2025-2026学年河北唐山市开滦第二中学高二下册4月月考数学试题 含答案

/2025-2026唐山开滦二中高二下学期4月月考—数学一、单选题1.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】，所以，解得.2.已知是函数的一个极值点，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【详解】由题意得：，又是的一个极值点，所以，所以，所以，所以.3.2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（）A.720 B.960 C.1120 D.1440【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合捆绑法和插空法，即可求解.【详解】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素，先排除去丙的5个元素，共有种排法，再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法，所以甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有种.故选：B.4.函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到关于的不等式组，解出的范围即可．【详解】解：的定义域是，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，若函数在区间上单调递减，则且且，解得：，故选：．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及集合的包含关系，属于基础题．5.用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（）A.240 B.360 C.480 D.600【答案】C【解析】【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理运算求解.【详解】将区域标号，如下图所示：因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有种不同的涂色方法，若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；所以共有种不同的涂色方法.故选：C.6.函数在上的最大值为（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用导数研究函数的极值，结合区间的端点值，再比较它们的大小，即可求其最大值.【详解】由题意，，∴当，x在和上，即单调增；当，x在上，即单调减；∴有极大值，有极小值，而端点值，，则，∴在上的最大值为.故选：D.7.函数的零点个数为A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】【分析】令，转化为两个函数图像的交点个数来求零点个数.【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有两个交点，也即有两个零点，故选B.本小题主要考查函数零点个数的分析方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.设，，其中e为自然对数的底数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数讨论其单调性比较b，c；构造函数，利用导数讨论其单调性比较a，b即得.【详解】令，则，当时，，单调递增，因此，即，令，则，当时，，单调递减，因此，即所以.故选：D二、多选题9.现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、礼仪、司机三项工作可以安排，以下说法正确的是（）A.每人安排一项工作的不同方法数为B.每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是C.若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不用的安排方法为D.每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为【答案】CD【解析】【分析】根据分步乘法计数原理判断A，根据分组分配问题判断B；根据分类加法计数原理判断C，根据分步乘法计数原理及排除法判断D.【详解】对于A，由乘法原理可得每人安排一项工作的不同方法数为，故A错误；对于B，每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则每项工作的人生分别为或，故不同的安排方法，而，故B错误；对于C，若多面手丙做翻译，则不同的安排方法为，若多面手丙不做翻译，则不同的安排方法为，故不同的安排方法为，故C正确；对于D，每人安排一项工作做翻译或司机，共有，如果人都只参加翻译或司机，共有2种安排，故不同的安排方法数为，故D正确.故选：CD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.曲线在处的切线与直线垂直B.在上单调递增C.的极小值为D.在上的最小值为【答案】BC【解析】【分析】求出函数的导函数，求出，即可判断A，求出函数的单调区间，即可判断B、C、D.【详解】因为，所以，所以，故A错误；令，解得，所以的单调递增区间为，而，所以在上单调递增，故B正确；当时，所以的单调递减区间为，所以的极小值为，故C正确；在上单调递减，所以最小值为，故D错误；故选：BC11.已知函数，下列命题正确的是（）A.若是函数的极值点，则B.若，则在上的最小值为0C.若在上单调递减，则D.若在上恒成立，则【答案】AB【解析】【分析】根据为函数的极值点可对A判断；由可求得即可对B判断；由在上单调递减等价于在区间上恒成立，即可对C判断；由在上恒成立等价于，构造函数，，再利用导数从而求出，即可对D判断．【详解】对于A，由，得，因为是函数的极值点，所以，得，经检验是函数的极小值点，故A正确．对于B，由选项A，由，得，可知，则，由，得，由，得，所以在递增，在上递减，所以当时，时，取得最小值，故B正确．对于C，因为在上单调递减，所以，即，得在上恒成立，令，则，所以在单调递增，所以，即，所以，故C不正确．对于D，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以在上单调递增，所以，所以，故D不正确．故选：AB．三、填空题12.设为正整数，若，则_____．【答案】或【解析】【详解】因为，则或，解得或，又，得到，经检验，或均合题意，所以或.13.已知，则经过点的曲线的切线方程为__________.【答案】或【解析】【分析】设出切点，结合导数的几何意义可表示出该点的切线方程，将代入计算即可得.【详解】令该切线方程的切点为，则，，，则有，又该直线过点，故有，化简得，即，故或，当时，有，即，当时，有，即.故答案为：或.14.已知函数，若在上恒成立，为自然对数的底数，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】由题意fx+1x2<m【详解】若在上恒成立，即fx+1x2令，故只需即可，，令，得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以实数的取值范围是．四、解答题15.将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.（1）有多少种放法？（2）每盒至多一球，有多少种放法？（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？【答案】（1）256(种)（2）24(种)（3）144(种)（4）12(种)【解析】【分析】（1）由分步乘法计数原理求解即可；（2）根据排列的定义求解即可；（3）（方法1）先将4个小球分为三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，结合排列组合知识求解；（方法2）利用捆绑法结合排列组合知识求解；（4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个结合组合知识求解；（方法2）根据隔板法求解.【小问1详解】每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法.【小问2详解】这是全排列问题，共有(种)放法.【小问3详解】（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法，故共有(种)放法.（方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，所以共有(种)放法.【小问4详解】（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有(种)放法.（方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，由分步计数原理得，共有(种)放法.16.设函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若为的导函数，求的极值．【答案】（1）（2）在处取极小值0，无极大值【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可；（2）令，求导，根据导数计算即可求解.【小问1详解】因为，所以，，故切线方程为；【小问2详解】令求导得，因为时，，所以在上单调递增，因为时，，所以在上单调递减，故，故在处取极小值0，无极大值．17.已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值．（1）求函数的解析式，并求在点处的切线方程；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，进而计算可得切线方程；（2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解的取值范围.【小问1详解】，由导数的几何意义可知，，且，得，所以，，符合题意；，又于是在点处的切线方程为，即.【小问2详解】由，得或，，得或，，得，所以的增区间是和，减区间是.于是在区间单调递增，在区间单调递减，，所以在区间的最大值为，最小值为，若存在，使得不等式成立，则当时，，所以，即.18.已知．（1）若函数在处取到极值，求的值；（2）设，，若，函数恰有三个零点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）导数在处为即可求解，并检验导数在的左右正负符号是否发生变化.（2）考察函数的单调性，关键在于导数正负的判断，因式分解判断各个因式的正负，从而得到原函数的单调性，通过极值的符号得出不等关系进行求解.【小问1详解】已知，求导得，因为函数在处取到极值，所以，解得.检验，当，此时当，则，所以.当，则，所以所以【小问2详解】因为，所以，求导得，令，解得或者当，此时，所以，那么单调递增当，此时，所以，那么单调递减.当，此时，所以，那么单调递增.又因为，，且，，所以为使函数恰有三个零点，则有，解得19.已知函数.（1）当时，求的单调区间（2）讨论的单调性；（3）当时，证明.【答案】（1）在单调递增，在单调递减（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）当时，求出导函数，解不等式求的单调区间即可；（2）分、情况讨论与的大小