高考复习总结-处理抽象函数问题的常用策略-高三-数学-教学设计

高考复习总结----处理抽象函数问题的常用策略刘良西安国际港务区铁一中陆港高级中学摘要：在数学试题中，有一类函数比较抽象，一般只给出变量之间的关系式，而没有具体的函数解析式，这类函数看似毫无规律可循，需要学生能够运用正确的数学思想和解题策略，才能够有效解决问题。本文就高中数学抽象函数的类型和其具有的规律进行剖析，分析解决这类抽象函数问题的方法，以提高学生的学习效率。关键词；高中数学；抽象函数；解题策略前言：抽象函数是一类特殊的函数，此类函数由于没有给出具体的函数解析式，从而解题思维与常见函数的处理方法不同，故需要我们特别关注.基于此，本文就处理抽象函数问题的常用策略加以归类解析，旨在帮助同学们理解、掌握求解此类问题的一些内在规律、特点，从而进一步提高处理抽象函数问题的解题能力.策略一、借助“赋值”，探求函数的解析式、判断函数的奇偶性抽象函数问题，如果在题设条件中涉及关于两个变量的恒等式，那么具体求解时，我们不仅要注意“赋值”思想的灵活运用，而且还要注意“赋值”的各种具体方式——可以是具体的实数，也可以是一些特殊的代数式[1].例1设函数，满足，且对任意、都有，求函数的解析式.解析：注意到本题中的、具有任意性，于是应考虑对变量、如何灵活地赋值，以达到巧妙求解的目的.因为，所以取，则由题设得.从而，取，则由题设得，此即为所求函数的解析式.评注：本题求解的切入点是：紧紧抓住，对变量、进行灵活赋值分析.例2（1）若函数满足：对任意、都成立，试判断函数的奇偶性；（2）若函数满足：对任意、都成立，试判断函数的奇偶性.解析：要判断函数的奇偶性，关键在于考查与之间满足什么关系.（1）取，则有，从而取，则有，故函数为奇函数.（2）取，则有，从而取，则有.因此，取，则，故函数为偶函数.评注：请想一想：在第（1）题中为什么要取变形？而在第（2）题中为什么要取变形？策略二、借助“变形”，证明函数的单调性证明抽象函数的单调性时，一般应根据增函数（或减函数）的定义加以论证，同时要注意在适当“变形”的基础上创造有利条件，以便灵活运用题设条件；而解题的关键就是灵活运用题设给出的不等关系[2].例3已知函数满足：（、），且当时，有，求证：函数在上是增函数.证明：任取、，且设，则因为，所以由题设得.于是，结合已知条件可得.综上，根据增函数的定义即知，函数在上是增函数.评注：将“”变形为“”，是本题顺利求证的关键所在.例4已知定义在上的函数满足：（、），且当时，，求证：函数在上是减函数.证明：任取、，且设，则因为，所以根据题设可得.于是，结合已知条件可得 .综上，根据减函数的定义即知，函数在上是减函数.评注：将“”变形为“”，是本题求证的关键所在.策略三、借助“作图”，速解不等式如果题目给出抽象函数的奇偶性、单调性，那么求解相关不等式时，我们可借助适当“作图”技巧，有利于化抽象为具体，从而根据数形结合思想可达到顺利求解不等式的目的.例5已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是.解析：先作一个适合题意的函数的图象，再按、分两种情况加以讨论即可.注意到，于是可作一个适合题意的函数的图象，如图1所示.当时，因为由得，所以结合图象知此时；当时，因为由得，所以结合图象知此时.综上知，不等式的解集是.图1评注：遇到有关抽象函数问题，一定要有数形结合的思想意识，其关键是画图、用图.如何准确地认识、利用函数的图象，也不容忽视，因为这是易错点.例6已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则不等式的解集是.【解析】先作一个适合题意的函数的图象，再由图作具体分析即可.注意到，于是可作一个适合题意的函数的图象，如图2所示.因为由图知或，所以可得或或.故不等式的解集是.图2评注：由图先得到同类型最简单不等式的等价式或，然后再活用之解不等式就比较容易，这种解题思路很值得我们去细细回味、深思！策略四、借助“建模”，巧解选择题处理抽象函数中的有关选择题时，我们可结合题意探寻一个具体函数加以巧妙分析，这实际上就是“建模思想”（建立函数模型）在解题中的灵活活用，有利于培养数学建模能力.例7若定义在上的函数满足：对任意有，则下列说法一定正确的是（）A.为奇函数B.为偶函数C.为奇函数D.为偶函数解析：设函数，则因为，所以，化简得，所以可取一个适合题意的具体函数加以分析判断.当函数时，显然不具有奇偶性，此时由即知为奇函数.故应选C.评注：参考解析可知，更一般地我们可取函数加以分析判断.例8已知定义在实数集上的函数恒不为零，同时满足，且当时，，那么当时，一定有（）A.B.C.D.解析：因为注意到指数函数满足，所以考虑题设“当时，”，可取一个适合题意的具体函数加以分析判断.根据函数的图像知：当时，一定有.故由排除法知应选D.评注：更一般地，我们可取指数函数进行分析、判断.请关注常见函数模型的选取：①若对任意，有，则可取正比例函数；②若对任意，有，则可取指数函数；③若对任意，有，则可取对数函数；④若对任意，有，则可取幂函数.总之，结合以上举例解析，可帮助我们理清处理抽象函数问题的常用策略，明确其解题的常用切入点、技巧等.一言以蔽之，求解抽象函数问题的常用策略，可高度概括为：“赋值”、“变形”、“作图”、“建模”（八字策略）.如此，尽