2025-2026学年河北石家庄市第三十八中学高一第二册4月月考数学试题 含答案

/2025-2026学年第二学期高一年级4月月考数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.下列各选项中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的定义与性质分析各选项即可.【详解】对于A：模相等，但方向有可能不相同，不能保证向量相等，故A错误；对于B：向量不能比较大小，故B错误；对于C：因为向量的模为零时，该向量必为零向量，即，故C正确；对于D：向量不能等于数字0，故D错误.故选：C2.已知向量，，，若，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】向量垂直等价于向量数量积等于零，利用向量的坐标运算即可.【详解】由题意可知，，由，得，解得.3.在中，，，，则（）A.3 B. C.-3 D.【答案】D【解析】【分析】利用向量数量积的定义计算即可.【详解】由题意知，.故选：D.4.已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】已知，则，解得，在方向上的投影向量为：．5.已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（）A.或 B.或 C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可【详解】由题意，故为实数或故选：A6.已知向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的坐标关系可得的值，再根据余弦二倍角公式即可求得的值.【详解】由向量，由可得：，整理得，所以.7.在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理，可得，令，，，再结合公式，列出关于的方程，解出后，进而可得到的大小.【详解】解：∵，∴，即，令，，，显然，∵，∴，解得，∴，B＝．故选：D.【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k表示，，是本题关键8.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得.【详解】在中，，，故，，在中，，，，由正弦定理得，，所以.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。）9.已知复数，则（）A.若复数z为实数，则B.若复数z为纯虚数，则C.当时，D.复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限【答案】ACD【解析】【分析】对于AB，由复数的概念验算即可；对于C，由复数模的计算公式求解即可；对于D，由复数的几何意义即可求解.【详解】对于A，依题意可得，即，则，故A正确；对于B，依题意可得，故B错误；对于C，依题意可得，所以，故C正确；对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确，故选：ACD．10.有下列说法，其中错误的说法为（）.A.、为实数，若，则与共线B.若、，则C.两个非零向量、，若，则与垂直D.若，、分别表示、的面积，则【答案】AB【解析】【分析】由零与任何向量共线，即可判断B；由三角形的重心的向量表示和性质可判断D；由向量共线的性质可判断A；根据平面向量数量积的运算律判断C．【详解】解：对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误，对于B选项，如果、都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错，对于C选项，若，所以，即，即，所以，∴与垂直，故C正确，若，设，，可得为的重心，设，，，则，，，由，可得，故D正确；故选：AB.11.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（）A.当时，满足条件的三角形共有个B.若则这个三角形的最大角是C.若，则为锐角三角形D.若，，则为等腰直角三角形【答案】BD【解析】【分析】利用正弦定理求得,即可判定A错误；利用正弦定理转化为边的比值，进而利用余弦定理求得最大角的余弦，得到最大角的值，对B作出判定；注意到三角形的各个角的情况，周全考虑，即可判定C错误；根据已知条件,综合使用正余弦定理可求得角A的值，进而证明D正确.【详解】对于Ａ，，无解，故A错误；对于B,根据已知条件，由正弦定理得：,不妨令,则,最大角的余弦值为：,∴，故B正确；对于C，由条件，结合余弦定理只能得到,即角为锐角，无法保证其它角也为锐角，故C错误；对于D,,得到,又,,为等腰直角三角形，故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查正余弦定理，熟练掌握并灵活运用正余弦定理是关键.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.向量，设向量对应的复数为，则___________．【答案】5【解析】【详解】向量

对应的复数为

，则，则复数

的模为.13.在中，边分别为角的对边，满足的面积为，则的周长为_____．【答案】【解析】【分析】借助三角形面积公式可得，再利用余弦定理计算可得，即可得该三角形周长.【详解】，则，，化简得，解得（负值舍去），则的周长为.14.在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点，若，则的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】设，再利用平面向量线性运算与平面向量基本定理计算用表示，最后利用基本不等式计算即可得解.【详解】设，则，则，故，，故，当且仅当，即时，等号成立.四、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知向量；（1）求与的夹角；（2）求．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）运用数量积和模长公式求出夹角余弦值，再得到夹角即可；（2）运用向量坐标的模长公式求解即可.【小问1详解】由于，则，又，则与的夹角为；【小问2详解】，则16.如图，已知正方形的边长为2，F为的中点，.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，表示出，进而根据求解即可；（2）先结合（1）表示出，进而求解即可.【小问1详解】如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，，，，所以，，因为，则，解得.【小问2详解】由（1）知，，，则，当时，，即的取值范围是.17.已知在中，为中点，.（1）若，求；（2）若线段上一动点满足，试确定点的位置.【答案】（1）（2）点为线段的中点【解析】【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值；（2）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论.【小问1详解】因为，所以，可得，因为，，，由平面向量数量积的定义可得，所以，.【小问2详解】因为点在线段上的一点，设，其中，则，所以，，又因为，且、不共线，所以，解得，此时点为线段的中点.18.的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角A；（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角化边，可得，然后利用余弦定理，可得.（2）若选①，使用正弦定理以及辅助角公式可得，根据的范围可得结果；选②，利用正弦定理可得，可得结果.选③结合不等式可得结果.【详解】（1）因为，所以，得，所以，因为，所以.（2）分三种情况求解：选择①，因为，由正弦定理得，即的周长，因为，所以，即周长的取值范围是.选择②,因为，由正弦定理得即的周长，因为，所以，所以，即周长的取值范围是.选择③.因为，得，由余弦定理得，即的周长，因为，当且仅当时等号成立，所以.即周长的取值范围是.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，熟练掌握公式，边角互化化繁为简，考查分析问题的能力，属中档题.19.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）在中，，，的面积为，求边的长.【答案】（