2025-2026学年广东潮州市潮安区龙溪中学度第二册高二年级数学月考（1）检测卷 含答案

/2025-2026学年度第二学期高二级数学月考（1）检测卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1.若函数，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用导数的求导法则进行求导即可求解.【详解】，，.故选：B.2.已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直线经过，两点，可以写出直线的方程，根据导数的几何意义进行求解.【详解】解：直线经过，两点，.直线与曲线切于点，可得曲线在处的导数为：，所以.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.3.已知是函数的导函数，若，则（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】先对函数求导再赋值可得，进而可得函数值.【详解】由，得，∴，得，∴，则.故选：B．4.某放射性同位素在衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该同位素的含量.已知时，该同位素含量的瞬时变化率为，则（）A.24贝克 B.贝克C.1贝克 D.贝克【答案】B【解析】【分析】先求出，然后利用，求出，再求解即可.【详解】由，得，因为时，该同位素含量的时变化率为，所以，解得，所以.故选：B.5.已知函数，若存在，使得成立，则实数的最小值是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数求出函数在时的最小值，结合题意即可求得答案.【详解】由，得，当时，，故在上单调递减，当时，，故在上单调递增，故当时，，而存在实数，使得成立，故，即实数t的最小值是.故选：A6.已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出导函数，从而求出导函数函数值的范围，即切线的斜率的范围，即可得出答案.【详解】因为，所以．设，由题意知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率．所以．因为，所以．故选：D7.下列判断正确的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对A，构建函数，利用函数单调性判断；对B，利用对数函数单调性判断；对CD，比较函数即可.【详解】对于A，令，，若；若,所以函数在单调递增，在单调递减，所以，则，即，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，D，对函数，当；当，由，所以，，故C错误，D正确.故选：D.8.已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，求导可得在上单调递增.根据是定义域为的奇函数得到为上的偶函数，结合的性质可求的解集．【详解】根据题意，构造函数，求导得，当时，，所以在上单调递增，因为为奇函数，所以是偶函数，故在上单调递减.因为，所以，故.当时，不等式可化为，因为在上单调递增，所以.当时，因为在上为奇函数，所以，满足.当时，不等式可化为，因为在上单调递减，所以.综上，的解集为.故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项正确，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分9.（多选）下列求导运算不正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用求导公式及导数运算法则逐项求解判断.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D错误.故选：ACD10.函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A.函数在处有极小值；B.函数在处有极小值；C.函数在区间内有4个极值点；D.函数在上为增函数.【答案】BD【解析】【分析】根据导函数的图象、极值点、极值的知识与用导数判断单调性可求得正确答案.【详解】对于A选项，在左右两侧的，所以不是的极值点，故A选项错误.对于B选项，在左右两侧，左侧，右侧，且，所以函数在处有极小值，故B选项正确.对于C选项，根据图象可知，有3个极值点，左右两侧的，所以不是的极值点，故C选项错误.对于D选项，的图象在上，当且仅当时，，所以在上单调递增，故D选项正确.故选：BD.11.已知函数的极小值点为，则（）A. B.在上单调递增C.当时， D.当时，【答案】BCD【解析】【分析】根据题意结合极值点可得或，并代入结合单调性检验，即可判断AB；根据题意结合函数单调性求函数值的取值范围即可判断C；利用作差法判断D.【详解】因为函数的定义域为，且，若函数的极小值点为，则，解得或，若，则，令，解得或；令，解得；可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以为函数的极大值点，不合题意；若，则，令，解得或；令，解得；可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以为函数的极小值点，符合题意；综上所述：，且在上单调递增，故A错误，B正确；对于选项C：因为，令，可知在上单调递减，在上单调递增，则，且，可得，即，故C正确；对于选项D：因为，若，则，可得，所以，故D正确；故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.若函数，则的单调递减区间为________．【答案】【解析】【分析】利用导数求出函数的单调递减区间即可.【详解】函数，定义域为，求导得，令，则，解得，又，则，所以的单调递减区间为.13.曲线过点的切线方程为__________.【答案】【解析】【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解.【详解】设切点为，则，故切线方程为，将代入可得，解得，故切线方程为，即，故答案为：14.若恒成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用换元法，结合余弦函数的最值性质、任意性的定义，通过构造函数，利用导数研究函数的最值即可．【详解】易知，令，则，所以．当时，，当或时，，所以在上单调递减，在上单调递增．由，得函数的最小值为，因为，所以．所以实数a的取值范围为.四、解答题（本题共5小题，第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.求下列函数的导数．（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用基本函数的导数及求导法则，即可求出结果；（2）利用基本函数的导数及复合函数的求导法则，即可求出结果.【小问1详解】因为，所以.【小问2详解】因为，所以.16.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数在上的最大值和最小值．【答案】（1）极小值为，极大值为0（2），.【解析】【分析】（1）求出导函数，再列表得出函数单调性及函数的极值；（2）求出导函数，再列表得出函数单调性及函数的极值比较得出函数最值；【小问1详解】定义域，令，，0200单调递减极小值单调递增极大值0单调递减当时，有极小值，极小值为；当时，有极大值，极大值为．【小问2详解】023

00

16单调递减极小值单调递增极大值0单调递减所以，.．17.已知等差数列中，，，设.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）直接利用等比数列的定义证明；（2）采用分组求和法分别求出数列与数列的前n项和，再相加即可.【小问1详解】设的公差为，由，可得，即.又，可得.故依题意，，因为（常数）.故是首项为4，公比4的等比数列.【小问2详解】的前项和为的前项和为故的前项和为.18.如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，．（1）求证：，，，四点共面；（2）设，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系,设,通过向量法可证得，即共面;(2)分别求出平面与平面的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可.【小问1详解】由平面平面，，得平面，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：设，则，故，，共面.【小问2详解】设，故，设平面的法向量为，由，得，取，可得；，设平面的法向量为，由，得，取，所以，，设平面与平面夹角为,即平面与平面夹角的余弦值.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的单调区间；（3）若不等式恒成立，求的最大值.【答案】（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为（3）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得；（2）通过导函数的符号判断函数的单调性即可；（3）依题将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围.【小问1详解】当时