2025-2026学年黑龙江鸡西市第一中学高一下册4月月考数学试题 含答案

/2025-2026学年度第二学期高一学年月考考试数学学科试卷时间：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.，，则的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】，，.2.已知复数，则（）A.1 B. C. D.5【答案】B【解析】【详解】由题意可得.3.已知集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】因为集合A=x|−1≤x<2=[−1,2)4.化简：（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则计算即可.【详解】.故选：A5.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（）A.12 B.24 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用斜二测画法的规则，即可还原三角形为直角三角形，从而可求三角形面积.【详解】由斜二测画法的规则，可知原图是直角三角形，且，，故原图的面积为：，故选：A.6.3月31日，2025年“广西三月三八桂嘉年华”开幕式暨全国“四季村歌”活动在南宁民歌湖举行，主舞台设在南宁民歌湖边.小明在湖对岸，现想测量与主舞台的距离，如右图所示，A（小明），B（主舞台）两点在湖的两岸，通过确定与A同侧的湖岸边一点C，测出A，C的距离为100m，，，计算出A，B两点的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理列式计算得解.【详解】在中，，则，而，由正弦定理得.故选：A7.如图所示，在中，是线段上的靠近的三等分点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得出，利用平面向量的减法化简可得出关于、的表达式.【详解】在中，是线段上的靠近的三等分点，则，即，解得.8.如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别用基底表示向量，进而得，再结合基本不等式求解即可.【详解】由题意知：AF=另一方面，三点共线，则存在实数，使得所以AF=AD所以1−λx=34λy=所以2x+1y=所以的最小值为.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列叙述中错误的是（）A.若，则 B.C.若，则 D.若，，则【答案】ACD【解析】【详解】对于选项A：向量不能比较大小，故A错误；对于选项B：，故B正确；对于选项C：若，即模长相等，但的方向不确定，不一定相同，所以不一定成立，故C错误；对于选项D：例如，对于任意，均有，，但不一定共线，故D错误.10.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（）A. B.的面积为C. D.【答案】AB【解析】【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可.【详解】对于A，根据余弦定理，得，因此，故A正确；对于B，根据三角形面积公式，可得，故B正确；对于C，根据正弦定理，，可得，故C不正确；对于D，因为，所以，故D不正确．故选：AB.11.在给出的下列命题中，正确的有（）A.已知点在所在的平面内，满足，则点是的外心B.在中，若点满足，则为的垂心C.已知平面向量满足，且，则是等边三角形D.已知平面向量满足，则为等边三角形【答案】ABC【解析】【分析】根据外心，垂心定义及向量运算判断选项即可.【详解】由∣OA→∣=∣由，移项得，即；同理可推得，，是三角形三条高的交点（即垂心），B正确.由得，两边平方得∣OA代入∣OA∣=∣OB即∠AOB=120∘.同理可得得，是等边三角形，C正确.由OA⋅OB=OA⋅又AB∣AB∣,AC故在的角平分线上，仅能推出（是等腰三角形），无法推出是等边三角形，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，且，则在方向上的投影数量为___________．【答案】3【解析】【详解】因为，且，则在方向上的投影数量为.13.在中，角所对的边分别为，若，则的形状为___________【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】【分析】由正弦定理边化角，并结合正弦二倍角公式得，进而得或即可判断.【详解】因为，所以，由正弦定理边化角得：，即，因为，2A∈0,2所以或，即或，所以的形状为等腰三角形或直角三角形.14.在边长为2的正方形中作出．直角顶点为的中点．其他两顶点分别在边上运动．则的周长的取值范围___________．【答案】【解析】【分析】设，进而得到的周长，再应用换元法及三角函数的性质，令，则，即可求范围.【详解】设，由题意，所以，则，所以的周长，注意到，且，令，则，所以，又，所以，解得，即周长的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，且与的夹角为，（1）求的值：（2）求的值；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据数量积的定义及运算律求解；（2）先求模的平方，然后根据数量积的定义求解.【小问1详解】已知，所以a−【小问2详解】a==1−2×1×2×1所以.16.在中，角所对的边分别为，且，．（1）求边长和的周长；（2）求的值．【答案】（1）6；15（2）【解析】【小问1详解】由题意可得，解得，的周长为.【小问2详解】因为，，所以，由正弦定理可得，因为，所以，所以.17.已知向量.（1）若，求实数；（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据向量坐标运算得，结合，求得实数；（2）根据向量与所成角为锐角，，解得.结合时，可得实数的范围.【小问1详解】，，解得【小问2详解】由（1）知，，向量与所成角为锐角，，解得.又当时，，可得实数的范围为.18.在中，内角的对边分别为，满足．（1）证明：；（2）若，，点为边上一点，为的平分线，求的值；（3）若为锐角三角形，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可化简整理得到结论；（2）利用面积比可求得，根据，利用余弦定理可构造方程求得，进而得到结果；（3）利用正弦定理边化角，结合两角和差和二倍角公式进行化简，将问题转化为三角函数值域的问题，即可求解.【小问1详解】由正弦定理得：，∵sin，∴sin，∴A−或，即或（舍），；【小问2详解】由（1）知：，又为的平分线，，，，，设，则，，，又，，，解得：或（舍），即，，；【小问3详解】，，，∴===4cos为锐角三角形，∴0<解得：，∴2B∴cos∴219.在中，角对应的边分别为，已知向量，且.（1）求.（2）著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式等.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式：.②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时，等号成立.若，是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值.【答案】（1）（2）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）由，结合正弦定理，求得，再由余弦定理，即可求解；（2）①设，得到，即，即可得证；②由，结合的面积公式，得到，根据三维分式型柯西不等式，得到，再由余弦定理，得到，得到，令，得到，结合，令，得到，结合函数的单调性，即可求解.【小问1详