一次函数的概念课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十三章一次函数23.1一次函数的概念数学人教版八年级下册01020304理解一次函数和正比例函数的概念，能判断一个函数是否为一次函数或正比例函数.理解一次函数与正比例函数的关系，能根据实际问题写出一次函数的解析式.经历从实际问题中抽象一次函数概念的过程，体会“特殊到一般”的归纳方法，提升抽象概括能力.感受一次函数在刻画实际问题中的作用，激发对函数学习的兴趣.一个变量随另一个变量均匀变化的现象在现实世界中大量存在.高铁列车登山队攀登高峰行驶的路程s随时间t的变化所在位置的气温y随海拔x的变化本息和y随本金x的变化一年期存款变量与函数概念平面直角坐标系整式运算与列代数式一次函数前置反比例函数定义与表达式图象与性质待定系数法几何直观建模思想研究一次函数的一般思路与方法：建模、观察、讨论、类比、数形结合后置二次函数解决实际问题一元一次方程与不等式什么是函数?什么是函数值?什么是函数解析式?

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.活动：探究一次函数的概念

某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃.(1)用函数解析式表示y与x的关系.1解：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃.因此y与x的函数解析式为：y＝5－6x.这个函数也可以写为

y＝－6x＋5.按x的降幂排列活动：探究一次函数的概念

某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃.(2)求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温.1解：当登山队员由大本营向上登高2km时，他们所在位置的气温就是当x＝2时函数y＝－6x＋5的值，即y＝－6×2＋5＝－7(℃).活动：探究一次函数的概念

在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征？2(1)铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化.函数解析式为：m=7.9V(2)每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化.函数解析式为：h=0.5n活动：探究一次函数的概念

在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.这些函数解析式有哪些共同特征？2(3)一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以cm为单位量出身高

h，再减去常数105，所得差是m的值，m随

h的变化而变化.函数解析式为：m=h-105(4)把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少

xcm，宽不变，矩形的面积

y（单位：cm2）随

x的变化而变化．函数解析式为：y=-5x＋50活动：探究一次函数的概念上面写出的几个函数解析式有哪些共同特征？3(1)m=7.9V;(2)h=0.5n;(3)m=h－105;(4)y＝－5x＋50.

观察以上函数解析式，这些函数在形式上的共同点：都是常数

k与自变量的积与常数

b的和的形式．活动：探究一次函数的概念一次函数：一般地，形如

y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数，其中x是自变量.特别地，当

b=0

时，

y=kx+b即

y=kx.正比例函数：形如

y=kx

(k是常数，k≠0)

的函数，叫作正比例函数，其中

k

叫作比例系数.一次函数y=kx+b(k≠0)的结构特征：①k≠0；②自变量x的次数是1；③常数项b可以是任意实数

.活动：探究一次函数的概念等号两边是否为整式是否具有y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式一次函数正比例函数不是一次函数否否是恒等变形是b=0活动：探究一次函数的概念活动：探究一次函数的概念活动：探究一次函数的概念判断一次函数的方法：看函数解析式能否通过变形转化为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的形式，若能，则是一次函数，此时若b＝0，则该函数既是一次函数，又是正比例函数.活动：探究一次函数的概念一次函数与正比例函数有什么关系？4一次函数正比例函数(1)当b=0时，y=kx+b

即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.(2)正比例函数是特殊的一次函数.即正比例函数都是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.例题1

一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm.(1)求弹簧的长度

y

（单位：cm）关于所挂物体质量

x（单位：kg）的函数解析式；(2)当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？(1)由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂

xkg的物体时，弹簧伸长2x

cm.因此，y关于x的函数解析式为

y=2x+12.抽象出一次函数模型(2)把

x=5代入

y=2x+12，得

y=2×5+12=22.因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm.例题2根据“二次项系数为0”和“一次项系数不为0”列方程或不等式求解.已知函数y＝(m＋1)·x2－|m|＋n＋4.(1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？(2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？例题2已知函数y＝(m＋1)·x2－|m|＋n＋4.(1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？(2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？(1)由题意，得2－|m|＝1，解得m＝±1.因为m＋1≠0，所以m≠－1.所以m＝1.所以当m＝1，n为任意实数时，这个函数是一次函数．一次项系数不为0是隐含条件例题2已知函数y＝(m＋1)·x2－|m|＋n＋4.(1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？(2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？(2)由题意，得2－|m|＝1，n＋4＝0，解得m＝±1，n＝－4.因为m＋1≠0，所以m≠－1.所以m＝1.所以当m＝1，n＝－4时，这个函数是正比例函数．例题3(1)观察表中数据可知，销量每增加1千克，销售额就增加3.5元，∴a=7-3.5=3.5，b=28+3.5=31.5故a=3.5，b=31.5例题3例题3解：(1)(3)(5)是一次函数，(1)(3)是正比例函数.2.用函数解析式表示下列问题中y与x的关系:(1)某人一年内的月平均收入为x元，他这一年(12个月)的总收入为y元；(2)某水池有水20m3，现在打开进水管开始进水，进水速度为3m3/h，则xh后水池有水ym3.解：(1)y=12x;(2)y=3x+20.列一次函数解析式时，先理解题意，找出两个变量之间的关系，然后根据题意中的等量关系列出等式，再用含自变量的式子表示函数.寻找生活中的一次函数任务：1.观察生活中2个变量均匀变化的实际情境(如打车费用、水电费计算等)，记录变量之间