2025-2026学年天津北京师范大学静海附属学校度高二年级第二册第一次阶段性测试 数学试题 含答案

/北京师范大学静海实验学校2025-2026学年度高一年级第二学期第一次阶段性测试数学试题1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时150分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案填写在答题卡上，答在试卷上无效.3.祝各位考生考试顺利！第I卷（选择题）注意事项：1.每小题选出答案后，请填写在答题卡上，答在本试卷上无效.2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.1.若函数在处可导，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据导数与极限的定义求解即可．【详解】.故选：C.2.下列函数求导正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.3.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用特殊值排除A，C，D，进而得到正确结果即可.【详解】对于，有，，下面，我们开始分析选项，对于A，C，不满足，故A，C错误，对于D，不满足，故D错误，对于B，满足的全部性质，故B正确.故选：B4.已知，则（）A.32 B.31 C. D.1【答案】C【解析】【详解】令，则；令，则，故.5.已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，函数在上极大值点的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据图象分析导函数在区间上的正负，得到的单调性，即可求得极大值个数.【详解】由图可知，当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.所以在处取得极大值，是的唯一极大值点.故选：B.6.已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由导数知识可得在R上单调递增，然后比较三者大小关系结合单调性可得答案.【详解】，则在R上单调递增.又，，注意到，则，则，因为在R上单调递增.所以，即.故选：A7.甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（）A.18种 B.24种 C.30种 D.36种【答案】C【解析】【详解】当丙在最左端时，则甲只能站在从左至右的第二个位置，则有种；当丙不在最左端时，则只能丁、戊站最左端，甲、丙必须相邻，将甲、丙捆绑，则有种，所以共有种不同的站法.8.在的展开式中，的系数为（）．A.120 B.80 C.40 D.【答案】D【解析】【分析】根据二项式定理计算即可.【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为：.令，可得，此时与相乘可得的系数为-80；令，可得，此时与相乘可得的系数为40；所以的系数为.9.设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，可得是上的奇函数，且，再数形结合解不等式即可．【详解】当时，，令，，则在单调递增，又是定义在上的偶函数，且，是上的奇函数，则，故函数的图像可以为：的解集为．故选：D．第II卷（非选择题）注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共115分.10.计算______【答案】【解析】【详解】．11.若函数，则________.【答案】【解析】【详解】由题意得，令，得，即.12.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_____种．【答案】72【解析】【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．【详解】分4步进行分析：①，对于区域，有4种颜色可选；②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选；④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域、有种选择，则不同的涂色方案有种．13.若函数，则的单调递减区间为________．【答案】【解析】【分析】利用导数求出函数的单调递减区间即可.【详解】函数，定义域为，求导得，令，则，解得，又，则，所以的单调递减区间为.14.已知函数在处取得极大值，则___________．【答案】或【解析】【分析】对函数求导，根据极值点求得或，再代入验证是否在处取得极大值，即可得.【详解】由题设，且，所以或，当，则，故或时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，此时在处取得极大值，满足；当，则，故或时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，此时在处取得极大值，满足；综上，或.15.已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】利用导数作出函数的图象，转化条件为的图象与直线有个交点，数形结合即可得解.【详解】由题当时，，所以，所以当时，，当时，；所以在区间上单调递增，在上单调递减，当时，当时，；当时，；所以可作出函数的图象，如下图，若要使函数有个不同的零点，所以的图象与直线有个交点，即，解得.三、解答题16.已知的展开式中，所有二项式系数的和为256.（1）求n的值，并求展开式中第5项的二项式系数；（2）求展开式中所有的有理项；（3）求展开式中各项系数的最大值（结果用数字表示）.【答案】（1），展开式中第5项的二项式系数为；（2），，，，；（3）1792.【解析】【分析】（1）先列方程，求解，再代入展开项第5项的值，求二项式系数；（2）先确定有理项中的范围，再求解有理项；（3）利用系数的单调性，求出系数的最大值即可.【小问1详解】二项式系数和为，所以展开式中第5项的二项式系数为【小问2详解】当，时，展开项为有理项因为且，所以展开项为有理项时【小问3详解】设第项的系数为，则所以当时，，，即；当时，，，即；当时，，，即；综上，当取最大值时，或所以展开式中各项系数的最大值为1792.17.将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？（1）（非均匀分组）一堆一本，一堆两本，一堆三本；（2）（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）（不定向分配）一人得一本，一人得二本，一人得三本；（4）（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人；（5）（平均分组）平均分成三堆．【答案】（1）60（2）60（3）360（4）90（5）15【解析】【分析】（1）根据组合的定义，结合分步计数原理进行求解即可；（2）根据（1）中的结论进行求解即可；（3）根据（1）中的结论，结合排列的定义进行求解即可（4）根据组合的定义，结合分步计数原理进行求解即可；（5）根据组合和排列的定义进行求解即可.【小问1详解】先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法（种）；【小问2详解】分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为（种）．【小问3详解】分成三堆的方法有种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有（种）；【小问4详解】3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，乙再从余下的4本书中取书有种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有种方法，所以一共有=90种方法．【小问5详解】把6本不同的书分成三堆，每堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有种．所以＝，则(种）.18.设函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）；（2）在（1）的条件下求的单调区间和极小值：（3）若在上单调递减，求的取值范围．【答案】（1）（2）单调减区间为，单调增区间为，极小值为2（3）【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求得的值；（2）利用导数与单调性以及极值的关系即可求解；（3）将在上单调递减转化为恒成立，分离参数，即可求出的取值范围.【小问1详解】由题可得，因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以，解得；【小问2详解】由（1）知，令，解得由，解得，由，解得，所以的单调减区间为，单调增区间为，当时，取得极小值；【小问3详解】由在上单调递减，即在上恒成立，即在上恒成立，所以，令，易知在上单调递增，在上单调递减，则，所以，即的取值范围为.19.已知函数，．（1）求的极值；（2）若在单调递增，求实数a的取值范围；（3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围．【答案】（1）的极小值为0，无极大值（2）（3）【解析】【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可；（2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解.（3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解.【小问1详解】，求导得，，因为时，，所以在上单调递增，因为时，，所以在上单调递减，又，故在处取极小值0，无极大值．【小问2详解】函数，求导得，由在单调递增，得在上恒成立，即在上恒成立，因此，，设，，，则在上单调递增，于是，即，所以的取值范围为.【小问3详解】若对任意的，总存在，使得，则当时，，当时，，即在上单调递增，，函数，，，求导得，由，得，函数在上单调递减，则，因此，解得，所以的取值范围为.20.函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（3）若函数有两个零点，是的极值点，求证：.【答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求函数的定义域和导数，再根据的取值范围讨论函数的单调性；（2）结合（1）中的单调性，分析函数有两个零点时的取值范围；（3）利用函数的极值点和零点的关系，通过构造函数证明不等式.【小问1详解】由，得，当时，，，所以在上单调递增；当时，令，得（舍去），当时，，单调递减，当时，，单调递增.因此，当，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小