湖南常德市2025-2026学年下学期高三年级模拟考试（二模）数学试卷+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南常德市2025-2026学年下学期高三年级模拟考试（二模）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合M=xx+1A．x1≤xC．x−1<2．已知i是虚数单位，满足z−2z=−A．1+i B．1−i C．3．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（

）A．23 B．19 C．294．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BA．−1 B．1 C．−125．一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（

）A．1 B．134 C．154 6．已知圆C：x−22+y2=A．63 B．33 C．237．已知实数x，y满足：5xA．x≥1 C．x−1y8．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，ABC的面积S=14b2−abA．35 B．43 C．5二、多选题9．已知tanx=2A．2sinx+C．sin2x+10．下列说法正确的是（

）A．样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10B．样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越大C．根据分类变量x与y的成对数据，计算得到χ2=2.947<x0.05，依据D．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内11．已知a,b,c成等差数列，若关于x,y的方程组A．ab<0C．a+b>三、填空题12．已知曲线y=ex在x=0处的切线l与圆C：13．已知函数fx=1+14．函数y=cosx四、解答题15．已知数列an的前n项和Sn=(1)求数列an(2)设bn=logan2，数列bn16．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面B(1)证明：平面A1BM(2)若∠CAA1=17．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量X服从参数为λλ>0的泊松分布（记作X∼P(1)当λ≥20时，泊松分布可以用正态分布来近似，当λ≥50时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为X∼(2)设X∼Bn,p，当p≤0.05某工厂生产nn≥20件电子元器件，次品率为0.3（i）若n=（ii）求使得PX=i（参考数据：e−3≈0.05；若X∼Nμ18．抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为(1)求抛物线C的标准方程；(2)已知直线l交抛物线C于A,B两点，直线AO交抛物线的准线于点P（i）证明：直线l过定点；（i）点Q为抛物线C的准线与y轴的交点，若△MAB的面积与△19．已知函数fx=x(1)求函数fx(2)当x∈1e(3)若fx=b有两个不同的实数解x1,答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖南常德市2025-2026学年下学期高三年级模拟考试（二模）数学试卷》参考答案题号12345678910答案BADDDACBACDABD题号11答案AD1．B【详解】x+1x−2<0因为N=x12．A【分析】复数z=x+【详解】设z=x+所以z−即−x由复数相等得−x解得x=1y故选：A．3．D【分析】第二次摸出的球是红球有两种情况，利用古典概率公式分类列式计算即得.【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况：第一次摸到白球，第二次摸到红球的概率为p第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为p则第二次摸出的球是红球的概率为p=故选：D4．D【详解】以A为坐标原点建立如图所示直角坐标系，则D0,2则AE5．D【分析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为r，圆锥的母线长为l，高为h，由已知可得h=4r，l【详解】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为r，圆锥的母线长为l，高为h．由V圆锥=V球∴l=h6．A【分析】由圆C与双曲线E渐近线相切得出a2【详解】由圆C：x−双曲线E：x2a2因为圆C与双曲线E的渐近线相切，所以圆心C到渐近线bx−ay=所以椭圆T的离心率e=7．C【分析】利用指数函数单调性分析不同y取值对应的x与1的大小关系，从而判断(x−【详解】因为5x>0，所以7y-设fy=7因为ln⁡7>ln⁡2>0，7若y=1，则f(1)=7若y>1，由f(y)又gx=5x是增函数，故x>若y<1，由f(y)单调递增得fy<综上，所有情况都满足(x−【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，核心是利用函数单调性判断变量的取值范围，体现了函数思想在不等式判断中的应用.8．B【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得C=2A【详解】S=14再由正弦定理，得2sin又sinB代入得2sinAcos又A，C为△ABC的内角，则C因为CD为∠ACB的平分线，所以在△ACD又S△∴12则12化简得2a又a=2，∴①代入②，得18b2−25b∴cosA在△BCD∴BD9．ACD【分析】利用弦化切计算逐项判断即可.【详解】对于A选项，2sin对于B选项，sin2对于C选项，sin2对于D选项，cos210．ABD【分析】选项A：根据百分位数的定义求解即可；选项B：根据相关系数与相关程度的关系判断即可；选项C：根据小概率值的独立性检验原理判断即可；选项D：根据一元线性回归模型拟合效果判断即可.【详解】选项A：将样本数据从小到大排列：2，3，3，4，7，8，10，18，则i=8×选项B：样本正相关系数r的取值范围是(0,1故正线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近1，故B正确.选项C：在独立性检验中，当χ2<x0.05时，没有充分证据推断原假设不成立，应认为变量选项D：残差均匀分布在0附近的水平带状区域，则模型拟合效果好，故D正确.11．AD【分析】根据条件可得直线ax+by+c=0过定点1,−2，再结合题设条件，可将问题转化成y【详解】因为a,b,c成等差数列，则2b整理得到a2x+y+所以直线ax+by+c=因为方程组ax+by+c=0ln设过点1,−2的直线与y又y′=1x−1所以过点1,−2且与y=ln又ax+by+c=0的斜率为则0<−ab<1，即取a=−1,b取a=1,b=12．2【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可根据圆的弦长公式求解.【详解】由y=ex得y′=ex，故y′x=0圆心C1,0到直线l故AB=2r213．1【分析】根据奇函数的定义可将问题转化为e−x+ex【详解】由题意可得fx+f−x=1化简可得：e−x+由于e−x+ex14．−【分析】先将函数平方，转化为关于sinx的函数，再利用换元法，转化为关于t的函数，利用导数求出g(t【详解】因为sinx∈−1,由题可知，y2令sinx=t则g′令g′(t)=当t∈−1,−12当t∈−12,1时，又g(所以g(t)所以y∈15．(1)a(2)证明见解析【分析】（1）根据an与Sn的关系，推出（2）求出bn，结合裂项相消法求出T【详解】（1）当n=1时，S1当n≥2时，Sn即an=2an（2）由（1）知，bn=log所以Tn又n∈N*，所以1n+16．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接AB1，与A1B交于点N，根据面面垂直的性质定理可得B1C⊥平面AA1【详解】（1）由三棱柱的性质可知四边形AA1B所以B1C1所以B1所以B1C2因为平面BCC1B1⊥平面AA1C所以B1C⊥如图，连接AB1，与A1B交于点则N为AB1的中点，所以所以MN⊥平面又MN⊂平面A1BM（2）由三棱柱的性质可知四边形AA所以∠CC1A1所以A1所以A1C2由（1）知B1C⊥平面A以C为原点，CA1,由C0,由A13,所以A设平面A1BM的法向量为n=x令y=3，可得所以直线AB与平面A1BM所成角的正弦值为17．(1)0.1359(2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为0.225；当λ=np为整数时，PX=i最大时的i值为λ-1或λ；当【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根据PX=i【详解】（1）因为X∼所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为X∼N81所以P90由Pμ−σPμ+σ<X（2）（i）由题意知n=1000,又n=所以λ=所以PX=2（ii）因为PX=i即λii！又i∈N，所以当λ=np为整数时，PX=当λ=np不为整数时，PX=18．(1)x(2)（i）证明见解析；（ii）y=x【分析】（1）根据条件，利用抛物线的定义，建立方程组4=（2）（i）设直线l:y=kx+b，A【详解】（1）因为抛物线C上的一点M2,m到焦点F则4=2pmm+p2=2，消（2）（i）由题可设l:y=由x2=4yy=kx+又kOA=y1x1所以P−4x1,−1所以−4b=−4，解得b=1（ii）因为M2,m在抛物线上，则4=4m，解得又点Q为抛物线C的准线与y轴的交点，则Q0,−1，又则M,Q到直线l:y=kx所以直线l的方程为y=x+19．(1)单调递减区间是0,1，单调递增区间是(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据导函数的正负性判断其单调性；（2）令hx（3）先求出1e<x1<1<x2<e【详解】（1）