2025-2026学年湖南长沙市弘益高级中学高一年级第二册第一次练习数学试题 含答案

/长沙市弘益高级中学高一年级2025-2026学年第二学期第一次练习数学问卷时长：120分钟满分：150分一、单选题：1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}【答案】C【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.2.已知向量，，若，则（）A.5 B. C.6 D.【答案】A【解析】【分析】通过向量的数量积求解，并求出向量的坐标，然后利用向量模的坐标运算求出．【详解】解：向量，，若，可得，解得，所以，则．故选：A．【点睛】本题考查向量的数量积的运算，向量的模的求法，是基本知识的考查．3.化简后等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解.【详解】因为，故选：.4.“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律求出的等价条件，即可判断得出答案.【详解】因为，.所以.综上所述，“”是“”的充分必要条件．故选：C．5.已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为,所以所以在上的投影向量的坐标为：，故选：C.6.已知，，若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系结合求解．【详解】因为，，所以，又，则，，又，所以，所以，，故选：D.7.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（）A.2 B.8 C.9 D.18【答案】C【解析】【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.【详解】由题意，，又共线，则，且，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为9.故选：C8.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的最大值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可求，进而可求B，由余弦定理，基本不等式可求，进而利用三角形面积公式即可得解．【详解】解：由正弦定理知：，即，故，所以，又，由余弦定理得，，故，故选D．【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列函数为奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据奇函数的定义，逐项判断即可.【详解】对于A选项，函数的定义域为，且，故A选项正确；对于B选项，函数的定义域为，不是奇函数，故B选项错误；对于C选项，函数的定义域为，且，故C选项正确；对于D选项，函数的定义域为，且，所以为偶函数，故D选项错误.故选：AC10.已知平面向量，，则（）A.当时， B.若，则C.若，则 D.若与的夹角为钝角，则【答案】ACD【解析】【分析】根据向量加法坐标公式计算可判断A；根据向量平行的坐标公式计算即可判断B；根据向量垂直坐标公式计算即可判断C；根据向量数量积坐标公式计算即可判断D.【详解】对A，当时，，所以，故A正确；对B，若，则，解得，故B错误；对C，若，则，解得，故C正确；对D，若与的夹角为钝角，则且与不共线，解得且，即，故D正确，故选：ACD11.如图，中，，，与交于点，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据向量的三角形法则逐项计算判断即可．【详解】解：为了判断下面的有关结论，先引入三点共线向量形式的充要条件，设三点共线，O为线外一点，则，即与前系数和为1，证：三点共线，，，．，故A错；三点共线，，三点共线，，，解得，，∴F为BE的中点，，故B对；，，，故C对；取AB中点G，BC中点H，如下图，则三点共线，，故D对．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数且的图象恒过定点P，则P点的坐标是_________．【答案】【解析】【分析】令，求出，代入函数即可得出结果.【详解】解：令，得，则，则P点的坐标是，故答案为：.【点睛】本题考查对数函数图像的特征，是基础题.13.已知向量，为单位向量，若与的夹角为，则__________．【答案】1【解析】【分析】根据条件可以得到，这样便可求出的值，从而得出的值．【详解】解：根据条件，，；∴1-1+1＝1；∴．故答案为．【点睛】本考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，求向量的长度的方法：求．14.在中，，则的最小内角的余弦值为___________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得是最小的角，设，再由余弦定理可得答案.【详解】由正弦定理可得，可得是最小的角，设，则，由余弦定理得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且．（1）求与的解析式：（2）求函数在上的最值．【答案】（1）；.（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）结合幂函数和一次函数定义，通过待定系数法求解方程；（2）根据二次函数性质结合给定区间求解最值即可.【小问1详解】设幂函数，因为过点，代入得：，得，因此.设一次函数，由题意：，得，又过点，则k+b=13k+b【小问2详解】由题意得：，对称轴为，且，则最大值在对称轴处取得：；由，，可得最小值为.所以在上的最大值为，最小值为.16.已知向量和，且，求：（1）的值（2）的值（3）的夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）（3）【解析】【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解；（2）由即可求解；（3）由向量夹角公式即可求解.【小问1详解】.【小问2详解】，【小问3详解】，17.在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因为，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，进而，所以.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18.已知函数的最大值为1，（1）求常数的值；（2）求函数的单调递减区间；（3）求使成立的的取值集合.【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质可得的值；（2）利用正弦函数的单调性得，，求解即可；（3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式.【小问1详解】，因为的最大值为1，且函数的最大值为1，所以，解得.【小问2详解】由（1）可知.由，解得，，所以函数的单调递减区间为，；【小问3详解】由，得，即.所以，.解得.因此，成立的的取值范围是.19.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点．（1）求；（2）求的坐标；（3）若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依题意可得，再根据数量积的运算律计算可得；（2）依题意可得，即可得到是平行四边形，从而得到，即可得到，再根据计算可得；（3）设，，又三点共线，设，根据平面向量线性运算及基本定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得.【小问1详解】依题意可得，，-；【小问2详解】