2025-2026学年广东佛山市南海湾实验中学高二下册4月月考数学试题 含答案

/高二数学4月月考试卷一､单选题（每小题5分，共40分）1.在等差数列中，为其前项和．若，则（）A.420 B.210 C.198 D.105【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，求出首项和公差，按照等差数列前项和的公式，求得.【详解】设等差数列的公差为，则，整理得，解得.所以.2.在等差数列中，且．若该数列前n项和为5070，则n为（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n项和公式列式求解.【详解】在等差数列中，，则，因此，由该数列的前n项和为5070，得，则，所以.故选：C3.设等比数列的前n项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解法一：结合已知条件利用等比数列前n项和的基本量运算求解即可；解法二：利用等比数列前n项和的性质求解即可.【详解】解法一：因为等比数列的前n项和为，，则公比，否则，，，不符题意；所以，解得，所以．所以．解法二：由，不妨设，，而，，也成等比数列，则，即，求得，故，所以．4.已知函数在处可导，若，则（）A.4 B.6 C. D.【答案】A【解析】【分析】应用导数定义计算求解.【详解】因为，所以.故选：A.5.在曲线上的点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】，，所以过点的切线方程为：，即.6.函数的单调递增区间是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】易知函数的定义域为，，又，令，解得.所以函数的单调递增区间为.7.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，转化为与的图像有两个不同的交点，利用导数法求得的单调区间和极值，画出函数的图像，结合图像，即可求解.【详解】因为函数有两个不同的零点，可得有两个不等的实根，即方程有两个不等的实根，即与的图像有两个不同的交点，由，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，且当时，；当时，，画出函数与的图像，如图所示，结合图像，可得，所以实数的取值范围为.故选：C.8.已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先由条件可得公比和,进而再用基本不等式可得最小值.【详解】设正项等比数列的公比为，通项为.由​，代入通项得：

两边同除以，整理得：

,

解得正根​（负根舍去）.再由​得：

，​整理得：

化为指数形式：即，得：

.等号成立条件：​且，解得，均为正整数，符合条件.因此​的最小值为.二､多选题（每小题6分，共18分，根据答题情况适当给分）9.下列求导结果正确的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据导数的四则运算一一计算即可.【详解】对A，，故A错误；对B，，故B正确；对C，，故C错误；对D，，故D正确.故选：BD.10.记为等差数列的前项和.已知，下列说法正确的是（）A.数列的公差为2B.取最小值时，C.D.数列的前12项和为24【答案】AC【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为，根据可求出与，得出A选项，然后写出等差数列的前项和公式分析即可得出选项B、C，直接计算数列的前12项和即可得出选项D.【详解】设等差数列的首项为，公差为，由，①，②联立①②解得：，故A选项正确；由，所以等差数列的前项和为：，当时，有最小值，故B选项不正确；由，所以，故C选项正确；数列的前12项和为：，故D选项不正确；故选：AC.11.已知，则下列说法正确的是（）A.在定义域内单调递增B.的对称中心为C.已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为D.若，则的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】A利用导函数判断单调性；B根据二阶导函数的零点求对称中心；C根据对称性和单调性以及韦达定理求出；D根据对称性和单调性以及基本不等式求解.【详解】因为，所以，则在定义域内单调递增，故A正确；，得，故的对称中心为即，故B正确；因为，为方程的两个不同根，所以，因为，所以，则，故，得，故C错误；因为，所以，则，即，因为，所以，等号成立时，故D正确.三､填空题（每小题5分，共15分）12.已知数列满足，则＝______.【答案】【解析】【分析】利用累加法和等差数列的前项和公式求解.【详解】，，，，，，，.13.已知函数是单调递增函数，则的最小值是____________.【答案】【解析】【分析】由函数是单调递增函数，得恒成立，分离参数，得.通过求的最大值，求得的取值范围，从而得到的最小值.【详解】函数的定义域为..因为函数是单调递增函数，所以即恒成立，由得，当且仅当即时等号成立.所以，所以.故的最小值是.14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，，则______．【答案】2【解析】【分析】根据分段数列的表达式，先写出前几项得出规律，得出数列是周期数列从而得解.【详解】由题意可得，，所以数列是以3为周期的数列，又，所以.四､解答题（共77分）15.已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用降序相减求解即可；（2）利用裂项相消法即可得解.【小问1详解】①，当时②，①-②得，当时，，符合上式，综上：，.【小问2详解】，则.16.已知，在处的切线与垂直，（1）求实数a的值；（2）求在区间上的值域．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得a的值；（2）利用求导，判断函数的单调性，结合给定区间即可求得函数的值域.【小问1详解】由求导得，则在处的切线的斜率为，因切线与垂直，故，解得.【小问2详解】由（1）可得，因，则当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，又，因,即,故在区间上的值域为.17.已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．（3）若，数列的前n项和为，求证：【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列前n项和公式及等比中项性质，求出的值，代入公式，即可得答案（2）由（1）得，根据分组求和法，结合等差、等比数列的前n项和公式，即可得答案.（3）由（1）得，根据裂项相消求和法，可得表达式，分析即可得证.【小问1详解】设等差数列的公差为，则①，又成等比数列，所以，则，整理得②，联立①②，解得，所以.【小问2详解】由（1）得，所以.【小问3详解】由（1）得，则18.已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围；（3）证明：．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数的正负判断函数单调性；（2）转化问题为对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可；（3）结合（2）可得，进而证明即可求证.【小问1详解】当时，，，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】由，则对于恒成立，设，，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，则的取值范围为.【小问3详解】由（2）知，当时，，则，所以，设，，则，所以函数在上单调递增，则，即，得证.19.已知函数，．（1）求的极值；（2）若在单调递增，求实数a的取值范围；（3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围．【答案】（1）的极小值为0，无极大值（2）（3）【解析】【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可；（2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解.（3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解.【小问1详解】，求导得，，因为时，，所以在上单调