2025-2026学年广东普宁市第一中学第二册高二第一次月考数学试题 含答案

/普宁市第一中学2025-2026学年度第二学期高二第一次月考数学试卷注意事项：1．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则与的关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】由题知，所以与的关系为2.复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【详解】，所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限.3.若曲线在处的切线的斜率为（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先对给定的函数求导，然后将带入即可.【详解】由题意得，则，由导数的几何意义可知切线的斜率为，故选：.4.下列求导数运算正确的有（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】依题意，.5.已知函数满足，则（）A.1 B.-1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的运算法则先求导，再求即可.【详解】由题意得：，所以，解得，故选：A.6.在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y（单位：万元）与贷款x满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款（）A.3万元 B.4万元 C.5万元 D.6万元【答案】B【解析】【分析】利用导数对问题进行求解，从而得出正确答案.【详解】依题意，且，，所以函数在，函数递增；在，函数递减.所以当万元时，函数取得最大值.故选：B7.某学生准备将两颗不同口味的山楂、两颗不同口味的葡萄、一颗圣女果和一颗草莓串起来制作一串冰糖葫芦，因口味的需求，山楂不相邻，则不同的串法共有（）A.240种 B.360种 C.480种 D.512种【答案】C【解析】【分析】根据插空法计算即可.【详解】由题可知：.故选：C8.函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用参变分类可得和的图象有两个交点，结合导数讨论后者的性质后可得参数的取值范围.【详解】由得，则问题转化为和的图象有两个交点，而，令，解得，令，解得，故在上单调递增，在单调递减，则，当时，的图象有两个交点；当时，的图象有两个交点；大致图象如右所示：结合图象可知，的取值范围是，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于函数，下列说法正确的是（）A.它的极大值为，极小值为B.当时，它的最大值为，最小值为C.它的单调递减区间为D.它在点处的切线方程为【答案】ACD【解析】【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D.【详解】函数，．由，得或，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，C正确；当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，A正确；当时，单调递增，它的最大值为，最小值为，B错误；，，它在点处的切线方程为，D正确．故选：ACD.10.以下结论正确的是（）A.3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是B.从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法C.60有12个不同的正因数D.从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减，可以得到12个不相等的差【答案】AC【解析】【分析】根据计数原理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，3个班分别从4个景点中选择一处游览，根据分步乘法计数原理，不同选法的种数是，A选项正确.B选项，从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，根据分步乘法计数原理，不同选法的种数是，B选项错误.C选项，，所以正因数有个，C选项正确.D选项，从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减，得到的差有，共个不相等的差，D选项错误.故选：AC11.已知定义在上的函数，函数的导函数为，且，则（）A.当时，.B.当时，.C.当时，D.当时，在上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】构造函数再求解导函数，进而得出函数单调性，比较函数值大小判断A，B，C选项，再化简已知得出，再结合计算导函数为正判断D.【详解】A:令，则，故单调递增，，故A符合题意.B:令，则，故单调递增，，故B符合题意.C:令，则故单调递增，，故C不符合题意.D:，，，又因为，当时，，故，故，故在上单调递增，故D符合题意.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.中国航天史是从1956年二月开始的，当时著名科学家钱学森向中央提出《建立中国国防航空工业的意见》.1956年四月，成立中华人民共和国航空工业委员会，统一领导了中国的航空和火箭事业.航空工业委员会的成立标志着中国的航天事业创业的开始.某次模拟实验中航天飞机发射后的一段时间内，第秒时的高度，（其中的单位为m，的单位为s），则第2s末的瞬时速度为_________m/s.【答案】225【解析】【分析】利用瞬时变化率计算即可.【详解】根据导数的物理意义知瞬时速度，所以.故答案为：22513.普宁一中是广东省揭阳市重点中学，体育教育是其办学特色之一，学校长期重视学生体质健康发展，设有足球、篮球、羽毛球等多个体育兴趣小组和校队.现有4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有______种．【答案】36【解析】【分析】4名体育教师分配到3个运动兴趣小组，要求每项运动至少有一名教师指导，那么有一个小组必有2个体育教师指导，由此可以求解.【详解】4名体育教师分配到3个运动兴趣小组，要求每项运动至少有一名教师指导，那么有一个小组必有2个体育教师指导，将选出的2名教师捆绑为一组，此组与另2名教师共3个整体，再将这3个整体全排列分配到3个运动兴趣小组中..14.记分别为函数的导函数.若存在，满足，且，则称为函数的一个“S点”.若函数存在“S点”，实数的值为_____.【答案】【解析】【详解】令fx=a根据点的定义，则存在，使得ax02解得x0=e四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数的导函数为，数列满足.（1）求过点的曲线的切线方程；（2）若点在的图象上，求的通项公式.【答案】（1），或（2）【解析】【分析】（1）设出切线的切点，利用导数的几何意义、直线的点斜式方程进行求解即可；（2）利用代入法把点的坐标代入导函数解析式中，结合构造法、等比数列的定义和通项公式进行求解即可.【小问1详解】由，设切点为，所以，因此过该切点的直线方程为，把点的坐标代入，得，或，当时，切点为，，此时切线方程为；当时，切点为，，此时切线方程为，综上所述：切线方程为，或；【小问2详解】因为点在的图象上，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以有.16.已知函数，且当时，有极值．（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值和最小值分别为【解析】【分析】（1）由极值的必要条件以及可列方程求解参数，由此即可得解；（2）求导得出在的单调性，比较极值点与端点函数值即可得解.【小问1详解】，由题意，解得，所以的解析式为.【小问2详解】，，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，而，，所以在上的最大值和最小值分别为.17.如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，．（1）求证：，，，四点共面；（2）设，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系,设,通过向量法可证得，即共面;(2)分别求出平面与平面的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可.【小问1详解】由平面平面，，得平面，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：设，则，故，，共面.【小问2详解】设，故，设平面的法向量为，由，得，取，可得；，设平面的法向量为，由，得，取，所以，，设平面与平面夹角为,即平面与平面夹角的余弦值.18.已知椭圆，点在椭圆上，且点到两焦点和的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点的坐标为，过点的直线与椭圆交于（异于点）两点，且直线的斜率为，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求得后即可求得椭圆的标准方程；（2）由题意求得直线方程，直线与椭圆联立方程根据弦长公式求得，再利用点到直线的距离公式及三角形面积公式计算即可求解.【小问1详解】由已知可得，化简可得，，则椭圆方程为；【小问2详解】设，，由已知可得直线，即，联立直线与椭圆，消去可得，则，，则，又点到直线的距离，所以；19.已知函数（1）讨论的单调性.（2）若对任意都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解