广东省深圳市2026届高三下学期第二次调研考试数学试题及答案

试卷类型：A

秘密★启用前

2026年深圳市高三年级第二次调研考试

数学2026.4

本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写

在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答

题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信

息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和

涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，留存试卷，交回答题卡。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知,则|z|=

A.√2B.√3C.2D.√5

2.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x²-3x+2≤0},则A∩B=

A.{-1}B.{1}C.{1,2}D.{0,2}

3.(1+2x)⁵的展开式中x²的系数为

A.20B.40C.60D.80

4.设a,b∈R,则“3°>3”是“a³>b³”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.在平行四边形ABCD中，AE=2ED,则BE=

A.B.

D.

2026年深圳市高三年级第二次调研考试数学试题第1页共4页

6.已知直线1,平面α,满足14a,则下列命题一定正确的是

A.存在mcα,使得1,m相交B.存在mcα,使得1//m

C.存在mcα,使得1,m的夹角为D.存在mcα,使得1⊥m

7.双曲线C(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F₁、F₂,0为坐标原点，

点P是C上一点，,则C的离心率为

A.1+√2B.1+√3C.3D.1+√5

8.已知函数f(x)=eˣ(x-1)+x²-x,则满足f(m)<f(m+2)的m的取值范围是

A.(0,+∞)B.C.(-1,+∞)D.(-∞,0)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知函数,则

A.f(x)的最小正周期为2π

C.为偶函数D.f(x)的图象关于直线对称

10.某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表：

月份x12345

销售额y/万元1.82.2t2.83.1

根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为=0.32x+1.54,则

A.变量y与x正相关B.t=2.6

C.样本数据y的下四分位数为1.8D.当x=8时，y的预测值为4.1万元

11.已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高为2,且有内切球0(球O位于三棱柱的内部且与各

个面有且只有一个公共点),若过0,A,B三点的平面截该三棱柱所得截面为α,则

A.AB=3

B.平面OAB⊥平面OAB₁

C.截面α的面积为

D.该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若直线y=3x+b是曲线y=2x+Inx的一条切线，则b=.

13.已知等差数列{an}的前n项和为S,首项a₁=20,S₂₆为S,的最大值，则S₂6的值可

以为.(写出符合条件的一个值即可)

14.已知圆0:x²+y²=1,A是圆0上的一动点，B(2,0).若存在一个半径为r的圆与直

线AB相切于点B,且与圆x²+y²=16内切，则r的最小值为·

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出说明、明过程或演算步骤。

15.(13分)

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a²=b²+c²+√2bc,

(1)求sinB的值；

(2)若△ABC的面积为1,求△ABC的周长.

16.(15分)

已知函数f(x)=eˣ-x²+(2-a)x.

(1)若f(x)在x=1时取极值，求a的值和f(x)的极小值；

(2)若不等式f(x)≥1对任意x≥1恒成立，求a的取值范围.

17.(15分)

已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,A,B是C上不同的两点(其中A在

第一象限),点

.当AB与x轴垂直，且|AB|=2p时，|AM|=2√2.

(1)求C的方程；

(2)若Q为x轴上一点，且|AQ|=|BQI(点Q与F不重合).从下面①②③中选取两

个作为条件，证明另外一个成立：

①A,B,F三点共线；②AQ//y轴；③MB⊥AB.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

2026年深圳市高三年级第二次调研老试数学试题

18.(17分)

如图，已知圆锥PO的底面直径AB=2,其中0为底面圆心，母线PA=3,动点M从

A点出发，在圆锥的侧面上绕轴PO一周后回到A点，其轨迹为L.

(1)求L长度的最小值：

(θ是所对的圆心角，0≤θ≤2π),

(2)若点Q在圆O上，且AQ

证明：存在非零向量n,使得AMln恒成立：

(3)在(2)的条件下，可知L是平面曲线，记L所在平面为α,求平面MPO与α夹

角余弦值的取值范围.

第18题图

19.(17分)

一个微生物在如图所示3×3方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻

的方格.方格C是初始位置，A是营养丰富的角落，每次到达方格A时，微生物进行一次

繁殖.记该微生物第n次繁殖时所经过的总移动步数为X。(n∈N*).

(1)求P(X₁=2),P(X₁=4),P(X₁=6);

ABA

(2)求E(X);

BCB

(3)求E(X).

ABA

参考公式：1.若0<g<1,对于则

2.若ξ,η是离散型随机变量，则E(ξ+η)=E(ξ)+E(η).

2026年深圳市高三年级单二次调研考试数字试题第4页共4页

2026年深圳市高三年级第二次调研考试

数学试题参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.已知,则|z|=

A.√2B.√3C.2D.√5

答案：A

2.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x²-3x+2≤0},则A∩B=

A.{-1}B.{1}C.{1,2}D.{0,2}

答案：C

3.(1+2x)⁵的展开式中x²的系数为

A.20B.40C.60D.80

答案：B

解析：由于(1+2x)⁵的展开式的第3项为T₃=C²(2x)²=40x²,选B

4.设a,b∈R,则“3“>3”是“a³>b³”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案：C

5.在平行四边形ABCD中，AE=2ED,则BE=

A.B.D.

答案：A

,选A.

C

6.已知直线1,平面α,满足1aα,则下列命题一定正确的是

A.存在直线mcα,使得1,m相交B.存在直线mcα,使得L//m

C.存在直线mcα,使得l,m所成角为D.存在直线mcα,使得11m

数学试题参考答案及评分标准第1页共16页

C.)为偶函数D.f(x)的图象关于直线对称

答案：AD

10.某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表：

月份x12345

销售额y/万元1.82.2t2.83.1

根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为=0.32x+1.54,则

A.变量V与x正相关B.t=2.6

C.样本数据V的下四分位数为1.8D.当x=8时，V的预测值为4.1万元

答案：ABD

解析：对于选项A,由于k=0.32>0,则变量V与x正相关；

对于选项B,由于x=3,,则t=2.6;

对于选项C,由于1.25<2,则样本数据Y的下四分位数为2.2;

对于选项D,当x=8时，y8=4.1,选ABD.

11.已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高为2,且有内切球O(球0位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一

个公共点),若过A,B,O三点的平面截该三棱柱所得的截面为α,则

A.AB=3

B.平面OAB⊥平面OA₁B

C.截面α的面积为

D.该三棱柱被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为

答案：BCD

解析：如图，取上底面，下底面的中心分别为0,O₂,取AB,A₁B₁的中点M,N,

取中点于是四边形为矩形，则00=00=

MNI,O₁NMO₂₁₂OI=1,A

于是O₂M=1,CM=3,则AB=2√3,A错误；

A

对于选项B,由于ABIIAB₁,且ABc平面OAB,A₁B₁α平面OAB,则AB//平面OAB,

又因为A₁B₁C平面OA₁B₁,平面OA₁B₁∩平面OAB=1,则L//AB//AB,

如图，连接OM,ON,由于OM⊥AB,ON⊥AB₁,则∠MON为平面OAB与平面OA₁B₁所成角平

面角，

由于ON=OM=√2,MN=2,则OM²+ON²=MN²,OM⊥ON,于是平面OAB⊥平面OAB₁;

数学试题参考答案及评分标准第3页共16页

答案：D

解析：对于选项A,若1//aα,任意直线mcα,1,m不相交，矛盾；

对于选项B,若1与α相交，不存在直线mcα,使得I//m,矛盾；

对于选项C,若1⊥a,任意直线mcα,1lm,矛盾；

对于选项D,若1la,任意直线mcα,1lm;

若1//lα,存在直线nca,1lln,令m⊥n,则l⊥m;

若1与α相交，存在平面β,1⊥β,a∩β=n,令m//n,则1Im,D正确.

7.双曲线C1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F₂,0为坐标原点，点P是C

上一点，,则C的离心率为

A.1+√2B.1+√3C.3D.1+√5

答案：A

解析在△OPF₂中，OF₂=c,PF₂=2c,OP=√5c,

则OF₂²+PF₂²=OP²,则PF₂⊥x轴，

于是PF=2√2c,由于PF-PF₂=2a,则2(√2-1)c=2a,

8.已知函数f(x)=e-1)+x²-x,则满足f(m)<f(m+2)的m的取值范围是

A.(0,+∞)B.

C.(-1,+∞)D.(-∞,0)

答案：B

解析：由于函数y=x²-x关于直线对称，

当时，函数y=x²-x单调递增，于是函数f(x)在上单调递增，

由f(m)<f(m+2),则,即2m>-4,,选B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知函数,则

A.f(x)的最小正周期为2πB.

数学试题参考答案及评分标准第2页共16页

c

对于选项C,如图，连接MO,交NC于H,过点H作AB的平行线交AC,B₁C₁于E,F,

由于△HO₁O~△MO₂O,则O₁H=C₁H=ON=1,则H为C₁N上靠近C的三等分点，

于是由于MH⊥AB,M为AB中点，H为EF中点，

则四边形ABFE为等腰梯形，且MH=2MO=2√2,于

对于选项D,由于正三角形△C₁EF与正三角形△CAB相似，三条侧棱延长相交于一点，

于是C₁EF-CAB为正三棱台，

而三棱柱的体积V=2×3√3=6√3,于是

则较小部分与较大部分的体积之比为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若直线y=3x+b是曲线y=2x+Inx的一条切线，则b=_·

答案：-1

解析：设切点为(x₀,2x₀+Inx₀),由于,则,则x₀=1,

于是切点为(1,2),则2=3+b,b=-1.

13.已知等差数列{a}的前n项和为S。,首项a₁=20,S₂₆为S的最大值，则S₂₆的值可以为

.(写出一个符合条件的值即可)

数学试题参考答案及评分标准第4页共16页

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a²=b²+c²+√2bc,

(1)求sinB的值

(2)若△ABC的面积为1,求△ABC的周长.

解：(1)由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA,可得

且A∈(0,π),则

由正弦定理：

,即2sinB=cosB,

又因为sin²B+cos²B=1,解得

因为,所以

解法2,于是不妨设b=√2m,c=m,

由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA,

a²=2m²+m²+2m²,a=√5m,

由正弦定理，

(2)解法1由(1),

由正弦定理，

于是

a=√10,b=2,c=√2,CABC=2+√2+√10;

解法2由(1),

则

如图，延长BA,过点C作CH⊥BA,由,则

数学试题参考答案及评分标准第6页共16页

设g(x)=e-x-1,g₁(x)=e-1≥e-1>0,则g(x)在(l,+∞o)上单调递增，

于是g(x)≥g(1)=e-2>0,则g'(x)≥0,

于是g(x)在[l,+]上单调递增，于是g(x)min=g(1)=e-2,则a∈(-∞,e];

解法3由于f(x)=e-x²+(2-a)x≥1,x≥1,

f(x)=e-2x+2-a,f"(x)=e-2≥e-2>0,

则f'(x)在[1,+∞]上单调递增，由于f'(1)=e-a,

若f'(1)=e-a<0,a>e,由于f(x)在[1,+0∞]上连续，则存在x∈(1,x₂),f'(x)<0,

于是f(x)在(1,x₂)上单调递减，则f(x₂)<f(1)=1+e-a<1矛盾；

若f'(1)=e-a≥0,a≤e,则f'(x)≥f(1)=0,

于是f(x)在(1,+∞)上单调递增，则f(x)≥f(1)=1+e-a≥1,则a≤e恒成立，

综上所述，a∈[-∞,e];

解法4由f(x)=e-x²+(2-a)x≥1,x≥1,则

若3-a≤1,则a≥2,则g'(x)≤0,g(x)在(1,+∞)单调递减，

,则2≤a≤e;

若3-a>1,a<2,令g(x)=0,x=3-a>1,

令g'(x)>0,1≤x<3-a,则g(x)在(1,3-a)上单调递增；

令g'(x)<0,x>3-a,则g(x)在(3-a,+∞)上单调递减，

,令t=3-a>1,下证：e'≥t+1,t>1,

设h(t)=e-t-1,h'(t)=e-1>e-1>0,则h(t)在(1,+∞)上单调递增，

则h(t)>e-1-1>0,即于是a<2不等式恒成立，

综上所述：a∈[-∞,e];

17.(15分)

已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F,A,B是C上不同的两点(其中A在第一象限),

点.当AB与x轴垂直，且|AB|=2p时，|AM|=2√2.

(1)求C的方程；

(2)若Q为x轴上一点，且|AQ=BQI(点Q与F不重合).从下面①②③中选取两个作为条

数学试题参考答案及评分标准第8页共16页

于是设CH=AH=x,AC=√2x=b,,则AB=x,BC=√5x,

则,x=√2,于是CAABc=x+√2x+√5x=2+√2+√10;

16.(15分)

已知函数f(x)=e-x²+(2-a)x.

(1)若f(x)在x=1时取极值，求a的值和f(x)的极小值；

(2)若不等式f(x)≥1对任意x≥1恒成立，求a的取值范围.

解：(1)由于f(x)=eˣ-x²+(2-a)x,f(x)=eˣ-2x+(2-a),

则f'(1)=e-2+2-a=0,则a=e,

于是f(x)=e-x²+(2-e)x,f(x)=e-2x+(2-e),

令t(x)=eˣ-2x+(2-e),则t(x)=e-2,

令t'(x)=0,则x=In2,

则f(x)在(-∞o,In2)上单调递减，所以f(x)在(-∞,In2)上没有极小值，

又因为f(x)在(ln2,+∞)上单调递增，且f'(1)=0,

故f(x)在(lIn2,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

于是f(x)在x=1处取极小值，极小值为f(1)=1.

(2)解法1由于不等式f(x)≥1对任意x≥1恒成立，则f(1)≥1,

即e-1+2-a≥1,所以a≤e,

下证：当a≤e时，e-x²+(2-a)x≥1,

由于a≤e,则e-x²+(2-a)x≥eˣ-x²+(2-e)x,

令m(x)=e-x²+(2-e)x,由(1)可知，m(x)在(1,+00)上单调递增，

于是m(x)≥m(1)=1,所以f(x)≥m(x)≥m(1)=1,

所以a∈[-∞,e].

解法2令f(x)=e-x²+(2-a)x≥1,x≥1,则

设,则a-2≤g(x)min,x≥1,

数学试题参考答案及评分标准第7页共16页

答案：260([260-270]均可)

解析：设a,=20+(n-1d,由S26最大，d<0,{an单调递减，

那么,则,于是

14.已知圆0:x²+y²=1,A是圆O上的一动点，B(2,0).若存在一个半径为r的圆与直线AB相

切于点B,且与圆x²+y²=16内切，则r的最小值为_·

答案：1.2

解析：如图，取圆的圆心为P,连接PB,PO,设点P(x,y),

由于|OP|=4-r=4-|PD|,则|PB|+|PO|=4(>|OB|=2),

于是点P的轨迹是以0,B焦点的椭圆，从而椭圆的中心为(1,0),

于是设点P的轨迹方程为：

其中,则b=√3,方程为：,如图，

由于直线AB始终与x²+y²=1有公共点A,

不妨设PB的倾斜角为θ,如图，才能取到最小值，其中直线HB与圆

相切，

由OH=1,OB=2,

要求|PB|的最小值，由焦半径公式：

数学试题参考答案及评分标准第5页共16页

在△QFA与△BFM中，,|FM|=2,

取A,B中点P,连接PQ,

于是,则

于是cosθ(1+cosθ)=1,

且∠QFA=∠BFM,则△QFA~△BFM,于是,即MB⊥AB;

①③→②

解法1:由题，AB与x轴不垂直，不妨设点A(x₁,y),B(x₂,y₂),Q(m,0),x₁≠x₂,

于是直线即(y₁+y₂)y-y₁y₂=4x,

若A,B,F三点共线，则y₁y₂=-4,

取A,B中点P,连接PQ,

由于

由|PA|=|PB|,PQ⊥AB,且MB⊥AB,则PQ//BM,kpg=kBM,

且y₁y₂=-4,

则yy₂²+4y₁+4y₂+y₂³=y²y₂+y₂³-8my₂,即8y₁=-8my₂,

则则AQ⊥x轴，AP//y轴；

解法2:由题，AB与x轴不垂直，不妨设直线AB:x=ty+1,点A(x₁,y),B(x₂,y₂),Q(m,0),

x₁≠x₂,联立直线AB与C:

,y²-4ty-4=0,

取A,B中点P,连接PQ,

数学试题参考答案及评分标准第10页共16页

件，证明另外一个成立：

①A,B,F三点共线；②AQ//y轴；③MB⊥AB;

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

解：(1)由题，A,B关于x轴对称，令y=P,则,于是直线AB过焦点F,

在Rt△AFM中，有|AMIP²=|FM²+|AFI²,可得：|AM|=√2p=2√2,

则p=2,于是C的方程为：y²=4x;

(2)①②→③

解法1:由题意知，AB与x轴不垂直，不妨设点A(x,y),B(x₂,y₂),Q(x,,0),x₁≠x₂,

于是直线即(y₁+y₂)y-y₁y₂=4x,

若A,B,F三点共线，(y₁+y₂)×0-y₁y₂=4,则y₁Y₂=-4,

取A,B中点P,连接PQ,由Q|A=QB|,则PQ⊥AB,

则kpg=kBM,PQ//BM,则MB⊥AB;

解法2:由题，AB与x轴不垂直，不妨设直线AB:x=ty+1,点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),Q(x₁,0),

x₁≠x₂,联立直线AB与C:

,y²-4ty-4=0,

取A,B中点P,连接PQ,由|QA=QB|,则PQ⊥AB,

则kpg=kBM,PQ//BM,则MB⊥AB;

解法3:如图，设C的准线为1:x=-1,过点A,B分别作1的垂线，垂

足为A₁,B₁,过点F作FH⊥AA₁,

设直线AB的倾斜角为θ,于是|AF=|AA|,则|AF|=p+|AF|cosθ,

即,同理，

数学试题参考答案及评分标准第9页共16页

由于

由|PA|=PB|,PQ⊥AB,且MB⊥AB,则PQ//BM,kpo=kBM,

,且y₁y₂=-4,

则yy₂²+4y+4y₂+y₂³=y²y₂+y₂³-8my₂,即8y₁=-8my₂,

则,则AQlx轴，API/y轴；

解法3:如图，设C的准线为1:x=-1,过点A,B分别作1的垂线，垂足为A,B₁,

设直线AB的倾斜角为θ,于是|AF=|AA|,则|AF|=p+|AF|cosθ,

即,同理，

在△BFM中，|FM|=2,

取A,B中点P,连接PQ,

则cosθ·(1+cosθ)=1,

则

在△QFA与△BFM中，,|FM|=2,

且∠QFA=∠BFM,则△QFA~△BFM,于是,即AQ1x轴，AP//y轴；

②③→①

解法1:由题，AB与x轴不垂直，不妨设点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),Q(x,0),x₁≠x₂,

于是直线即(y₁+y₂)y-y₁y₂=4x,

取A,B中点P,连接PQ,由|QA=QB|,则PQ⊥AB,

数学试题参考答案及评分标准第11页共16页

所以，在等腰三角形PAA'中，AA'=3√3,即L的长度为3√3.

(2)如图，在底面圆0中，过点0作OE⊥AB交圆O于点E,由于POI平面ABE,则OA,OE,

OP两两垂直，如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，OP所在直线

为z轴，建立空间直角坐标系，

于是A(1,0,0),P(0,0,2√2),Q(cosθ,sinθ,0),设M(x,y,z),

则PM=(x,y,z-2√2),PQ=(cosθ,sinθ,-2√2),

于是,则

于是令n=(2√2,0,3),则AM·n=0;

(3)解法1由(2)可知，n=(2√2,0,3)是平面α的一个法向量，

设平面MPO的法向量为π=(x₁,y₁,z),

由于OP=(0,0,2√2),

则令x₁=-sinθ,y₁=cosθ,z₁=0,

于是平面MPO的一个法向量为n=(-sinθ,cosθ,0),

设平面α与平面MPO所成角为α,

数学试题参考答案及评分标准第13页共16页

而

由PQ⊥AB,MB⊥AB,则PQ//BM,kpo=kBM,

,于是y₁y₂=-4,

则直线AB:(y₁+y₂)y+4=4x恒过定点F,即A,B,F三点共线.

解法2:由题，AB与x轴不垂直，不妨设直线AB:x=ty+m,点

A(x,y₁),B(x₂,y₂),Q(x,0),x₁≠x₂,联立直线AB与C:

取A,B中点Q,连接PQ,由Q|A|=QB|,则PQ⊥AB,

由PQ⊥AB,MB⊥AB,则PQIlBM,kpo=kBM,

,于是yY₂=-4=-4m,m=1,此时△=16t²+16>0,

则直线AB:x=ty+1恒过定点F,即A,B,F三点共线.

18.(17分)

如图，已知圆锥PO的底面直径AB=2,其中0为底面圆心，母线PA=3,动点M从A点出发，

在圆锥的侧面上绕轴PO一周后回到A点，其轨迹为L.

(1)求L长度的最小值；

(2)若点Q在圆O上，且PM=3-2PQ(θ是AQ所对的圆心角，O≤θ≤2π),

证明：存在非零向量n,使得AMIn恒成立；

(3)在(2)的条件下，可知L是平面曲线，记L所在平面为α,求平面MPO与α夹角余弦值

的取值范围.

解：(1)如图，沿圆锥PO的母线PA,将圆锥的侧面展开，得侧面展

开图扇形PAA',其中B为AA'的中点，A'与A在圆锥中是同一点.

因为轨迹L在圆锥的侧面上，所以，在侧面展开图中，轨迹L是扇形

PAA'上连接A'与A两点的曲线.

又L是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短，所以，轨迹L是

侧面展开图扇形PAA'上连接A'与A两点的线段，即线段AA'.

由于AB=2,所以AA'的长度为2π,又PA=3,所以

第18题图

数学试题参考答案及评分标准第12页共16页

即平面α与平面MPO所成角的余弦值的取值范围为

解法2由(2)可知，平面α的法向量n=(2√2,0,3),

由于Q在底面圆周上运动，

则平面POM即平面POQ的法向量可以是底面上任意方向的向量，

如图，在平面PAB内，过点O作ON⊥AF,则ONIIn,

设平面MPO与平面α所成的角为θ,则

易知则

综上，

即平面α与平面所成角的余弦值的取值范围为

MPO.

19.(17分)

一个微生物在如图所示3×3方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格.方

格C是初始位置，A是营养丰富的角落，每次到达方格A时，微生物进行一次繁殖.记该微生物第n

次繁殖时所经过的总移动步数为X。(n∈N).

(1)求P(X₁=2),P(X₁=4),P(X₁=6);ABA

(2)求E(X₁);BCB

(3)求E(X).ABA

参考公式：1.若0<q<1,对于