初中数学九年级下册《梯子的倾斜程度与正切》教案

初中数学九年级下册《梯子的倾斜程度与正切》教案

一、教材与学情分析

本课选自北京师范大学出版社出版的《义务教育教科书·数学》九年级下册第一章第一节。从知识体系上看，本节课是学生在初中阶段系统学习直角三角形边角关系的起始课，它承接着八年级下册《直角三角形的边角关系》中对直角三角形的定性认识，开启了对直角三角形边与角之间定量关系的探索，为后续学习正弦、余弦、解直角三角形以及高中阶段的三角函数奠定了至关重要的基础。正切概念不仅是解决实际测量问题的重要工具，更是刻画现实世界中许多“倾斜”或“坡度”现象的关键数学模型，是培养学生数学抽象、数学建模和直观想象等核心素养的绝佳载体。

九年级下学期的学生已经具备了较强的逻辑思维能力和一定的归纳推理素养。他们熟悉直角三角形的性质（如勾股定理）、相似三角形的判定与性质，并掌握了从特殊到一般、数形结合等基本数学思想方法。他们的认知难点可能在于：如何从具体、直观的“倾斜程度”这一生活概念，抽象出“直角三角形中锐角的对边与邻边的比值”这一精确定义，并理解这个比值只与锐角的大小有关，而与直角三角形的大小无关的本质属性。此外，将抽象的数学概念（正切）熟练应用于多样化的实际问题情境，对学生来说也是一个挑战。因此，教学设计需着力于搭建从感性认识到理性认知的桥梁，通过精心设计的问题链和探究活动，引导学生自主构建概念，深刻理解其本质。

二、教学目标

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的要求，结合教材内容和学生实际，确立以下三维教学目标：

1.知识与技能：

（1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的概念，能够用符号tanA表示锐角A的正切。

（2）能够根据正切的概念，在直角三角形中已知两边求锐角的正切值，或已知一锐角的正切值和一边长求另一边长。

（3）了解坡度的概念，知道坡度与坡角正切值的关系，并能在简单实际问题中进行计算。

2.过程与方法：

（1）通过“梯子倾斜程度”等现实情境，经历从具体实例抽象出数学问题的过程，发展数学抽象能力。

（2）通过动手操作（如使用几何画板）、观察比较、猜想验证、归纳概括等数学活动，探索直角三角形中边角之间的不变关系，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想，增强发现和提出问题的能力。

（3）通过解决与梯子安全、山坡坡度、堤坝横截面等相关的实际问题，初步学会建立数学模型（正切模型），发展数学应用意识。

3.情感、态度与价值观：

（1）在探究活动中感受数学与现实生活的紧密联系，体会数学的价值和趣味性。

（2）通过小组合作与交流，培养团队协作精神和严谨求实的科学态度。

（3）在解决实际问题（如梯子安全使用）的过程中，增强安全意识和社会责任感。

三、教学重难点

1.教学重点：正切概念的生成过程及其数学定义的理解。重点在于引导学生经历完整的探究过程，自主发现“倾斜程度”与“对边与邻边的比”之间的内在联系，从而自然建构概念。

2.教学难点：理解正切值是一个比值，它只与锐角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。突破难点的关键在于设计有效的探究活动，让学生在动态变化（直角三角形大小变化而锐角不变）的情境中，通过计算、比较、归纳，深刻领悟这一本质属性。

四、教学资源准备

1.教师准备：多媒体课件（含梯子、山坡、堤坝等生活图片；几何画板动态演示文件）；实物道具（可调节角度的简易梯子模型或木板）；学习任务单。

2.学生准备：复习直角三角形和相似三角形的相关知识；直尺、量角器；科学计算器。

五、教学过程设计

（一）创设情境，提出问题（预计用时：8分钟）

教师活动：播放一组图片：不同倾斜角度放置的梯子；蜿蜒的山路；水库大坝的横截面。提出问题：“这些图片中有一个共同的特征，是什么？”（倾斜）接着聚焦梯子情境：“为了保证安全，工人在使用梯子时需要注意什么？”（梯子的倾斜程度）“如何判断哪个梯子更陡？或者说，如何量化‘陡’的程度？”

学生活动：观察图片，联系生活经验回答。对于梯子倾斜程度的比较，学生可能会提出多种直观方法：如看倾斜角的大小；看梯脚距离墙面的远近；看梯子顶端的高度等。

教师活动：肯定学生的直观想法。提出核心驱动性问题：“如果给你两组数据：如图，梯子AB和A‘B’靠在墙上，AB的垂直高度BC和水平距离AC，A‘B’的垂直高度B‘C’和水平距离A’C‘。能否用一个确定的数学关系来判断哪个梯子更陡？这个关系应该具备什么特点？（即使梯子的长度不同，只要倾斜程度一样，这个关系式的值应该相同）”

设计意图：从学生熟悉的生活实例引入，快速聚焦“倾斜程度”这一核心概念。通过开放性问题激发学生原有认知，暴露前概念。进而提出具有挑战性和导向性的核心问题，明确本节课的探究方向，即寻找一个能够量化倾斜程度的、稳定的数学量。

（二）合作探究，建构概念（预计用时：20分钟）

环节1：初步探索，感知联系。

教师活动：出示学习任务一。如图，在Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘中，∠C=∠C’=90°，∠A=∠A‘=α。测量或给定几组具体数据（例如，α分别为30°，45°；对应边长分别为具体数值），请学生计算并填表：∠A的对边BC与邻边AC的比值（BC/AC），∠A‘的对边B’C‘与邻边A’C‘的比值（B’C‘/A’C‘），并比较这两个比值的关系。

学生活动：以小组为单位，进行测量、计算、填表、比较。学生很快会发现，当锐角α相等时，尽管两个直角三角形大小不同，但对边与邻边的比值是相等的。

教师活动：利用几何画板进行动态演示。固定∠A的大小，拖动直角三角形的顶点，改变三角形的大小（保持形状不变，即相似）。引导学生观察屏幕上实时显示的BC/AC的值的变化情况。学生将清晰地看到，只要∠A不变，无论三角形如何缩放，BC/AC的值始终为一个定值。

设计意图：从具体的数值计算到动态的几何验证，为学生提供丰富的感性材料。通过“计算发现定值”和“动态验证不变”两个层次的活动，让学生强烈感知到“锐角确定，其对边与邻边的比值也确定”这一核心规律，为概念的抽象铺平道路。

环节2：抽象概括，形成定义。

教师活动：引导学生用数学语言描述刚才发现的规律。“在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，它的对边与邻边的比值是否也随之确定？”“这个比值与直角三角形的大小有关吗？”“那么，这个比值是由什么决定的？”

学生活动：思考、讨论并回答：在Rt△ABC中，如果锐角A的大小确定，那么∠A的对边与邻边的比值就是一个确定的数值，这个数值只与∠A的大小有关，与三角形的大小无关。

教师活动：给出正切的定义：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b（如图，∠A的对边为a，邻边为b）。强调定义的两个要点：一是在直角三角形中定义；二是比值关系。并解释“tan”是正切符号。

学生活动：朗读定义，在图形上标注，理解符号含义。完成即时辨析练习：判断“在Rt△ABC中，tanA=BC/AC对吗？”（对）“tanB=AC/BC对吗？”（对）“tanA=AC/BC对吗？”（错，需明确对边与邻边）。“对于任意锐角α，tanα有单位吗？”（没有，是比值）。

设计意图：引导学生将探究获得的感性经验和数据规律，用自己的语言进行归纳，最终与数学标准定义接轨，实现概念的自主建构。及时的辨析练习有助于学生抓住定义的关键，避免常见错误，加深理解。

（三）深入剖析，理解本质（预计用时：10分钟）

教师活动：提出思考问题：“根据定义，tanA的值与哪些因素有关？与哪些因素无关？”“如果两个锐角相等，它们的正切值有什么关系？如果两个锐角不相等呢？”“锐角A的正切值tanA有没有可能为0？有没有可能为1？有没有可能大于1，或小于1？请举例说明或画图说明。”

学生活动：小组讨论。明确：tanA的值只与锐角A的大小有关，与直角三角形的大小、位置无关。等角的正切值相等，不等角的正切值一般不等。当∠A=0°时（想象直角三角形退化成线段），对边为0，tanA=0。当∠A=45°时，由等腰直角三角形可知对边等于邻边，tan45°=1。锐角A越大，对边相对于邻边越长，tanA的值越大。因此，tanA的值可以大于1，也可以小于1，其范围是tanA>0。

教师活动：进一步用几何画板展示，随着锐角A从0°逐渐增大到接近90°，tanA的值从0开始不断增大的过程（趋向于无穷大），直观展示正切函数的单调性，为后续学习函数概念埋下伏笔。

设计意图：通过一系列层层递进的思考题，引导学生超越定义的文字表述，深入剖析正切概念的内涵和外延。探讨正切值的取值范围和变化趋势，将学生的认识从“静态的概念”引向“动态的函数”视角，深化对概念本质的理解，建立初步的函数思想。

（四）典例解析，初步应用（预计用时：12分钟）

教师活动：出示例题1（直接应用型）：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求tanA和tanB的值。

学生活动：独立完成。一名学生板演。强调书写规范：必须在Rt△ABC中的前提下，明确写出tanA=BC/AC=3/4，tanB=AC/BC=4/3。教师点评，巩固定义。

教师活动：出示例题2（逆向求边型）：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=3/4，BC=6，求AC的长。

学生活动：分析：由tanA=BC/AC=3/4，且BC=6，可列方程6/AC=3/4，求解AC=8。教师引导学生总结：已知锐角的正切值和一边，可求这个锐角的对边或邻边。

教师活动：出示例题3（实际情境型）：回到引入的梯子问题。若梯子与地面的夹角为75°时比较安全。现有一架梯子，测得梯脚距离墙面0.8米。问梯子顶端距离地面多高时，夹角大约为75°？（已知tan75°≈3.732）

学生活动：尝试建模：画出直角三角形，标注已知角和边，利用正切定义列式求解。设高度为h米，则tan75°=h/0.8≈3.732，解得h≈2.99米。教师强调解题步骤：审题→画图→建模（标注已知、未知）→列式→求解→作答。

设计意图：通过三个梯度明显的例题，引导学生逐步掌握正切的基本应用。从直接套用定义计算，到利用定义列方程求边长，再到回归实际情境建立数学模型解决应用问题，实现知识从理解到应用的顺利过渡。例题3不仅回应了课首问题，体现了数学的应用价值，也自然引入了近似计算，为后续使用计算器求正切值或锐角度数做准备。

（五）联系拓展，引入坡度（预计用时：8分钟）

教师活动：展示山坡、水坝、楼梯等剖面图。介绍：“在工程、测量等领域，描述斜坡的倾斜程度常用‘坡度（坡比）’来表示。”给出坡度定义：坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），记作i，即i=h/l。提问：“坡度i与坡角α（坡面与水平面的夹角）的正切值有什么关系？”

学生活动：观察图形，发现坡度i的构成正好是一个直角三角形的两直角边之比（铅直高度h和水平宽度l）。立即得出：i=h/l=tanα。理解坡度即坡角的正切值。

教师活动：补充说明：坡度通常写成1:m的形式。例如i=1:1.5，表示tanα=1/1.5≈0.667。出示例题：一段铁路路基的横断面是等腰梯形ABCD，路基顶宽AB=6米，坡度i=1:√3，路基高AE=4米。求路基底部宽CD。

学生活动：小组合作分析。由i=1:√3=AE/ED，可求出ED=AE*√3=4√3米。由于等腰梯形，同理可得FC=4√3米。故CD=DE+EF+FC=4√3+6+4√3=6+8√3（米）。教师巡视指导，强调将梯形问题转化为直角三角形问题解决。

设计意图：将正切概念自然延伸到工程实际中广泛应用的“坡度”概念，体现数学的跨学科价值。通过建立坡度与正切的等价关系，拓宽了正切概念的应用范围。例题设计涉及等腰梯形转化为直角三角形，培养了学生的转化与化归思想以及解决复杂几何问题的能力。

（六）归纳小结，升华认知（预计用时：5分钟）

教师活动：引导学生从知识、方法、思想、应用等多个维度进行课堂总结。可以提问：“本节课我们学习了哪个核心概念？它是如何产生的？”“探究过程中用了哪些数学思想方法？”“正切概念在生活中有什么用处？”

学生活动：自由发言，相互补充。梳理知识要点：正切的定义、本质（只与角有关）、基本计算和应用（包括坡度）。回顾思想方法：从特殊到一般、数形结合、数学建模、方程思想等。体会数学来源于生活又服务于生活。

教师活动：进行结构化板书总结，将零散的知识点串联成网络。并布置分层作业：基础题（教材课后练习）；拓展题（测量校园内某建筑或旗杆的高度，设计测量方案并运用正切知识计算）；预习作业（阅读教材，了解正弦和余弦的定义，思考它们与正切的异同）。

设计意图：通过开放式的小结，帮助学生将本节课所学内容进行系统化、结构化整理，构建清晰的知识网络。反思探究过程，领悟数学思想方法的价值。分层作业既巩固了双基，又提供了实践探究和前瞻性学习的机会，满足不同层次学生的发展需求。

（七）教学反思预设（课后完成）

本节教学设计力求体现“以学生为主体，以问题为导向”的教学理念。成功之处在于：第一，通过“梯子的倾斜程度”这一核心情境贯穿始终，使数学探究有了生动的现实背景，激发了学生的学习兴趣和探究欲望。第二，概念建构过程扎实，经历了“情境感知—具体探究—抽象概括—剖析本质”的完整过程，符合学生的认知规律，有助于学生深刻理解正切的本质。第三，重视数学思想方法的渗透和核心素养的培养，在探究中注重数学抽象和逻辑推理，在应用中强调数学建模和数学运算。第四，注重跨学科联系，引入了工程中的坡度概念，拓宽了学生的视野。

可能面临的挑战及应对：部分学生对“比值与三角形大小无关”的本质理解可能存在困难。教学中通过“多组数据计算验证”和“几何画板动态演示”双重手段，可以有效突破这一难点。在应用环节，部分学生将实际问题抽象为数学模型的能力较弱，需要教师通过示范和小组互助，加强引导。时间安排上，探究与应用的平衡需根据课堂实际生成灵活调整，确保学生有充足的探究和消化时间。

六、板书设计

左侧主板书：

《梯子的倾斜程度与正切》

一、探究：倾斜程度如何量化？

1.直观感受：角的大小、边的关系……

2.数学发现：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α。

当α固定时，对边/邻边=定值。

几何画板验证：变中之不变。

二、定义：正切（tan）

tanA=∠A的对边/∠A的邻边

=a/b（如图）

要点：①在直角三角形中；②比值；③仅与∠A有关。

三、理解与辨析

1.tanA是∠A的函数。