2025-2026学年广东揭阳市揭东区第二中学第二册高二数学第一次月考卷 含答案

/2025-2026学年第二学期高二级数学第一次月考卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项写在答题卡相应的位置上.1.已知全集，集合，，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由，可得，又，所以.2.在等差数列中，，，则公差（）A.2 B.1 C.-1 D.-2【答案】A【解析】【详解】3.若向量，，且，则（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【详解】因为向量，，且，所以，所以．4.等比数列前n项和为，则公比等于（）A. B. C.1 D.1或【答案】D【解析】【分析】利用等比数列通项公式和求和公式，结合方程思想求解即可.【详解】设等比数列的公比为，则由，可得，即，解得或.故选：D.5.下列求导数运算正确的有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】详解】依题意，.6.设函数为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（）A.4 B.-4 C.10 D.-10【答案】A【解析】【分析】利用奇函数的性质可得，进而求值即可.【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且时，所以，解得，故时，，所以.故选：A7.若椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可求出之间的关系，结合离心率，即可求得答案.【详解】设椭圆长轴长为，短轴长为，由于椭圆的长轴长是短轴长的倍，故，即，故椭圆的离心率为.8.已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】设点的坐标为，则点到直线的距离为，当时，即点的坐标为时，取最小值，则点到直线的距离的最小值是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（）A. B.直线与面所成角为C线段 D.直线面【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；对于B，利用线面角的定义即可得解；对于C，正中求解即可；对于D，利用线面平行的判定理证得即可.【详解】对于A，因为在正三棱柱中，面，而面，所以，因为底面是正三角形，为棱的中点，所以，又面，所以面，因为面，所以，故A正确；对于B，因为在正三棱柱中，面，所以为直线与面所成角，因为面，所以，又，所以，则，故B正确；对于C，在正中，，则，所以，故C错误；对于D，记的中点为，连接，如图，因为是的中点，又易知四边形是平行四边形，所以，因为，所以，所以四边形是平行四边形，则，又面，面，所以直线面，故D正确.故选：ABD.10.数列的前n项和为，则下列说法正确的是（）A.若，则数列的前5项和最大B.若等比数列是递减数列，则公比q满足C.已知等差数列的前n项和为，若，则D.已知为等差数列，则数列也是等差数列【答案】ACD【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的性质逐项判断即可.【详解】选项A，由可得，，故数列前5项的和最大，故A正确；选项B，当时，等比数列也是递减数列，故B错误；选项C，，若，则，故C正确；选项D，若为等差数列，则，，则为常数，数列也是等差数列，故D正确.故选：ACD11.已知点、分别为双曲线左、右焦点，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（

）A.双曲线C与双曲线有相同的渐近线B.若，则的周长为C.若，则的面积为4D.若M为圆上一点，则的最大值为8【答案】ABC【解析】【分析】求出两条双曲线的渐近线后可判断A的正误，根据双曲线的定义可求的周长，从而可判断B的正误，根据余弦定理和双曲线定义可求焦点三角形的面积，从而可判断C的正误，根据双曲线的定义结合圆的性质可求的最大值，从而可判断D的正误.【详解】对于A选项，双曲线，，，故渐近线方程为，即，双曲线，，，故渐近线方程，即，故A正确；对于B选项，由题意可得，，由双曲线的定义可得，因为，，故的周长为，故B正确；对于C选项，点P为C右支上一动点，设，则，，因为，所以，解得（负值舍去），所以的面积为，故C正确；对于D选项，圆的圆心的坐标为，半径为，易知为双曲线的左焦点，故，则，当为线段的延长线与圆的交点时等号成立，所以的最大值为，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线方程为_________.【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义即得.【详解】由题，得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.13.在中，若，，则的外接圆的半径为_____________．【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数关系式，结合正弦定理进行求解即可.【详解】因为是三角形内角，所以又因为，所以，设的外接圆的半径为R，由正弦定理，有，即的外接圆的半径为．故答案为：14.函数的单调递增区间是_____.【答案】【解析】【分析】根据函数求导，使导函数大于0，求解不等式即得函数的递增区间.【详解】因的定义域为，求导得，由可得，解得.故函数的单调递增区间是．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，，求c．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解即可.【小问1详解】变形为：，所以，因为，所以；【小问2详解】因为，且，所以，由正弦定理得：，即，解得：．16.某大学随机统计了800名学生的一个学期自习时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a的值以及自习时间在内的学生人数；（2）估计该校每个学生一个学期自习的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（3）从和用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生调查他们的学习成绩，求抽到的这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率.【答案】（1）；（2）105小时（3）【解析】【分析】（1）利用频率直方图的性质即可求解；（2）利用频率直方图的中点值结合均值算法，可估计总体平均值；（3）利用分层抽样和古典概型公式可求出概率.【小问1详解】由频率分布直方图可知：，解得，一个学期自习时间在内的学生人数为；【小问2详解】该校学生一个学期自习平均时间，即估计该校每个学生一个学期自习平均时间为105小时；小问3详解】一个学期自习时间落在的抽取人数为，这4人分别记为A，B，C，D，一个学期自习时间落在的抽取人数为，这2人分别记为a，b，再从这6名学生中随机抽取2名学生的样本空间为：，共有15个样本点，其中恰有1名一个学期自习时间落在内的样本点，共8个样本点，所以抽到这2名学生恰有1名一个学期自习时间落在内的概率.17.如图，在直三棱柱中，，，，，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：如图所示，连接，因为，且四边形为矩形，所以，又因为，所以，因为平面，平面，所以平面．【小问2详解】解：因为两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得，，，，，，则，，．设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，设直线与平面所成角为，可得，所以直线与平面所成角的正弦值为．18.设抛物线的准线被圆所截得的弦长为.（1）求抛物线的方程；（2）设点是抛物线的焦点，过的直线交于，两点，已知的面积为，求直线的方程.【答案】（1）（2），或【解析】【分析】（1）利用代入法，结合抛物线的准线方程进行求解即可；（2）设出直线的方程与抛物线的方程联立，结合三角形面积公式、抛物线的定义进行求解即可.【小问1详解】抛物线的准线方程为，把代入中，得，因为抛物线的准线被圆所截得的弦长为，所以，因此抛物线的方程为；【小问2详解】由（1）可知抛物线的方程为，焦点，由题意可知该直线存在斜率，因此设直线的方程为，，显然，设，，，点到直线的距离为，因为的面积为，所以，所以直线的方程为，或.19.已知数列的前项和为，，，为等差数列，，（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和；（3），求数列的前项和.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）利用与的关系和等比数列的定义求，利用等差数列的定义求即可；（2）利用裂项相消求和即可；（3）利用分组求和和错位相减求和即可.【小问