2025-2026学年江苏省苏州市吴江区震泽中学高二下册3月月考数学试题 含答案

/江苏省苏州市吴江区震泽中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题一、选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.函数在区间上的平均变化率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平均变化率的定义即可求得.【详解】由平均变化率定义得，故选：C.2.已知函数，则曲线在处的切线斜率为（）A.－6 B.－3 C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】先对进行求导，并求得，从而求得.根据导数的几何意义，可得到曲线在处的切线斜率.【详解】，得.所以，解得.所以.所以曲线在处的切线斜率为.3.“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】由，得．由曲线在处的切线的倾斜角为，可得，解得或．故“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的必要不充分条件．4.已知函数，则的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而判断函数值的正负，即可排除BD，通过函数的单调性排除C，推出结果即可.【详解】令，则，由得，即函数在上单调递增，由得，即函数在上单调递减，所以当时，，由此知的定义域为，于是对任意，有，则，故排除BD，因为函数在单调递减，则函数在递增，故排除C，则可知A中图象符合题意.5.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】对曲线求导，结合已知求切点横坐标，进而得到，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值．【详解】由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以，所以切点的横坐标，将其代入直线方程和曲线方程，则有，即，又，所以2m+即，当且仅当时取等号，所以的最小值为2．6.若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得，令，得到，得出在上单调递减，根据题意，转化为在存在零点，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数，可得，其中，令，可得，所以在上为单调递减函数，要使得函数在上有最大值，则函数在上有极大值，则存在，使得在上单调递增，在上单调递减，即有零点，所以，解得，所以实数的取值范围为.7.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题目的条件，对三个函数所对应的方程进行研究，分别计算求出的值，再比较大小即可选出正确选项.【详解】若，则，由，又，解得，即．若，则，由，令，函数为增函数，，，故．若，则，由，得，故．综上，．故选：B8.已知实数a，b均不为0，函数在某个关于原点对称的区间上恰有两个极值点x1，x2，则（）A.2a B.-2a C.2b D.-2b【答案】D【解析】【分析】先化简，再求导找极值点，然后分析极值点，最后代入计算.【详解】依题意，，则，求导得，由，得，而函数在关于原点对称的区间上恰有两个极值点，，则这两个极值点满足（因为是偶函数）,，，所以.故选：D二、选答题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的有（）．A.B.C.D.已知函数在上可导，若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据导数的概念结合导数的运算法则逐项验证即可求解.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，由，故D正确；故选：BCD.10.已知函数的导函数为，两个极值点为，，则（）A.有三个不同的零点B.C.D.直线是曲线的切线【答案】BD【解析】【分析】求得，得出函数的单调区间，求得函数的极值点和极值，以及结合曲线在点处的切线方程，逐项判定，即可求解.【详解】由函数，可得，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，当时，函数极小值，极小值为，当时，函数极大值，极大值为，且两个极值点之和为，所以B正确；又由当时，，且函数连续不间断，所以函数在上有且仅有一个零点，所以A不正确；由，所以C错误；当时，可得，所以曲线在点处的切线方程为，所以D正确.故选：BD.11.若是上的连续函数，且，则.从几何上看，若定义在上的函数连续且恒有，则定积分表示由直线和曲线所围成的图形的面积.已知花瓣曲线，则下列说法正确的是（）A.曲线上恰好存在8个点到原点的距离为B.圆与曲线共有8个公共点C.D.曲线围成的封闭区域的面积为【答案】BCD【解析】【分析】由，解得或或或，可知曲线是由4个抛物线组成，画出曲线的图象，利用数形结合法结合两点间的距离公式、圆的标准方程及定积分的定义逐一分析即可.【详解】由，得，所以或，即或或或，画出曲线，如图所示.由，解得或，设，对于：所以曲线上恰好存在4个点到原点的距离为，故错误；对于：由，得圆与曲线共有8个公共点，故正确.对于：因为（为常数），所以，故正确；对于：曲线在第一象限围成的封闭区域的面积为：，根据曲线的对称性可得曲线围成的封闭区域的面积为，故正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某圆柱的上、下底面圆周分别在同一圆锥的侧面和底面上，则圆柱与圆锥体积之比的最大值为______.【答案】【解析】【分析】先设柱锥体积公式需要的要素“高和半径：小圆锥的高，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的底面半径为”，列出柱锥体积之比，再利用平面几何中三角形相似的性质得出，将比值表达式统一到变元“”的形式，再设定函数利用导数研究函数的最值计算即可.【详解】如图，设，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的底面半径为，则圆柱的体积与圆锥的体积之比：.由三角形相似的性质得：，所以令，则.令，则，令得，令得，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故答案是：.13.已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】假设切点坐标，利用导数几何意义可写出切线方程，代入原点坐标化简可得，根据切线条数可知，由此可得的取值范围.【详解】设过坐标原点的切线与相切于点，，，在点处的切线方程为：，，，，且过坐标原点的切线有两条，，解得：或，即的取值范围为.

故答案为：.14.已知，则方程恰有2个不同的实根，实数取值范围__________________.【答案】【解析】【分析】采用数形结合，先计算直线直线与曲线相切时，的值，然后讨论，的情况，最后判断可得结果.【详解】作出函数的图象如图所示：先考虑直线与曲线相切时，的取值，设切点为，对函数求导得，切线方程为，即，则有，解得，由图象可知，当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有一个公共点，不合乎题意；当时，直线与函数在上的图象没有公共点，在有两个公共点，合乎题意；当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在有两个公共点，不合乎题意；当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点，在没有公共点，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查方程根的个数求解参数，采用数形结合，形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）若，求在上的最大值；（2）若在上恰有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）-1（2）【解析】【分析】（1）由函数解析式，求导，根据指数函数单调性以及三角函数的性质，可得函数的单调性，可得答案；（2）利用分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性，求得给定区间上的最值，根据方程与函数的关系，可得答案.【小问1详解】若，则，因为当时，，仅当时，“＝”成立，所以在上单调递减，所以在上的最大值为.【小问2详解】，令，则，当时，由，即，得或.当时，，递增；当时，，递减；当时，，递增；，，，，因为在上恰有两个零点，所以直线与曲线（）恰有两个交点，所以实数a的取值范围为.16.已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若关于的不等式在上恰有3个整数解，求的取值范围.（注：，，）【答案】（1）极小值为1，无极大值（2）【解析】【分析】（1）当时，写出，再通过导数判断单调性进而求出极值即可；（2）将等价为，令，求出单调性和极值，根据题目所给近似值，求出满足题目要求的3个整数解，进而可判断的取值范围.【小问1详解】当时，，，所以，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极小值为，无极大值.【小问2详解】不等式在上恰有3个整数解，等价于在上恰有3个整数解，令，，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，又，，所以要使有3个整数解，需满足，即，此时的整数解为：2，3，4.所以的取值范围为.17.已知函数，.（1）若，求在处的切线方程：（2）讨论的单调性；（3）若对任意两个不相等的正实数，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）分，，，进行讨论；（3）将不等式转化为在单调递增，即在上恒成立即可.【小问1详解】若，则，，所以，，故在处的切线方程为，即；【小问2详解】因为，且，当时，时，时，所以，在上单调递减，在上单调递增；当时，时，时，时，所以，在，上分别单调递增，在上单调递减；当时，时恒成立，故在上单调递增；当时，时，时，时，所以，在，上单调递增，在上单调递减；【小问3详解】设，由，得，即.设，则在上单调递增，在上恒成立，则在上恒成立，设，，函数的对称轴为，则时，取得最大值，最大值.所以，实数的取值范围为.18.已知函数．（1）当时，求函数的零点个数；（2）若的图像有一个交点为P，且两者在点P处的切线互相垂直．（i）证明：对所有符合题意的实数a，b，都有；（ii）设O为坐标原点，记的最小值为d，证明：．【答案】（1）1（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）求出的导数，研究的单调性，结合零点存在定理即可判定零点个数；（2）（i）设交点Px0,y0(x0>0)，可得以及f'x0（ii）设点Px0,lnx0(【小问1详解】当时，y=则,对于分子，判别式，故对所有恒成立。因此在时恒成立，函数在上单调递减；当时，；当时，；由零点存在定理，函数在内有唯一零点，即零点个数为1；【小问2详解】（i）设交点Px则，由于f'则f'x化简得：，由得：，即，由于，所以f−1令hx=ln当时，，单调递增；时，，单调递减。因此在处取得最大值：h1故hx≤−2，即（ii）设点Px所以OP2令φ(所以φ'令，则，所以在上单调递增，由于k(1e令m(所以m'所以在上单调递增，则，即lnx所以ln7k所以φ'(t)=2t2且当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以φ即d2所以d219.已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若有且仅有1个零点，求的值；（3）若存在，使得对任意恒成立，证明：．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）（3）证明见解析；【解析】【分析】（1）先求定义域，再对函数求导，利用导数即可得到单调区间；（2）由有且仅有1个零点，分离参数得到有且仅有1个解，令，利用导数得到的单调性和最小值，所以.（3）由对任意恒成立，得到，则只需证明即可，利用导数得到最大值为.因此，再令，得到时取得最大值，因此，即，故得证.【小问1详解】当时，，定义域为，求导得到，令，则当时，所以在内单调递减，且，即在内单调递减，且，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；综上所述，单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】因为有且仅有1个零点，所以方程有且仅有