2025-2026学年天津市西青区当城中学高二下册4月月考数学试题 含答案

/当城中学2025-2026学年第二学期3月练习高二年级数学学科第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共10小题，共40分.1.下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由初等函数的导数和复合函数的导数公式逐项分析即可.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：D.2.已知函数f（x）在R上的导函数为，则“=0”是“x0是f（x）的极值点”的（）A.充分必要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件【答案】D【解析】【分析】根据极值点定义和充分条件、必要条件定义即可判断．【详解】由极值点的定义，若为的极值点，则有，而由不一定推得为的极值点，例如，故“”是“是的极值点”的必要不充分条件.故选：D3.如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①-2是函数的极值点；②1是函数的极值点；③的图象在处切线的斜率小于零；④函数在区间上单调递增.则正确命题的序号是A.①③ B.②④ C.②③ D.①④【答案】D【解析】【详解】根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号4.函数的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数的几何意义并结合图象判断求解即可.【详解】导数f'(x0)​，表示点和连线的斜率.由图可知，单调递增，且增长越来越平缓，说明是递减的（切线斜率随增大逐渐变小），所有斜率都为正，因此f'5.已知函数，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，代入即可求.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：C6.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，再求出导函数的值大于0的不等式解集即可.【详解】函数，求导得，由，解得或，所以所求递增区间是.故选：A7.若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（）A.－4 B.－3 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.【详解】因为，所以，当时，，所以曲线在点处的切线的斜率等于3，所以直线的斜率等于，即，解得，故选:D.8.若，恒成立，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，通过求导判断单调性，求出的最大值即可.【详解】若，恒成立，则，令，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，，，故选:B.9.如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对函数求导并利用导函数符号以及方程有解可求得a的取值范围.【详解】易知，依题意可得在上有解，即方程在上有解，显然当时，，因此实数a的取值范围为.10.已知函数，，若对任意的存在，使，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，转化为，利用导数求得函数单调性和最小值，再由函数，结合二次函数的性质，分类讨论求得最小值，列出不等式，即可求解.【详解】因为对任意的存在，使成立，即，由函数，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，最小值为，又由函数，当时，函数在上单调递增，，即，解得，不成立，舍去；当时，函数在上单调递减，上单调递增，，即，解得或，不成立，舍去；当时，函数在上单调递减，，即，解得，综上可得，实数的取值范围是.故选：B.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，共24分.11.函数，则________．【答案】【解析】【详解】因为f'x=12.曲线在点处的切线方程为________．【答案】【解析】【分析】求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解.【详解】由函数，可得，可得，且，即切线的斜率为，切点坐标为，所以切线方程为，即.13.过的函数的切线斜率为______.【答案】【解析】【分析】设切点，再根据导数的几何意义，结合两点间斜率的公式求解即可【详解】设切点为，因为，则有，即，解得，所以斜率为.故答案为：14.函数的极值点为________.【答案】【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后在定义域内分析导函数的零点和不同区间上的正负，确定极值点.【详解】确定定义域：由于包含

函数定义域为

，求导得：在内

,单调递减；在内

,单调递增.是函数的极小值点，没有其它极值点.故答案为：.15.若函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为________【答案】【解析】【分析】由恒成立，使用分离参数方法，再利用基本不等式求得的取值范围即可.【详解】依题意知，因为函数在单调递增，所以，即对任意恒成立，所以对任意恒成立，又因为（当且仅当时取“”），所以.故答案为：16.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围.【详解】∵，∴，∵在区间内存在单调递增区间，∴在上有解，故在上有解，令，则，∵，∴，即在上为减函数，∴，故．故答案为：.三、解答题：本题共5小题，共63分.17.已知函数．（1）求函数在点处的切线方程．（2）试判断函数的单调性并写出单调区间；【答案】（1）（2）单调增区间是，单调减区间是．【解析】【分析】（1）根据函数的导函数的几何意义可得；（2）根据导函数的正负即可判断其单调性及单调区间.【小问1详解】由函数，所以函数的定义域为，，所以，，∴函数在点处的切线方程为：，即．所以函数在点处的切线方程为.【小问2详解】因为函数的定义域为，且，令，得；令，得，因此函数的单调增区间是，单调减区间是．18.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求在上的极值和最值【答案】（1）和；（2）极大值为，极小值为；最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）利用导数知识可得，解不等式，可得单调递增区间；（2）由（1）判断在上的单调性，据此可得极值和最值.【小问1详解】，令，则的单调递增区间为：和；【小问2详解】由（1），令，则在上单调递减.结合（1），可得在上单调递增，在上单调递减.则在上的极大值为，极小值为；又为；则在上的最大值为，最小值为.19.若函数，当时，函数有极值.（1）求函数的极大值；（2）若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先对函数进行求导，然后根据可求出的值，进而确定函数的解析式，然后求导，令导函数等于0求出的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大值；（2）由（1）得到函数的单调区间进而确定函数的大致图象，然后根据数形结合确定的范围．【详解】解：（1），由题意知，解得.故所求的解析式为可得，令，得或，由此可得00极大值极小值所以当时，有极大值.（2）由（1）知，得到当或时，为增函数；当时，为减函数，∴函数的图象大致如图，由图可知当时，与有三个交点，所以实数的取值范围为.【点评】本题主要考查导数在函数的单调性、极值中的应用，属于中档题.20.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求出、代入直线的点斜式方程可得答案；（2）分、、讨论，利用导数判断可得答案．【小问1详解】若，则，，所以，，所以曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】，当时，，在上单调递增，当时，由得，或，由得，所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减；当时，由得，或，由得，所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减；综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.21.已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）【解析】【分析】（1）根据导数求解函数单调区间即可；