2025-2026学年江苏南京市第二十七高级中学高二下册4月月考数学试题 含答案

/2025−2026学年第二学期南京市第二十七高级中学月考高二数学一．选择题1．若C122xA．2或6 B．2或3 C．3 D．62．抛物线y=A．x=14 C．y=143．已知函数f(x)在x=1处可导，若A．−110 B．C．−25 4．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中不放回地抽取两次，每次抽取1张，则在第一次抽到的卡片所标数字为奇数的条件下，第二次抽到的卡片所标数字仍为奇数的概率为（

）A．12 B．5C．25 D．5．在空间直角坐标系中，直线l经过点O(0,0,0)，且其方向向量n=(1,0,1)，则点M(0,1,1)A．3 B．6C．3 D．66．已知数列{an}满足an+1A．2048 B．2069 C．3024 D．30397．在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中∠BAD=90°

A．153 B．15C．102 D．8.已知偶函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f'(x)，当xA.(−2016,−2012) B.(−∞,−2012)C.(−∞,−2016) D.(−2016,0)二、多选题9.甲、乙、丙、丁、戊5名大学生计划到某小学一、二、三、四年级从事教学实践，则下列说法正确的有（

）A.若一年级必须安排2人，其余年级各安排1人，则有60种不同的方案B.若每个年级至少安排1人，则有480种不同的方案C.若5人自由决定实习年级，则有625种不同的方案D.若甲不去一年级，乙不去二年级，则有576种不同的方案10.若(1+2xA.a0=2025 C.a0−a11.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2台加工的次品率为5%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（

）A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.06B.该零件是次品的概率为0.036C.如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D.如果该零件是次品，那么它不是第1台车床加工出来的概率为1三、填空题12.将甲乙丙丁戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，共有

种不同分配方法.13．(1−x3)x214．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，CC1四、解答题15．已知函数f(（1）求f(（2）若x∈[−2,4]，求f16．已知(1+2x)n（1）求n；（2）求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示）（3）求(1+2x)+(1+2x17．甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球．（1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是

．（2）若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率；（3）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率．18．如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD（不与点P，C重合），PD=（1）若PA∥平面MBD，求PM（2）若M是棱PC的中点，求点C到平面MBD的距离；（3）在（2）的条件下，求直线PB与平面MBD所成角的余弦值．19.已知函数f(x)=(2a−（1）当a=1时，求f(x（2）若函数f(x)（3）若a>0,b∈R，对任意的x>01.A【分析】根据组合数性质解方程即可.【详解】由题意可得2x=x解得x=6或2经检验均满足题意.故选：A.2.D【分析】先得到抛物线的标准方程，再由标准方程得到其准线方程；【详解】抛物线y=x2的标准方程为x2=y，所以抛物线的焦点在故选：D3.B【分析】根据导数的极限定义求解即可.【详解】由limΔx→0f(2Δx故选：B.4.C【分析】由条件概率计算公式求解即可.【详解】记A=“第一次抽到的卡片所标数字为奇数”，B由题意得P(A)=所以P(故选：C5.D【分析】由向量法求点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题OM→所以点M(0,1,1)到直线ld=6.D【分析】由题意得an+1+3(n+1)+3=2an【详解】根据题意，∵an+1∴化简可得an+1=2an∴a令bn=an+3∴数列{bn}∴an=3·2n故选：D7.B【分析】取BC的中点N，连接MN，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得.【详解】取BC的中点N，连接MN，由图形可得AM→所以|=|=1+1所以|AM故选：B8.A【分析】由2f(x)+xf'再利用导数其单调区间，再根据函数的单调性及奇偶性即可得出答案.【详解】解：由2f(x)+x即x2令F(则当x<0时，F所以函数F(x)则F(x+2014)=(则不等式(x+2014)因为函数f(x)则F(−所以函数F(所以函数F(x)所以|x+2014|<2，解得所以原不等式的解集是(−2016,−2012).故选：A.9.AD【分析】利用分步计数原理结合排列知识判断A，根据分堆分配问题的解决方法判断B，根据分步计数原理判断C，D.【详解】对于A，事件一年级必须安排2人，其余年级各安排1人，可分为两步完成，第一步从5人中选2人去一年级，共有C5第二步将余下3人分到二，三，四年级，共有A3由分步乘法计数原理可得满足条件的方案有C5对于B，每个年级至少安排1人的方法数为C5对于C，事件5人自由决定实习年级的方法共有4×4×4×4×4=1024种，C错误；对于D，事件甲不去一年级，乙不去二年级可分为5步完成，第一步安排甲，有3种方法，第二步安排乙，有3种方法，第三步安排丙，丁，戊，有4×4×4种方法，由分步乘法计数原理可得，共有3×3×4×4=576种方法，D正确，故选：AD.10.BCD【分析】应用赋值法分别判断A、B、C，令x=−t得D.【详解】对于A，令x=0，则a对于B，令x=1，则a对于C，令x=−1，则a对于D，令x=−t，则对等式两侧同时求导函数得−2×2025(1−2t令t=1得，−所以a1故选：BCD.11.BC【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判断A，B；利用条件概率公式、对立事件即可判断C，D.【详解】记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i对于A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(对于B，任取一个零件是次品的概率为P(对于C，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它是次品的概率为P(则如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为1−0.02=0.98，故C正确；对于D，如果该零件是次品，那么它是第1台车床加工出来的概率为P(B1则如果该零件是次品，那么它不是第1台车床加工出来的概率为1−1故选：BC.12．150【分析】把5人按1:1:3或2:2:1分组，再把每一种分组方法安排到三个城市即可得解.【详解】分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，则先把5人按1:1:3分组，有C5按2:2:1分组，有C52C再把每一种分组安排到三个城市，有A3所以不同分配方法种数是C5故答案为：150.13．−4【分析】根据分配律，结合二项式展开式的通项特征即可求解.【详解】二项式x2−2x6的展开式的通项公式为Tr+1=(−1)rC6r·2令6−3r2=0，求得r=4由于(1−x故其展开式中的常数项为(−1故答案为：−4.14．4【详解】如图所示，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1为x，y，则D(0,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)设点P(a,可得{a=−λ所以CP→=(−λ则CP→根据二次函数性质可知当λ=15所以CP→·DP15.（1）单调递增区间为(−∞,−4)¯和(2,+∞)¯（2）f(x【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间。（2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可。【详解】（1）因为f'令f'(x)=0，得当x变化时，f'(xx(−∞,−4)−4(−4,2)2(2,+∞)f+0−0+f单调递增28单调递减-8单调递增所以f(x)的单调递增区间为(−∞,−4)和(2,+∞)（2）由（1）知当x=2时，f(x因为f(−2)=f(4)=所以f(x)16.(1)n(2)240(3)140【分析】（1）赋值x=1得到关于n（2）先根据二项式定理求出通项，然后列出不等式，求解即可.（3）根据二项式定理求出所求项的系数.【详解】（1）令x=1，得(1+2)n（2）(1+2x)6的展开式的通项Tk+1=C6k·2设第(k则{C6k解得113≤k所以展开式中各项系数的最大值为C6（3）1+2x中没有x2项，(1+2x)2的展开式中x2的系数为C22·(1+2x)6的展开式中x所以x2的系数为217.（1）1（2）7（3）1730【分析】（1）设事件A=“第1次取到白球”，B=“第2次取到红球”，分别求得P(（2）设事件B=“所取的2个球中至少有一个红球”，则B（3）设事件C=“取到的2个球中恰有1个红球”，事件D1=“从甲袋中取到红球”，事件D2=“从甲袋中取到白球”，求得P(D【详解】（1）解：设事件A=“第1次取到白球”，B因为甲袋装有2个红球，3个白球，从中连续抽取2次，每次取1个球，基本事件的总数为N=5×4=20则P(A)=C3所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为12（2）解：因为甲袋装有2个红球，3个白球，从甲袋中随机取2个，可得基本事件的总数为N1设事件E=“所取的2个球中至少有一个红球”，则E则P(E¯所以所取的2个球中至少有一个红球的概率710（3）解：设事件C=“取到的2个球中恰有1个红球”，事件D事件D2从甲袋中取球，因为甲袋装有2个红球，3个白球，可得P(D1若从甲袋中取到红球放入乙袋，此时乙袋中有2个红球和2个白球，则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为P(若从甲袋中取出白球放入乙袋，此时乙袋中有1个红球和3个白球，则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为P(根据全概率公式，可得P(C)=所以取到的2个球中恰有1个红球的概率为173018.（1）PMPC（2）43（3）659【分析】（1）由线面平行的性质可得PA∥ME，由相似三角形得AEAC（2）建立空间直角坐标系，由点到平面距离向量法计算即可求解；（3）由线面角向量法计算即可求解.【详解】（1）如图，连接AC与BD交于点E，连接ME.因为PA∥平面MBD，PA⊂平面PAC，平面PAC∩所以PA∥ME，所以因为AB∥CD，CD=2AB，所以所以AEAC=1（2）因为PD⊥平面ABCD，DA，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥因为AD⊥CD，所以DA，DC，以点D为坐标原点，直线DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由题意，得A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,4,0)，P所以DB→=(1,2,0)，DM→设平面MBD的法向量为m=(x,y,取x=2，则y=−1，z=2所以点C到平面MBD的距离|DC（3）由（2）得PB→=(1,2,−2)，平面MBD的法向量为m→则cos⟨m→设直线PB与平面MBD所成角为θ，则sinθ=|cos⟨所以cosθ=即直线PB与平面MBD所成角的余弦值为65919.（1）y=（2）−（3）−3【分析】（1）求导得出斜率并用点斜式即可求解；（2）可以利用反证法把存在性问题转化为恒成立问题分离参数再取补集即可求答案；（3）利用（2）判断导函数零点所在区间