查了邻补角的性质以及判定两直线平行的条件.

17.（2018秋•柯城区校级期末）如图，直线a、佛皮直线c所载，现给出下列四个条件:

①N2=N6；②N1=N3；③N1=N7；④N4+N5=180°；

其中能判定a〃方的条件序号是①③④.

【分析】根据两直线平行的判定定理即可判断.

【解答】解：®VZ2=Z6,

（同位角相等，两直线平行）：

②/1=/3无法得到a〃b,故此选项不合题意

③・.・/5=/7,Z1=Z7,

AZ1=Z5,

・•・&〃〃（同位角相等，两直线平行）；

@VZ4+Z5=180°,

：,a//bx

故答案为：①©④.

【点评】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线

平行；同旁内角互补，西直线平行；熟记平行线的判定定理是解题的关键.

三.解答题（共4小题）

18.（2018春•婺城区期末）如图，已知/力=/凡请问5〃与小平行吗？并说明理

由.

【分析】由/力=/而1判定力勿勿；可得到/4协=/4/4可判定协〃CE.

【解答】解：平行.理由如下：

•・•ZJ=ZE

：.AC//DF,

:./ABD=4D,且NC=N〃

:"ABD=4C,

：,BD//CE.

【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平吁线的判定和性质是解题的关犍，即

①两直线平行=同位角相等，②两直线平行O内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补.

19.（2017春•诸暨市期末）如图所示，已知Ng/8,NA=NC,试说明E9〃身的理由.

【分析】依据N/I=NG即可判定〃。〃/18,进而得出比。即可得到N/1吐NR

进而判定近〃夕兄

【解答】证明：・・・N1=NG

:.DCHAB,

・•・/片/AEI）,

又,：4D=4B,

：,乙伤9=N8,

：,ED//BF.

【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线

平行；同旁内角互补，两直线平行.

20.（2017春•庆元县校级期中）如图，直线48,口腋厅所拦截，若已知N1=N2.

VZ2=Z3（对顶隹相等）,

又・・・N1=N2（已知）

JN1=N3

根据（同位角相等，两自线平行）

AB//CD.

【分析】利用已知可得出N1=N3,再利用平行线的判定得出结论即可.

【解答】解：・・・N2=N3（对顶角相等），

又・・・N1=N2（已知），

AZ1=Z3,

・・・力8〃⑦（同位角相等，两直线平行）.

故答案为：对顶角相等，1,3,同位角相等，两直线平行，AB,CD.

【点评】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键.

21.（2017•益阳模拟）如图，已知N〃7?=70°,/力途=60°,N/J始=50°.

求证：AB//CD.

【分析】求出N/1册/演?=180°,根据平行求的判定推出即可.

【解答】证明：TN力折70°,N/1360°,

/.ABCD=ZAC^ZACD=130°,

VZJ^50°,

：・/ABO/BQ）=l8G°,

:.AB//CD.

【点评】本题考查了平行线的判定的应用，注意：同旁内角互补，两直线平行.

题组B能力提升练

一.选择题（共3小题）

1.（2019春•江北区校级期中）如图，若N3=N4,则下列条件中，不能判定/"〃勿的是1）

B.Z1=Z3KZ2=Z4

C.Zl+Z3=90°且N2+N4=90°I).Zl+Z2=90°

【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可.

【解答】解：力、由N1=N2,Z3=Z4,可以推出N力皮?=/比况推出力8〃绥故本选

项不符合题意.

B、由N1=N3,Z2=Z4,可以推出/力6C=NZO,推出力8〃。?，故本选项不符合题意.

a由Nl+N3=90°,Z2+Z4=90°,可以推出N4%=/及力，推出力故本选项

不符合题意.

D、由/1+/2=90°无法推出NA比=/比3故本选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

2.（2019春•市中区期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是1）

A.Z1=Z2B.如果N2=30°,则有力勿应

C.如果N2=45°,则有/4=N〃D.如果N2=50°,则有

【分析】根据平行线的判定和性质一一判断即可

【解答】解：vZC?1Z^ZZM£-90n,

=故力错误.

VZ2=30°,

AZ1=Z3=6O°

・・・/。£=900+60°=150°,

C.AC//DE,故所E确，

VZ2=45°,

/.Z1=Z2=Z3=45°,

TN介N3=N*N4,

，N4=30°,

VZP=60°,

・・・N4WN〃，故通误,

VZ2=50°,

AZ3=40°,

・・・N/N3,

・•・比不平行力£故加昔误.

故选：B.

【点评】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考

题型.

（2021春•奉化区校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺力配固定

不动，将含30。的三角尺力比绕顶点力顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，

如图2,当/刚415°「寸，BC//DE.则N胡〃（0°）符合条件的其它所有

图2

B.45°、60°、105°、135°

C.30°和45°D.以上都有可能

【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论.

【解答】解：当/心〃〃时，；

当8%,:4EAB=4B=60°,

:/BAD=/DAE+/EAB=430+60°=105°；

EB,

D

当M〃班时,•:/E=/EAB=90°,

:/BAD=/DA拱/EAB=钟+90°=135°.

故选：B.

【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直

角三角板的性质求解是解答此题的关键.

二.填空题（共5小题）

4.（2021春•奉化区校级期末）如图，有下列条件：①/1=/2；②/3=/4；③N8=N5；

④N8+N砌P=180°.其中能得到48〃。的是②③（填写编号）.

【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平

行，据此进行判断即可.

【解答】解：①・・・N1=N2,

・"〃〃比；

②・・・N3=N4,

:、ABHCD、

③♦・•/«=N5,

：.AB//DCx

④•••/吩/%/?=180°,

:.AD//BC,

・•・能够得到。的条件是②③，

故答案为：②③.

【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角

相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.

5.(2018春•台州期中)如图，添加一个条件(不再添加字母)，使得力6〃切，你添加的条

件是NDAB=4D.

【分析】根据平行线的判定定理进行解答即可.

【解答】解：添加的条件为：4DAB=/D,

・：NDAB=NO,

:.AB"CD、

故答案为：/DAR=/D

【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键.

6.(2017春•杭州期中)一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点反座合，若固定三角

形/阳

改变△〃泌位置(其中1点位置始终不变)，使三角形〃汨勺一边与三角形/I施的某一边平

行时，写出/物例勺所有可能的值15°,30°,45°,75°,105°,135°,150°,165°.

【分析】要分类讨论，不要漏掉一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系;

再计算.

【解答】解:分10种情况讨论:

(1)如图1,力/她与颂Z平行时，/BAD=45°或135°；

(2)如图2,当〃边与必平行时，/