安徽省合肥市2026届高三下学期第二次教学质量检测数学+答案

2026年合肥市高三第二次教学质量检测

数学试题参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．C2．A3．B4．D5．C6．C7．A8．B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．BC10．ABD11．ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

ππ

12．13．14．2

36

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）

【解析】（1）设“乘客出行目的为工作通勤”为事件A，“乘客出行目的为接驳交通枢纽”为事件B,“乘

客出行目的为其它”为事件C，“乘客接受动态调价”为事件D，则

P

所以P

41

因此，该订单乘客接受调价的概率为6分

100

18

因此，该订单乘客出行目的为工作通勤的概率为．13分

41

16.（15分）

【解析】（1）因为f,=ax∈(0,+∞)，

所以f,(1)=2a_2，又f(1)=a_1，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y_(a_1)=2(a_1)(x_1)，

即y=2(a_1)x_a+1，即

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线过定点．………………6分

f'=ax∈(0,+∞)．

当a≤0时，f'(x)<0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减，此时f(x)最多有一个零点，不满足题意．

当a>0时，令f'(x)>0，解得x令f'，解得0<x<，

数学试题答案第1页（共4页）

)

于是f(x)在0,|上单调递减，在上单调递增，

丿

所以fmin=fa+ln

当x→0时，f(x)→+∞,当x→+∞时，f(x)→+∞,

又因为f(x)有两个零点，

所以f，即(a_1)(lna_1)>0，解得0<a<1或a>e.

因此，a的取值范围为(0,1)(e,+∞)．……………………15分

17．（15分）

【解析】（1）由于直线l的方程为y0y=1，当x=_2时，y=即N1(_2,)，

因为A1(_2,0)，y0>0，所以A1N

同理可得N，A2N2=，

所以，由在上，可得2，

A1N1A2NQ(x0,y0)Cy0=1

所以A1N1A2N

所以A1N1.A2N2为定值1．…………………7分

（2）由（1）设A1N1=m，则A2N，因此直角梯形A1N1N2A2的面积S

因为F(3,0)，所以SANAFANAF

A1N1F111A2N2F222

2_32+3

所以S=S_S_S=m+≥2=1，

N1FN2A1N1FA2N2F22m22m

当且仅当，即m=2+3时等号成立，此时N1(_2,2+3)，N2(2,2_3)，

所以，即，代入2，

kN1Nyy0=1

可得，或（舍）．

因此，当x时，△N1FN2的面积有最小值1，

此时点Q的坐标为．…………………15分

18．（17分）

【解析】（1）连CE，则四边形ABCE为菱形，设ACBE=O，A1

则A1OAC，E

AD

因此，AA丄AC；……………分

114O

（2）当AC=2A1A=23时，OAA1是以边长为3的等边三角形．

BC

数学试题答案第2页（共4页）

又因为梯形ABCD的面积为33，所以ABE的面积为3，所以BE.OA，所以BE=2．

以为O坐标原点，以为OB，OC分别为x，y轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则B(1,0,0)，C(0,3,0)，D(一2,3,0)，A

所以．

A1z

设n1=(x,y,z)为平面A1BC的法向量，则

E

AD

即

O

令y=1，则x=z=3，所以n1=(3,1,3)．

B

同理可求平面CD的一个法向量为，C

A1n2=(0,1,3)xy

所以cos

因此，平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为……………………10分

（3）过A1作A1M丄AO，垂足为M．因为BO丄平面AA1C，

A1

所以BO丄A1M，所以A1M丄平面ABCD．

设BE=AA1=2a，LBAO=θ,则BO=a，AO=A1OE

AD

12

根据ABE的面积为3，得×2a×AO=3，即a=3tanθ,M

2O

要使三棱锥A1一ABE的体积最大，则A1M最大，

因为cosLAOAtan2θ,BC

所以sinLAOA

A1M=A1O.sinLAOA其中

32

令x=tanθ,记f(x)=x一x(0<x<1)，f,(x)=1一3x，令f,=0,x或x（舍），

(

,

当x时，f(x)>0,f(x)在x∈|0,l上单调递增，

(

(

,

当x时，f(x)<0,f(x)在x∈|,1l上单调递减，

(

所以f≤f即

A1M

所以三棱锥A1一ABE的体积最大值为

因此，四棱锥A1一ABCD体积的最大值为22．……………17分

19．（17分）

【解析】（1）通过实际操作可以发现：当n=7时x的取值与其比较次数如下表：

x1234567

比较次数3231323

数学试题答案第3页（共4页）

当n=16时x的取值与其比较次数如下表：

x12345678910111213141516

比较次数4342434143424345

……………………4分

（2）由（1）知Y7可取1,2,3，于是a7=E

可取

Y161,2,3,4,5.于是a16=E

k可取，当k（）时，所有可能取到的数的个数记为，则，

Y2_11,2,3,...,kY2_1=m1≤m≤kbmbm+1=2bm,b1=1

m_1

所以bm=2，因此P，于是

令S=20+2×21+...+k×2k__1，

2S=21+2×22+...+(k_1)×2k_1+k×2k，两式相减得，S=(k_1)2k+1，

所以ak……………………10分

2

kk+1

（）根据（）的分析，容易知道当时，k可取

322_1<n<2_1Y2_11,2,3,...,k,k+1.

对于任意的n≥3，设n=2k_1+t,(0≤t≤2k_1，t∈Z)，

则

an

要证：log2(n+1)__1<an<log2