一中2025-2026学年高二上学期12月月考试题数学

高二上学期12月诊断性检测数学试题一、单选题1．数列的第6项为（

）A． B． C． D．192．在直三棱柱中，，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．椭圆与椭圆的（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等4．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，求的长（

）A． B． C．2 D．5．x是1和2的等差中项，则（

）A． B． C． D．6．已知空间向量，则（

）A．15 B． C．17 D．7．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（）A． B． C． D．8．已知数列满足，，则数列的前12项和为（

）A．108 B．28 C．62 D．80二、多选题9．记数列的前项和为，若，则（

）A．若为等差数列，则 B．若为等比数列，则C．若，则为周期为3的数列 D．若，则10．数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线C上任意一动点，则（

）

A．曲线C与直线有3个公共点 B．曲线C上任意两点距离最大值为4C．的最大值为 D．曲线C所围成图形面积为11．已知圆锥曲线的离心率为，，分别为曲线的左，右焦点，为曲线上一点，则下列结论正确的是（

）A． B．的周长为12C．面积的最大值为4 D．的取值范围是三、填空题12．已知二次函数的图象是抛物线，则其焦点坐标是．13．已知实数满足的方程为，则的最大值为．14．已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数等于四、解答题15．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性．16．求满足下列条件的圆的方程：(1)经过点，，且圆心在直线上．(2)圆心在轴上，半径为，且经过点．17．已知数列和满足，，，.(1)证明：是等差数列，是等比数列；(2)求数列的前项和.18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，是等边三角形．已知，，为线段上一点．(1)若为靠近点的三等分点，求到平面的距离；(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．19．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式；②平方关系；③求导公式，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；(2)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论；(3)若，，证明：1．B令项数，即可求解.【详解】当时，，所以数列的第6项为.故选：B2．C证明三线两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点坐标得到向量坐标，由向量的数量积求得线线角的余弦值.【详解】在直三棱柱中，平面，∵平面，平面，∴，，且∴如图建立空间直角坐标系，∴，，，则，则，，设直线与所成角为，则.故选：C.3．D利用椭圆的性质分析选项即可.【详解】易知的长轴长、短轴长分别为，离心率，焦距长，而的长轴长、短轴长分别为，离心率，焦距长，由，显然只有焦距相同.故选：D4．A根据向量的加减法运算法则以为基底表示向量，再利用计算即可.【详解】由题可知，，且，故，，则，所以，即的长为.故选：A.5．A根据等差中项的定义，即可求解.【详解】因为1、x、2成等差数列，则．故选：A.6．D根据空间向量的坐标运算和几何意义即可求解.【详解】由题意知，.故选：D7．C利用向量的夹角公式即可求解.【详解】设直线与平面所成的角为，所以，又，所以，故选：C.8．D利用数列的通项公式，可判断各项的正负，去绝对值，再求数列的前12项的和即可.【详解】设数列的前项和为，则，因为当时，，当时，，所以.故选：D.9．ABD根据等差数列通项公式求解；利用等比数列的通项公式求解；根据周期的定义求解；利用数列的周期为6求解.【详解】若为等差数列，则公差，所以，故A正确；若为等比数列，则公比，所以，故B正确；若，则为周期为6的数列，故C错误；因为，则，，故D正确；故选：ABD10．BC联立曲线C与直线的方程，根据公共解的个数判断A选项；求出曲线C与轴的交点坐标，数形结合可判断B选项；利用圆的参数方程结合三角函数的有界性可判断C选项；求出曲线C在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积，结合对称性可计算判断D选项.【详解】曲线C的方程可化为，当，时，曲线C的方程可化为，在曲线C上任取一点，则该点关于轴的对称点为，因为，即点也在曲线C上，所以，曲线C关于轴对称，同理可知，曲线C关于轴、原点对称，对于A选项，由，得，所以，即，可得或（舍去），故，所以曲线C与直线只有个公共点，A错；对于B选项，在曲线C的方程中，令，可得，解得或，所以，曲线C交轴于点、、，结合图形可知，曲线C上任意两点距离最大值为，B对；对于C选项，当取最大值，结合图形及对称性不妨，，此时点必在第一象限或两坐标轴正半轴上，设，，其中，由可得，所以，所以，其中，因为，所以，因为，则，故，故当时，取到最大值为，C对；对于D选项，设圆的圆心为，该圆的半径为，因为，故是边长为2的等边三角形，所以圆在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积为，所以曲线C所围成图形面积为，D错.

故选：BC.11．ABD由曲线的轨迹为椭圆，得到，求得，可判定A正确；根据椭圆的定义，求得的周长，可判定B正确；根据，结合椭圆的性质，可判定C错误；设点的坐标为，求得，结合椭圆的性质，可判定D正确.【详解】对于A,由圆锥曲线的离心率为，则曲线的轨迹为椭圆，可得，则，则可得，解得，，所以A正确；对于B，由A得椭圆的方程为，可得，又由椭圆的定义，可得的周长为，所以B正确；对于C，由面积为，因为，所以当点为短轴的端点时，面积取得最大值，可得面积的最大值为，所以C错误；对于D，设点的坐标为，其中，则，所以，因为，可得，则，因为，可得，即取值范围为，所以D正确.故选：ABD.12．根据该二次函数与的关系，将焦点进行平移即可.【详解】是由，即右移一个单位，再向上移动一个单位得到，则原焦点平移后变为.故答案为：.13．/根据的几何意义并结合图象求解出最大值.【详解】，其表示圆上的点与点连线的斜率，如图所示，显然当直线与圆相切时，切点与原点的连线斜率有最值，即有最值，

当与圆相切时，则，解得，所以的最大值为，即的最大值为，故答案为：.14．13由题意可得存在实数使得则成立，列出方程组求解即可.【详解】向量，，，，，三个向量共面，则，故，解得.故答案为：13.15．(1)(2)答案见解析（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可；（2）求导得，分和求解即可.【详解】（1）当时，，．，．曲线在点处的切线方程为．（2）．当时，，是增函数．当时，令，解得．当时，；当，．所以在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．16．(1)(2)或（1）设出圆心坐标，根据圆心到的距离相等求解出圆心坐标，则圆的方程可求；（2）设出圆心坐标，根据圆过点和半径求解出圆心坐标，则圆的方程可求.【详解】（1）因为圆心在上，所以设圆心为，因为圆过点，所以，解得，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为.（2）设圆心为，因为圆的半径为且过，所以，解得或，所以圆的方程为或.17．(1)证明见解析(2)（1）由题意计算后结合等差数列定义与等比数列定义即可得证；（2）计算出后，利用等差数列求和公式与等比数列求和公式分组求和即可得.【详解】（1）由，，则，故，又，故，有，故数列是等差数列；，则，又，故数列是以为公比，为首项的等比数列；（2）由数列是以为公比，为首项的等比数列，则，又，则，则.18．(1)(2)（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求到平面的距离；（2）求出和平面的法向量后可求线面角的正弦值.【详解】（1）取的中点，连接，则，由，且，可知四边形是平行四边形，故，又，，由等边三角形的性质可知，由，平面，平面，可知平面，所以，，又平面平面，平面，平面平面，故平面，由平面可知，故以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，故，由为靠近点的三等分点，可得，所以，设平面的法向量为，则，即，令，可得，故到平面的距离．（2）由题意得，所以，而，，设平面MAC的法向量为，则，即，可取，设直线PB与平面MAC所成的角为θ，则，故直线PB与平面MAC所成角的正弦值为．19．(1)答案见详解，证明见详解(2)，证明见详解(3)证明见详解（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；（2）作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可.（3）结合新定义将所证变为，设函数，即证，先利用导数求得在上单调递